线性系统的状态空间描述邱

1、1 第一章 绪论 1 1.1 .1 控制理论的发展历史控制理论的发展历史 1.2 1.2 控制理论的性质控制理论的性质 1.3 1.3 控制理论的应用控制理论的应用 1.4 控制一个动态系统的几个基本步骤 3 1.1 控制理论的发展历史控制理论的发展历史 v1945年年开始形成的开始形成的 v1765年年俄国机械师波尔祖诺夫发明了蒸汽机锅炉水位调节器俄国机械师波尔祖诺夫发明了蒸汽机锅炉水位调节器 v1784年年英国人瓦特英国人瓦特(Watt)发明了蒸汽机离心式调速器发明了蒸汽机离心式调速器 v1877年年劳斯劳斯(Routh)和赫尔维茨和赫尔维茨(Hurwitz)提出判定系统稳定提出判定系统稳

2、定 的代数判据的代数判据 v19世纪前半叶，世纪前半叶，生产中开始使用发电机和电动机生产中开始使用发电机和电动机 v19世纪末到世纪末到20世纪前半叶，世纪前半叶，内燃机的使用内燃机的使用 v二次世界大战中，二次世界大战中，搭起了经典控制理论的框架，战后这些理搭起了经典控制理论的框架，战后这些理 论被公开，并应用于一般的工业生产过程中论被公开，并应用于一般的工业生产过程中 4 经典控制理论（经典控制理论（20世纪世纪4060年代）年代） 1932年奈奎斯特年奈奎斯特(Nyquist)的的再生理论再生理论一文，开辟了频域法的一文，开辟了频域法的 新途径；新途径； 1945年伯德年伯德(Bode)

3、的的网络分析和反馈放大器设计网络分析和反馈放大器设计一文，奠定一文，奠定 了经典控制理论的理论基础，在西方开始形成了自动控制学科；了经典控制理论的理论基础，在西方开始形成了自动控制学科； 1947年美国出版了第一本自动控制教材年美国出版了第一本自动控制教材伺服机件原理伺服机件原理； 1948年美国麻省理工学院出版了另一本年美国麻省理工学院出版了另一本伺服机件原理伺服机件原理教材，教材， 建立了现在广泛使用的频域法；建立了现在广泛使用的频域法； 1948年维纳年维纳(Wiener)在他的名著在他的名著 控制论：或关于在动物和机器控制论：或关于在动物和机器 中控制和通信的科学中控制和通信的科学中基

4、于信息的观点给控制论中基于信息的观点给控制论(Cybernetics)下下 了一个广义的定义。而在控制工程中又称为控制理论了一个广义的定义。而在控制工程中又称为控制理论(Control Theory)。 20世纪世纪50年代是经典控制理论发展和成熟的时期。年代是经典控制理论发展和成熟的时期。 经典控制理论的特点：经典控制理论的特点： 1 1）把系统当作把系统当作 “ “黑箱黑箱”，不反映黑箱内系统内部结构和内，不反映黑箱内系统内部结构和内 部变量，只反映外部变量，即输入输出间的因果关系；部变量，只反映外部变量，即输入输出间的因果关系； 2 2）传递函数为基础，研究系统外部特性，属于外部描述，）

5、传递函数为基础，研究系统外部特性，属于外部描述， 不完全描述；不完全描述； 3 3）主要采用频域法，建立在根轨迹和奈奎斯特判据等基础）主要采用频域法，建立在根轨迹和奈奎斯特判据等基础 之上的；之上的； 4 4）局限性：）局限性： 局限于线性定常系统，不适合非线性和时变系统局限于线性定常系统，不适合非线性和时变系统 是分析方法而不是最佳的综合方法，以试凑法为主，满足性能指是分析方法而不是最佳的综合方法，以试凑法为主，满足性能指 标为目的，无法设计出最优的系统，仅针对某个性能指标，设计标为目的，无法设计出最优的系统，仅针对某个性能指标，设计 方案多样方案多样 局限于单输入单输出系统（局限于单输入单

6、输出系统（SISOSISO系统）系统） 无法考虑系统的初始条件（传递函数的定义）无法考虑系统的初始条件（传递函数的定义） 只能研究确定性的系统，不适合随机系统只能研究确定性的系统，不适合随机系统 现代控制理论的产生和发展现代控制理论的产生和发展 在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速在二十世纪五十年代末开始，随着计算机的飞速 发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出发展，推动了核能技术、空间技术的发展，从而出 现了对多输入多输出系统、非线性系统和时变系统现了对多输入多输出系统、非线性系统和时变系统 的分析与设计问题的解决需求。的分析与设计问题的解决需求。 越来越复杂的系统，经典控制理论

