系统辨识第二章PPT课件

1、1 系统辨识基础 2 第一章第一章 模型方法与辨识模型方法与辨识 第二章第二章 脉冲响应辨识脉冲响应辨识 第三章第三章 最小二乘辨识最小二乘辨识 第四章第四章 极大似然辨识极大似然辨识 第五章第五章 时间序列建模与随机时间序列建模与随机 逼近辨识逼近辨识 第六章第六章 模型阶次的辨识模型阶次的辨识 第七章第七章 闭环系统辨识闭环系统辨识 3 第第2章章 脉冲响应辨识脉冲响应辨识 2-1 脉冲响应法脉冲响应法 2-2 相关函数法相关函数法 4 2-1 脉冲响应法脉冲响应法 一、脉冲响应辨识的基本原理一、脉冲响应辨识的基本原理 利用脉冲响应来辨识系统数学模型的方法， 简单实用，且有一定适用范围。设

2、线性定常系统 模型为: 由控制原理知： (其中g(t)为脉冲响应)()(tgLsG )(tx 输入输出 G(s) 传递函数 )(ty 5 辨识过程： 由x(t),y(t)计算g(t)离散化得脉冲响应序列 g(kT)求脉冲传递函数G(z)z反变换得G(s)。 )(tx 输入输出 G(s) 传递函数 )(ty 由控制原理知： )()(tgLsG (其中g(t)为脉冲响应) 设线性定常系统模型为: 6 二、脉冲响应（序列）求法二、脉冲响应（序列）求法 设x(t)为输入， y(t)为输出，T为采样周期，足 够小，t0时， 系统静止，则对于线性定常系统， 由卷积公式： tt dgtxdtgxty 00

3、)()()()()( 因T足够小，可用阶梯信号代替原信号，有： x(t)=x(KT), y(t)=y(KT), g(t)=g(KT) K=0,1,2, ； KTt(K+1)T 7 卷积公式可分别表示如下： T gTxdgTxTy 0 00)()()()()( )0 ()()() 0 ( )()2()() 0 ( )()2()()2( )()2()2( 2 0 0 2 2 0 gTxTgxT dxTgdgx dgTxdgTx dgTxTy T T T TT T T 线性 性质 )2 () 0 ()()() 0 ()2 ()3 (TgxTgTxgTxTTy )()()( 1 0 TiTNTxiTg

4、TNTy N i 8 写为向量矩阵形式，得： )( )( )( )( NTy Ty Ty Ty 3 2 T )( )( )( )( TNTg Tg Tg g 2 0 有 YXG 令 TXGY 若 1 X存在，则得脉冲响应向量计算公式 YX T G 1 1 )()()( )()( )()( )( 02 02 00 000 xTNTxTNTx TxTx xTx x 9 YX T G 1 1 脉冲响应向量计算公式 其中，X-1为输入数据逆阵，Y为输出数据向量，T 为步长，即采样周期，要求足够小。 表明：根据输入、输出数据，在采样周期足 够小时，可以算出N个脉冲响应，N为采样数据 长度。 10 三、脉

5、冲传递函数G(z)的求取 设系统脉冲传递函数 2 2 1 10 2 2 1 1 2 2 1 10 1 )( zgzgg zazaza zbzbzbb zG n n n n 式中)(iTggi 。由十字相乘得 n inm m i m imim n inin n n zgagzgag zgagagzgaggzbzbzbb 111 2 02112 1 0110 2 2 1 10 )()( )()( 11 根据对应项相等，得：（取前2n项） (a) n i nnnnininn gagagaggagb gagagb gagb gb 1 02211 021122 0111 00 n inm m i m i

6、mim n inin n n zgagzgag zgagagzgaggzbzbzbb 111 2 02112 1 0110 2 2 1 10 )()( )()( 12 n i nnnninin n i nnnninin n i nnnninin n i nnnninin gagagaggag gagagaggag gagagaggag gagagaggag 2 1 02222121222 3 1 031221333 2 1 02211222 1 1 01121111 0 0 0 0 n inm m i m imim n inin n n zgagzgag zgagagzgaggzbzbzbb

