量纲分析法原理

1、量纲和谐原理我们经常遇到许多物理量，如长度、时间、质量、力、速度、密度及动量等。它们的名 称、记号和量纲如表所示。表1流体力学中常见物理量的量纲名称记号量纲名称记号量纲长度IL压力、切应力P、ML1T2时间tT重力加速度gLT 2质量mM密度ML3力FLMT 2动力粘性系数ML 1T1速度vLT 1运动粘性系数l2t 1加速度aLT 2动量JMLT 1流量qvl3t 1面积AL2速度v表示单位时间内所经历的距离，它的单位是米/秒。距离是长度I,它的量纲是L，而时间t的量纲是T，故速度v的量纲是LT 1 o动量是质量 m和速度v之积。质量的量纲是M ，故动量的量纲是MLT 1o如果我们选定三个相

2、对对立的，例如长度I的量纲L 、时间t的量纲T、质量m的量纲M 为基本量纲，那么其他物理量的量纲都可用这三个基本量纲来表示。如表5-1中所示，例如，加速度a的量纲可表示为LT 2，力F的量纲可表示为LMT 2。当我们把一些物 理量进行组合、分析或作比较时，用量纲表示就比较便利。如果我们要写出一个流体微团的运动方程苕 vF ma式子左边是作用在微团的各力和，它可以包括：重力W、压力P、粘滞v、力弹性力E等；右边是微团的惯性力ma。于是得到v v v v vW +P+t +E = ma(5-1)上式中的每项都是力，所以各项的量纲都是LMT 2。又如，关于理想流体的伯努利方表示流管中三项能头之和保持

3、常数，即等于总能头2 v2gH。每项的单位都是米，故它们的量纲都是L。不仅如此，在力学上任何有物理意义的方程或关系式，每一项的量纲必定相同。这称为力学方程的量纲和谐性原理，又称为“量纲齐次性规律”。量纲和谐原理是由傅里叶 1822年提出来的，它是量纲分析法中具有基本重要性的一个概念，也是量纲分析法的理论基础， 并可具体表达成：只有相同类型的物理量才能相加减， 也就是相同量纲的物理量才可以相加 减或比较大小；不同类型的物理量相加减没有任何意义。 例如，速度可以和速度相加减，但 绝不可以加上粘性系数或压力。 当然，相同量纲和不同单位的物理量之间是可以相互加减和 比较大小的，因为只要将其单位稍加换算

4、即可完成。一个量纲齐次性的方程，可以化为无量纲方程，只要用方程中的任意一项除其他各项。例如，在式（5-1 ）中，用惯性力项遍除其他各项，于是各项都变成无量纲量，而各无量纲量之和等于1，即VVV VWPE,V + V + V+ V 1ma ma ma ma由以上讨论可见，运用量纲可以更明显地指出物理量的性质。不同量纲的物理量不能相加减，但它们可以根据某种需要进行乘除，从而导出另一量纲的物理量。量纲和谐原理可以用来检验新建方程或经验公式的正确性和完整性，也可以用来确定公式中物理量的未知指数， 还可以用来建立有关方程式。 对于量纲齐次的方程， 只要用方程的 任一项量纲去除其余各项，就可以使方程的每一

5、项都变成无量纲量，方程变为无量纲方程。量纲分析就是基于物理方程具有和谐原理，通过量纲分析和计算， 将原来含有较多物理量的方程转化为含有比原物理量少的无量纲方程，使得为研究这些变量关系而进行的实验大大简化。量纲分析法原理在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法分为瑞利法和p定理白金汉定理法。为了简单地说明量纲分析法，我们先来讨论理论力学中熟悉的单摆周期，其关系式为t=2(5-2)可以假设，我们先前只见过单摆的物理现象，而还不知这个表明单摆周期的关系式时,根据和摆动有关的物理量，用量纲法进行如下探索。现把有关物理量和它们的量纲列出如表所示。表2单摆摆动相关的物理量及其量纲物理量符号量纲物理量符号量

6、纲长度IL质量mM时间tT重力加速度gLT 2从实验中观察到，只要摆动的幅度小，周期t是随着I和g变化的。按照瑞利的方法,假设t和其余变量之间的关系，可以写成下一函数形式，即(5-3)得到量纲关t=常量 I m g其中的指数 、 和，是待定的未知数。式中的变量用它们的量纲代替后,系式由于上式的左边可以写成T=La IM b (LT-2)L0M0T1，故有=La +gT-2g但一个具有物理意义的关系式,L0M0T1=La+g 鬃Ib T-2g其各项的基本量纲必然相同，或者说，是满足量纲的齐次 性条件的。于是，上式两边的每个量纲的指数必然相同，即L: a+g =0，M:0，T :21解这些方程后得=1=2=1=2代入式（5-3），即得出t=常量 I1 2 g 12或t g =常量在解中没有说明这个无量纲常量之值，故还得由实验来决定。在实验中，用摆长不同的摆，测量它们摆动的时间。我们发现，只要摆幅小，若测得摆动的时间各为ti、上2、上3,杆的长度各为h、12、13，将得出不变的结果，即以此代入上式得到