7、已不能胜任，越来越复杂的系统，经典控制理论已不能胜任， 于于50年代末年代末60年代初出现了现代控制理论，是建立年代初出现了现代控制理论，是建立 在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。在古典控制理论基础上的新一代的控制理论。 7 现代控制理论（现代控制理论（20世纪世纪60年代中期成熟）年代中期成熟） 20世纪世纪50年代末年代末60年代初，空间技术开始发展，前苏联年代初，空间技术开始发展，前苏联 和美国都竞相进行了大量研究。和美国都竞相进行了大量研究。 1960年在美国自动控制联合会第一届年会上首次提出年在美国自动控制联合会第一届年会上首次提出 “现代控制理论现代控制理论”这个名词。这个名

8、词。 在状态空间法发展初期，具有重要意义的是庞特里亚金在状态空间法发展初期，具有重要意义的是庞特里亚金 （Pontryagin）的极大值原理。）的极大值原理。贝尔曼（贝尔曼（Bellman）的动）的动 态规划理论和卡尔曼态规划理论和卡尔曼（Kalman）的最佳滤波理论，）的最佳滤波理论，有人有人 把它们作为现代控制理论的起点，把它们作为现代控制理论的起点，主要研究主要研究系统辨识系统辨识、最、最 优控制、优控制、最佳滤波最佳滤波及及自适应控制自适应控制等内容。等内容。 8 20世纪世纪70年代后期，控制理论向广度和深度发展的结果。年代后期，控制理论向广度和深度发展的结果。 大系统理论和智能控制

9、理论大系统理论和智能控制理论 大系统大系统是指规模庞大、结构复杂、变量众多的信息与控制是指规模庞大、结构复杂、变量众多的信息与控制 系统，它涉及生产过程、交通运输、计划管理、环境保护、系统，它涉及生产过程、交通运输、计划管理、环境保护、 空间技术等多方面的控制和信息处理问题。空间技术等多方面的控制和信息处理问题。 智能控制智能控制则研究模糊控制、神经网络、遗传算法等某些具则研究模糊控制、神经网络、遗传算法等某些具 有仿生智能的工程控制与信息处理系统。有仿生智能的工程控制与信息处理系统。 20世纪世纪80年代以后，又相继提出了鲁棒控制系统、容错年代以后，又相继提出了鲁棒控制系统、容错 控制系统、

10、复杂适应系统等一些概念。控制系统、复杂适应系统等一些概念。 现代控制理论与经典控制理论的差异现代控制理论与经典控制理论的差异 经典控制理论 现代控制理论 研究对象单输入单输出系统(SISO):高阶微 分方程 多输入多输出系统(MIMO) :一 阶微分方程 研究方法传递函数法(外部描述) 状态空间法(内部描述) 研究工具拉普拉斯变换 线性代数，矩阵理论 分析方法频域(复域),频率响应和根轨迹法 复域、实域，可控和可观测 设计方法PID控制和校正网络 状态反馈和输出反馈 其他 频率法的物理意义直观、实用， 难于实现最优控制 易于实现实时控制和最优控制 1.2 控制理论的性质 控制理论有两个目标：了

11、解基本控制原理；以数学表达它们，使它们 最终能用以计算进人系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。 自动控制领域中有两个不同的但又相互联系的主题。 第一个主题是反馈的概念。 第二个主题是最优控制的概念。 反馈概括了很广泛的概念，包括当前系统中的多回路、非线性和自适 直反馈，以及将来的智能反馈。 1.3 控制理论的应用 控制系统之所以能得到如此普遍的应用，1、现代仪表化(完备的传感器 和执行机构)与便宜的电子硬件，2、控制理论有处理其模型 和输出信号所具有的不确定性动态系统的能力。 在控制理论中已完善的各种方法愈来愈得到普遍应用的同时，先进的 理论概念的应用却仍集中在像空间工程那样的高技术方面。

12、当然，由于计 算机技术的飞速发展和世界性的激烈的工业竞争，这种情况将会改变。 钢铁行业中热轧厂是最早成功地采用计算机控制的工厂。 控制概念得到主要应用的一个领域是石油化工生产过程。 1.4 控制一个动态系统的几个基本步骤 简单地说，控制一个动态系统有下列四个基本步骤： 建模 基于物理规律建立数学模型； 系统辨识 基于输入输出实测数据建立数学模型； 信号处理 用滤波、预报、状态估计等方法处理输出； 综合控制输入 用各种控制规律综合输入。 1建模 为一个系统选择一个数学模型是控制工程中最重要的工作。 2系统辨识 系统辨识可以定义为用在一个动态系统上观察到的输入与输出数据来 确定它的模型的过程。 当