7、111 2 02112 1 0110 2 2 1 10 )()( )()( 根据对应项相等，得：（取n+1到2n项） (b) 13 将上述方程组写为向量矩阵形式，得： Hankel矩阵 n n n n n nnn n n g g g a a a ggg ggg ggg 2 2 1 1 1 121 132 21 12122222112 2112524133 112423122 112322111 nnnnnnnnn nnnnnn nnnnnn nnnnnn gagagagagag gagagagagag gagagagagag gagagagagag 因 0 221 nnn aaa ，故(b)式

8、可简化为： 14 n n n n n nnn n n g g g a a a ggg ggg ggg 2 2 1 1 1 121 132 21 若脉冲响应系数阵可逆，有 n n n nnn n n n n g g g ggg ggg ggg a a a 2 2 1 1 121 132 21 1 1 15 由(a)式，可得： nnnnn g g g g aaa aa a b b b b 2 1 0 21 12 1 2 1 0 1 01 001 0001 n i nnnnininn gagagaggagb gagagb gagb gb 1 02211 021122 0111 00 (a) 16 故

9、由(2n+1)个脉冲响应值 必可确定脉冲传递函 数G(z) 进而求出G(z)的(n+1)个 分子系数 , 210n ggg 的n个分母系数 , 21n aaa , 0 b, 21n bbb 从而求出G(z)的具体形式. nnnnn g g g g aaa aa a b b b b 2 1 0 21 12 1 2 1 0 1 01 001 0001 17 )()( * sGsG 四、传递函数四、传递函数G(s)的求取的求取 由离散系统理论知： 此处)()( 1 zGZsG 因此由已知G(z)求G(s)步骤如下： 将G(z)除z，再展成部分分式： 如 )5 .0)(1( 5 .0 )( zz z

10、zG 有 5 . 0 1 1 1 ) 5 . 0)(1( 5 . 0)( zzzzz zG o 1 18 查z变换表，求出G(s)的部分分式： a T s az z Z sz z Z ln 1 1 1 1 1 1 o 2 5 . 01 )( z z z z zG 19 通分得G(s)表达式： )693. 0( 693. 0 )693. 0( 693. 0 )( TssTss TsTs sG o 3 693. 0 1 ln 1 ln 1 11 )( Ts T s aTs T s a T s s sG(a=0.5) T为已知采样周期 20 例2-1 已知系统传递函数 )10010)(4( )2(2

11、00 )( 2 sss s sG 结构参数n=3,取步长T=0.05(秒），测得2n=6脉冲 响应为 试用脉冲响应法辨识系统模型G(s)，验证辨识精度。 0.1446112.8459725.9305068.5638899.4910777.157039 0 g(t) 0.30.250.20.15 0.1 0.050 t 21 )10010)(4( )2(200 )( 2 sss s sG 解设 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 10 1 )( zazaza zbzbzbb zG 由 144611. 0 845972. 2 930506. 5 845972. 2930506. 55638

12、89. 8 930506. 5563889. 8491077. 9 563889. 8491077. 9157039. 7 1 1 2 3 a a a 求出： 496585.0;764088.1;232575.2 321 aaa 22 再由 563889. 8 491077. 9 157039. 7 0 1232575. 2764088. 1496585. 0 01232575. 2764088. 1 001232575. 2 0001 3 2 1 0 b b b b 求得： b0=0; b1=7.157039; b2=-6.487547; b3=0 因而 )606530. 0413844.

13、1)(818731. 0( )487547. 6157039. 7( 496585. 0764088. 1232575. 2 487547. 6157039. 7 )( 2 23 2 zzz zz zzz zz zG 23 )606530. 0413844. 1)(818731. 0( )487547. 6157039. 7( 496585. 0764088. 1232575. 2 487547. 6157039. 7 )( 2 23 2 zzz zz zzz zz zG 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 10 1 )( zazaza zbzbzbb zG 496585.0;7640

14、88.1;232575.2 321 aaa b0=0; b1=7.157039; b2=-6.487547; b3=0 因而 24 z变换法得 )10010)(4( )2(200 )( 2 sss s sG )606530. 0413844. 1)(818731. 0( )487547. 6157039. 7( 496585. 0764088. 1232575. 2 487547. 6157039. 7 )( 2 23 2 zzz zz zzz zz zG 25 五、脉冲响应法辨识特点五、脉冲响应法辨识特点 简便易行，计算量小； 仅适用于确定性线性定常系统； 辨识精度取决于步长T（不宜太大）及

15、 脉冲响应g(t)的形状（在2n拍内，充分 反映脉冲响应全过程）。 26 2-2 相关函数法相关函数法 脉冲响应辨识法实际上是一种确定型离线辨识 算法。由于在线运行的输入、输出信号往往不能提 供具有一定幅度且持续时间足够长的信息，因此脉 冲响应法不能用于在线辨识。如若信号中存在随机 噪声，其辨识精度较差，此时可考虑相关函数法或 最小二乘法。 一、连续系统非递推辨识原理一、连续系统非递推辨识原理 设连续系统结构图如下： x(t) G(s) z(t) y(t) )(t )(t 27 其中： 设： 0, 0, 0 TTT CovxCovxCov 0)(, 0)(, 0)(EExE 零均值平稳随机过程

16、，统计独立)(),(),(tttx 输入噪声； 输出观测噪声 )(t)(t )(ty 零均值平稳随机过程，0)(yE 时，设系统静止。0t x(t) G(s) z(t) y(t) )(t )(t o 3 o 1 o 2 o 4 28 1、 维纳维纳-霍甫积分方法霍甫积分方法 由卷积公式 0 )()()()()(tdttxgty )()()()()( 22 0 22 tdttxgty 上式左乘 并取期望：)( 1 tx )()( )()()()()()()( 21 0 212121 ttxE dttxEtxtxEgtytxE 29 )()()()( 2112 tytxEttRR xyxy 互相关

17、函数 )()()()( 2112 txtxEttRR xxxx 自相关函数 0)()( 21 ttxE 统计独立 )()( )()()()()()()( 21 0 212121 ttxE dttxEtxtxEgtytxE 维纳霍甫方程 0 dRgR xxxy )()()( 0)()( 21 ttxE 统计独立 30 若x(t)为零均值白噪声 则 ，其中K为脉冲强度， 为狄拉克 函数 )()(KRxx)( 有 K R g KgdKgR xy xy )( )( )()()()( 0 0 )()()(dRgR xxxy 上式为由互相关函数及输入白噪声强度求脉冲响应 结果。 31 若x(t)零均值白噪

18、声，y(t)各态历经，T足够大 T T T T xy dttytx T dttytx T R 0 0 )()( 1 lim )()( 1 lim)( 0 )()()(dRgR xxxy 32 2、确定脉冲响应非递推相关辨识法缺点、确定脉冲响应非递推相关辨识法缺点 白噪声物理上不可实现；T不可能趋于无穷； 辨识g(t)时间很长，否则不准。 若采用M序列实现的周期性近似白噪声，即 伪随机噪声来代替白噪声，可以消除上述不足， 但对周期T有一定要求。 33 二、周期性白噪声二、周期性白噪声 设x(t)为周期白噪声，其周期为T 周期维纳周期维纳-霍甫方程霍甫方程 对周期白噪声x(t)，其自相关函数 T

19、xx dttxtx T R 0 )()( 1 )( 令 ，有 T xx dttxtx T R 0 )()( 1 )( 34 代入维纳-霍甫方程： ，有 dRgR xxxy )()()( 0 00 )()( 1 )()( T xy ddttxtx T gR 因为是线性系统，故可交换积分次序，得： T T xy dttytx T dtdtxgtx T R 0 00 )()( 1 )()()( 1 )( T xx dttxtx T R 0 )()( 1 )( 上式表明：对周期白噪声输入，积分一个 周期即可求出互相关函数 。 )( xy R 35 2、周期、周期T的选取的选取 dRgR xxxy )(

20、)()( 0 （维纳-霍甫方程） dRgdRg T T xx T xx )()()()( 2 0 若令g(t)收敛至零的时间为 ,则当T ,且 t t )()(KRxx 其中K为周期白噪声x(t)的强度,必有 0)()()()( 3 2 2 dRgdRg T T xx T T xx 36 0)()()()( 3 2 2 dRgdRg T T xx T T xx 因而)()(KgRxy 上式表明:以周期白噪声代替白噪声,要求周期 T t )()(KRxx 若令g(t)收敛至零的时间为 ,则当T ,且 t t 其中K为周期白噪声x(t)的强度,必有 37 三、伪随机噪声三、伪随机噪声(M序列序列)

21、 伪随机二位式序列 伪随机二位式序列是利用数字电路或数字计 算机产生的实际白噪声,它是一个周期性序列,仅有 两个值,若令信号幅度为a,则只出现a和a两个 值. 为采样周期,即脉冲时间间隔; N为序列长度; T为序列周期 则 T=N t 令 38 伪随机二位式序列及其自相关函数如下图所示: 39 由图可见,伪随机二位式序列的自相关函 数十分近似于一个理想的白噪声函数。不 同在于伪随机二位式序列的 中有偏置 加大 N（如N100）或附加一个直流补偿信号 可减弱偏置或消除。 , N a 2 )( xx R 40 二位式伪随机序列的性质二位式伪随机序列的性质 从试验角度考虑，采用离散白噪声序列： 离散

22、白噪声序列 (同零均值、同方差的独立随机变量序列） 指均值为零、方差相同、互不相关的随机变量序列。 设 为随机变量序列，应有 , 321 xxx )( , );,( );,( , jixExExxE ixxE ixE jiji ii i 0 21 210 2 方差 协方差 41 二位式离散白噪声序列二位式离散白噪声序列 指每个随机变量只有两种状态(如1，-1)的离散 白噪声序列。 若干个1（或若干个-1）连在一起， 称为“游 程”；一个游程中的1或-1的个数称为“游程长 度”。 42 例如有一个周期长为15的二位式序列： 1，1，1，1，-1，-1，-1，1，-1，-1，1，1，-1，1，-1

23、 共有8个游程，其中 游程长度为1：4个 占1/2 游程长度为2：2个 占1/4 游程长度为3：1个 占1/8 游程长度为4：1个 占1/8 43 二位式离散白噪声序列的概率性质二位式离散白噪声序列的概率性质 概率性质 ：在序列中，1与-1出现的次数几乎相等。 概率性质 ：在序列中，总游程个数平均为(N+1)/2， N为奇数，表示序列个数(长度)；1与-1 的游程大约各占一半，为(N+1)/4。 详细说：游程中长度为1个数，占总游程的1/2 游程中长度为2个数，占总游程的1/4=1/22 游程中长度为i个数，占总游程的1/2i 概率性质 ：序列的自相关函数 o 1 o 3 o 2 44 )0(

24、 , 1 ), 2, 1( , 0 )( iixx xxER 3.二位式伪随机序列二位式伪随机序列M序列的产生方法序列的产生方法 离散二位式随机序列式按照确定方式产生的， 实际上是一种确定性序列，但这种序列的概率性质 与离散二位式白噪声序列的三条概率性质相似，故 称为伪随机序列。 M序列具有最大周期的二位式伪随机序列。 45 M序列可由线性反馈移位寄存器产生。设4级移位 寄存器如图： 时钟移位脉冲 X1X2X3X4 X0 移位寄存器 二位式伪随机序列 模2门 46 图中：图中：移位寄存器双稳态触发器和门电路组 成。以0和1表示两种状态。当移位脉冲来到，每 位内容（0或1）移到下一位。 模2门将

25、二级（如3、4两级）移位寄存 器的输出脉冲按如下加法逻辑运算： 并将运算结果反馈至第一位寄存器作为输入，保持 寄存器连续工作。 000 , 101 , 110 , 011 47 设各寄存器初态非全零，例如为1111，则一 个周期变化规律： 一周期结束后，产生15种不同状态，若以第4 个寄存器内容作为伪随机序列，则为： 111100010011010，周期15。 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1

26、0 1 1 1 1 （初态） 48 1 1 1 1(初态) 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 01 1 1 1 共产生6种不同状态，输出序列：111100，周期6。 如果各级移位寄存器初态全0，则输出全0。 n级移位寄存器产生序列的最大周期 N=2n-1。 如果4级移位器初态仍为1111，但取2、4寄存 器内容作模2加，则一个周期变化规律： 49 9和11204711 7和10102310 5和95119 2、3、4和82558 4和71277 5和6636 3和5315 3和4154 2和373 1和232 模2门信号取自输出级序列最大周期N=2n-

27、1移位寄存器级数n M序列表序列表 50 4、M序列的主要性质序列的主要性质 M序列的最大周期N与移位寄存器级数n之间，有N=2n-1 (3)一个M序列，移位相加后仍为M序列。例如在n=4移位寄 存器中，模2门位置不变，但初态不是1111，而是右移P=3， 000110000100001010011100011010110101 1010110111101111（同前） 输出序列：1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 第13位 N=15 (2)M序列的一个周期中，有 个逻辑“1”状态，有 个逻辑“0”状态，故逻辑“1”比逻辑

28、“0”个数多1。 2 1N 2 1N 51 只有一个由n个“1”构成的游程和(n-1)个“0”构成的游程； 由逻辑“1”构成的游程数与逻辑“0”构成的游程数相 等。 相当于原来输出序列右移12位(右移q=12)。 一般有 M序列的一个周期中，游程数满足： 总游程数为 个，或 个； 2 1N 单码游程数占总游程数1/2； 双码游程数占总游程数1/4；余类推。 1, 1Nqp 1 2 n 52 5、M序列的自相关函数和功率谱密度序列的自相关函数和功率谱密度(一个周期一个周期) 以n=3为例，其M序列的N=7，为1110010 111011001100010101110111 若“1”对应输出电压-

29、a，并保持一拍 ， “0”对应输出电压+a，并保持一拍 ，则输出图形： n=3时的M序列 T=N +a -a 0 234576 t )(tx 53 自相关函数自相关函数 NT xx dttxtx N dttxtx T R 00 )()( 1 )()( 1 )( T=N +a -a 0 234576 t )(tx n=3时的M序列 54 22 0 2 1 )( 1 ) 0 (aNa N dttx N R N xx 6 5 7 6 2 3 0 5 3 )()(dtadtaaadtadtaa =0时 1 0时 2 55 有 次跳跃(本例4次跳跃),当0时, 2 1N )(tx )()(txtx在一周

30、期中的面积,等于从 相应面积 ,)( 2 tx 2 a 去掉 ,再加上 ,于是有 2 2 1 a N 2 2 1 a N , ), 1 1 ( 2 1 2 1 )( 2 222 N a N N aa N aN N Rxx 0 = ), 1 1 ()( 2 N N aRxx 0 0时,同理 3 56 ), 1 1 ( , )( 2 2 N N a N a Rxx ) 1(N (N-1)时，这时 面积与 相 比，增加的与去掉的正好相等.故有 4)()(txtx 2 57 功率谱密度功率谱密度 对 求付氏变换,可得M序列的功率谱密度 , 它是离散频谱,业已导出。 )( xx R)( xx 0 0 2

31、 2 2 2 2 )() 2 2 ( ) 1(2 )( 2 )( n n xx n Sin N Na N a 0 n 式中， 为狄拉克 函数， 为基频 。 )( NT 22 0 )( xx 0,15N )( xx 对称于纵轴，当对称于纵轴，当 时，时， 谱线图如下：谱线图如下： 58 当 从 下降了3db，即)(xx) 0 ( xx 2 2 ) 1(2 707. 0)( N Na xx 59 当 从 下降了3db，即)(xx) 0 ( xx 2 2 ) 1(2 707. 0)( N Na xx 必须有 )( 0 n 2 0 0 ) 2 2 ( n n Sin 707. 0)( 2 N n N

32、n Sin 代入 N 2 0 解出 。故M序列频带宽度频率 为 3 N n m 3 22 3 0 N N n m 60 2 0 0 ) 2 2 ( n n Sin 707. 0)( 2 N n N n Sin 代入 N 2 0 3 22 3 0 N N n m 可见：M序列功率谱密度与 正比，与序列长度N反 比，在序列周期 一定条件下，与采样周期成正比。 2 a )(NT 若被辨识系统工作频带位于 之内，可把M序列 近似看成理想周期白噪声。 3 2 0 2 2 ) 1(2 707. 0)( N Na xx 61 四、M序列辨识系统脉冲响应的步骤 估计被辨识系统的最高工作频率 和调节 时间 。

33、max s t 选择M序列参数 。aN, 因要求M序列带宽能覆盖被辨识系统的最高工作频 率，取 max 3 2 或 max 3 2 （M序列采样周期） 为使脉冲响应g(t)在M序列一周期内近似衰减至零，取 s tNT （M序列周期） 或 s t N) 5 . 12 . 1 (（M序列长度） 62 通常，基本电平幅值 ，应根据允许噪信比综合考虑： a a，则抗扰性强，但造成非线性失真大，影响系统正常 运行； a，则 幅值小，影响检测，噪信比。)(xx 用计算机产生M序列； 计算互相关函数 ；)( xy R 在生产现场进行辨识时，已有稳定控制信号 输 给系统，产生稳定输出 。当系统处于平稳状态时，

34、 接入二电平M序列，试验框图如下： )(tx )(ty 63 正常输入 )(tx )(tx )(tx )(ty )()()(tytytY )(ty )(Kg 线性系统 )(g M序列 发生器 延迟 乘法器 积分器 )(tx 64 )()()(tytytY 在输入端加M序列 ，则系统输出为 。其 中， 为稳态值，不随时间而变。由于 不是严格白噪声，故 )(tx )(ty)(tx 0)(txE。为了准确，在计算 时，应减去 部分。 )( xy R 1 0 1 0 1 0 1 0 11 1 1 N i N i N i N i xY ixy N iyix N yiyix N iYix N R )()(

35、)( )()( )()()( 其中， 为M序列，其值为 ，令 为正(“1”)时取 ；)(ixa)(tx a )(tx而 为负(“0”)时取 ，即 a )()(ixaSignix )(ty 65 )()(ixaSignix 1 0 1 0 )()( 1 N i N i ixSigny N a ixy N 在一个周期内，M序列的状态1比0多一个， 即 正比负多一个。 )(tx y N a ixSigny N a N i 1 1 )( 1 0 1 0 11 N i N i xY ixy N iyix N R)()()()(又又 y N a Riyix N R xY N i xy )()()( 1 )

36、( 1 0 最后得： 66 y N a Riyix N R xY N i xy )()()( 1 )( 1 0 上式表明：互相关函数 与 仅相差一 个常数，形状完全一样。若已获 图形，则沿 轴 )( xy R)( xY R 上移 ，便可求出 。 )( xY Ry y N a )( xy R 67 由互相关函数 求脉冲响应)( xy R)(tg 二电平M序列的 是周期为 的变化函)( xx R N 数，与理想二位式白噪声序列的 形状不同， 但可把二电平M序列近似看成周期白噪声序列。 )( xx R )()()( ) 2 () 1 ( xxxxxx RRR 对M序列的自相关函数进行分解： 68 其

37、图形及表达式如下： 69 , N a N N a Rxx 2 2 1 1 )( )( ) 1(0 ,N , 0 1 1 2 1 )( )( )( a N N R xx ) 1( , N N a Rxx 2 )2( )( 70 周期性三角形脉冲部分虽与理想脉冲函数有区别， 但当 很小时，两者接近，可把 近似看成强度为 三角形面积的理想脉冲与 迭加，有 )( xx R N a 2 N a a N N Rxx 2 2 )( 1 )( 在M序列的一个周期内，互相关函数 N N N xxxy dg N a ga N N dg N a a dgRR 0 2 2 0 2 2 0 )()( 1 )()( N

38、1N )()()( 2 1 2 2 1 a N N 高底 )( （维纳霍甫方程） 71 如果 在M序列的一个周期 内衰减 至零，则 )(tgNT N Adg N a 0 2 )(（常值） 则有 Aga N N R xy )( 1 )( 2 72 于是，由上一步求出的 曲线，沿纵轴向 上平移A，得到 曲线。因 和 已知，故 可最终得 曲线。 )( xy R )( 1 2 ga N N aN , )(tg 73 五、离散系统的相关函数辨识法五、离散系统的相关函数辨识法 离散相关辨识结构离散相关辨识结构 对连续系统进行相关辨识，往往通过离散方 式进行，采用如下辨识结构： )(t)(t 被辨识系统 计

39、算机 (M序列) )(tx )(ty AD/DA/ )(kM )(nTg 74 假设假设: 系统采样周期与M序列步长 一致; 输入 ,输入噪声 ,输出观测噪声 都是零均值平稳随机噪声,彼此统计独立。 )(tx)(t)(t )(t)(t 被辨识系统 计算机 (M序列) )(tx )(ty AD/DA/ )(kM )(nTg 75 互相关向量函数互相关向量函数)( ym R 被辨识系统方程为： )()()( )()()() 1( kkCxky kkMbkAxkx 状态方程的解为： )1 () 1 ()0() 0() 0( )1 () 1 () 1 () 2( )0() 0() 0() 1 ( 2

40、MbMAbxA MbAxx MbAxx )2() 2()1 () 1 ()0() 0() 0( )2() 2() 2() 3( 23 MbMAbMbAxA MbAxx 1 0 1 )()()0( )1() 1() 1()( k i ikk iiMbAxA kkMbkAxkx 通式: 76 1 0 1 )()()0( )1() 1() 1()( k i ikk iiMbAxA kkMbkAxkx 故离散输出： 1 0 1 0 k i ikk kiiMbCAxCA kkCxky )()()()( )()()( )()()(kkCxky 77 1 0 1 0 k i ikk kiiMbCAxCA k

41、kCxky )()()()( )()()( 当 ，且由于被辨识系统的脉冲响应0) 0 (x bCAikg ik1 ) 1( 故有： )()()()( )()()()()( kikikMig kiiMikgky k i k i 1 0 1 0 11 1 卷积 公式 78 M序列的周期 大于 衰减至零的时间， 互相关函数 NT)(ig )()( NMNyERym 1 0 1 0 ) 1()( )()()1() 1()( N i mm N i iRig NMNiNiNMigE (互协方差互协方差) 显然，取 时，有 N, 3 , 2 , 1 )2() 1() 0 () 1 () 1 () 0 ()

42、2( )1 () 1() 1() 1 () 0 () 0 () 1 ( NRNgRgRgR NRNgRgRgR mmmmmmym mmmmmmym ) 0 () 1() 2() 1 () 1() 0 ()( mmmmmmym RNgNRgNRgNR 设 79 )2() 1() 0 () 1 () 1 () 0 () 2( )1 () 1() 1() 1 () 0 () 0 () 1 ( NRNgRgRgR NRNgRgRgR mmmmmmym mmmmmmym ) 0 () 1() 2() 1 () 1() 0 ()( mmmmmmym RNgNRgNRgNR 写成矩阵形式： ) 1( ) 1

43、 ( ) 0 ( ) 0 () 2() 1( )2 () 0 () 1 ( )1 () 1() 0 ( )( ) 2 ( ) 1 ( Ng g g RNRNR NRRR NRRR NR R R mmmmmm mmmmmm mmmmmm ym ym ym 表示为： )()()(NgNRNR mmym 80 被辨识系统的脉冲响应被辨识系统的脉冲响应 因M序列的幅值为 ，故 ，又因M序 列的直流分量为 ，故 a 2 ) 0 (aR mm N a2 ) 0( )( 2 j N a jRmm 所以，自相关函数 N N N N a a N a N a N a a N a N a N a a NR mm 1

44、1 11 11 )( 2 2 22 2 2 2 22 2 81 N N N N a a N a N a N a a N a N a N a a NR mm 11 11 11 )( 2 2 22 2 2 2 22 2 故有 )( 11 11 11 )( 1 2 NR N N N a N Ng ym )()()(NgNRNR mmym 82 六、由脉冲响应求传递函数六、由脉冲响应求传递函数 连续系统传递函数连续系统传递函数)(sG )(t )(sG )(tg 83 设系统可用如下 阶差分方程表示：n )( 0)()2()()( 002010 antgatgatgatg n 其中， 为 个待定常系数

45、。 n aaa, 21 n 根据上式，时间依次延迟 ，可写出 个方程：n )()()()( )()()()( )()()()( 121 132 2 000201 000201 000201 ntgntgantgantga tgntgatgatga tgntgatgatga n n n 联立求解上述 个方程，可得 。n n aaa, 21 84 设线性定常系统 有 个相异根)(sGn n sss, 21 )(sG则 可用下列分式表示： n i i i ss c sG 1 )( 对上式求拉氏反变换，得脉冲响应函数 )( )( 21 21 1 becececectg ts n tststs n i

46、i ni 85 显然， 时刻的脉冲响应：nttt,2, )()()( )()()( )()()( )( )( )( nts n ntsnts ts n tsts ts n tsts n n n ecececntg ececectg ececectg 21 21 21 21 22 2 2 1 21 2 (c) )( )( 21 21 1 becececectg ts n tststs n i i ni 86 令式 中 ，并代入式 ：)(att 0 )(),(cb )( 0)()2()()( 21 dntgatgatgatg n 由式 ：)(b 代入： ts n tsts n ececectg 21 21 )( 由式 ：)(c )()()()( )()()()2( )( 2211 2211 2211 21 22 2 2 122 2111 nsts n nstsnst s nn sts n stsst s sts n stsst s nn nn nn eeceeceecantga eeceeceecatga eeceeceecatga 87 整理得：式 可写为如下形式：)(d 0)()(1 )()(1 )()(1 2 21 2 21