13、前系统辨识方面的研究集中在下列诸基本问题上：辨识问题的可解 性和问题提出的恰当性、对各类模型的参数估计方法。 信号处理是控制理论外面的独立的一门学科，但这两学科之问有许多 重叠之处，而控制界曾对信号处理作出了重要贡献，特别是在滤波和平滑 的领域。 3信号处理 4控制的综合 这些过程的复杂性导致了各种控制研究课题，主要有： 鲁棒控制理论 适应控制一 多变量控制 非线性控制理论 分布参数控制 其它控制 14 第二章 线性系统的状态空间描述 15 本章主要内容 v2.1 状态空间分析法 v2.2 状态结构图 v2.3 状态空间描述的建立 v2.4 化输入-输出描述为状态空间描述及 其几种标准形式 v

14、2.5 由状态空间求传递函数 v2.6 离散时间系统的状态空间描述 v2.7 状态矢量的线性变换 16 系统描述中常用的基本概念 v 系统的外部描述 传递函数 v 系统的内部描述 状态空间描述 由外部描述 求其 内部描述 系统实现 17 1、外部描述、外部描述 经典控制理论中，系统一般可用常微分方程在时域经典控制理论中，系统一般可用常微分方程在时域 内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困 难的。难的。 经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系 统，得到联系输入统，得到联系输入-输出关系的传

15、递函数，基于传递函数输出关系的传递函数，基于传递函数 设计设计SISO系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分 布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计 法，至今仍得到广泛成功地应用。法，至今仍得到广泛成功地应用。 但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处 于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递 函数不能包含系统的所有信息。函数不能包含系统的所有信息。 18 2、内部描述、内部描述 由于六十年代

16、以来，控制工程向复杂化、高性能由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能 方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、 误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之 利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而 可能处理复杂的时变、非线性、可能处理复杂的时变、非线性、MIMO系统的问题，系统的问题， 但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是 需要用新的对系统内部进行描述的新方法：状态空间需要用新的

17、对系统内部进行描述的新方法：状态空间 分析法。分析法。 19 为什么采用状态空间描述（内部描述）为什么采用状态空间描述（内部描述）？ v观察观察：在经典控制理论中，对一个不稳定系统在经典控制理论中，对一个不稳定系统 1 1 S S sH c 1 1 S sH f （在S右半平面有一个极点） 为使系统稳定，加一个补偿环节为使系统稳定，加一个补偿环节 总传递函数为：总传递函数为： )1( 1 )1)(1( 1 )( SSS S sHsH c f 结果稳定吗？结果稳定吗？ 20 1 X 1 X 2 X 2 X uy 建立模拟计算机仿真图建立模拟计算机仿真图 写出状态空间表达式写出状态空间表达式 u

18、x x x x 1 2 11 01 2 1 2 1 T xxy 21 10 20 10 2 1 )0( )0( x x x x 求解状态方程：求解状态方程： uexex tt 2 101 uexeexex tttt 10202 )( 2 1 21 从内部看：由于包含了从内部看：由于包含了 不稳定不稳定 t e 1 1 )( S sH uetx t )( 2 从外部看：总传递函数为：从外部看：总传递函数为： 稳定稳定 差异的原因？差异的原因？ 若初始条件为零：若初始条件为零：0 2010 xx 则： 传递函数的定义：传递函数的定义：在零初始条件下在零初始条件下，输出的拉氏变化，输出的拉氏变化 与

19、输入的拉氏变化之比与输入的拉氏变化之比 能否始终保持能否始终保持零零初始条件初始条件 事实上：事实上：精确依赖零极点对消 元件性能的差异 初始条件不为零 导致不稳定导致不稳定 22 2.1 状态空间分析法 v状态空间分析法例子状态空间分析法例子 v状态变量和状态矢量状态变量和状态矢量 v状态空间和状态空间描述状态空间和状态空间描述 23 一、状态空间分析法例子一、状态空间分析法例子 1、R-L-C电网络系统电网络系统 解：以 作为中间变量，列写该回路的微分方程 选 )(ti uidti dt di L C 1 R RL + _ + _ u(t)uc(t) + _ y i(t) 输入输出 C 1

20、 )(tuy c idt i 1 x 2 x idt 24 为系统两状态变量，则原方程可化成 写成矩阵方程： 1 x 2 x L R LC 1 10 1 x 2 x L 1 0 )(tu dt di L R 1 x LC 1 2 x)( tu L 1 1 x y 2 x)(tuc 1 x 2 x C 1 y 1 x 2 x C 1 0 25 一、状态空间分析法例子一、状态空间分析法例子 2、机械系统的状态空间描述、机械系统的状态空间描述 外力 位移 Ku(t) m y(t) b )(tu ym yb ky 根据牛顿力学原理 yx 1 yx2 令 -弹性系数 阻尼系数 26 21 xx )( 1

21、 2 tu m y m b y m k yx )( 1 21 tu m x m b x m k 1 xy 动态方程如下动态方程如下 27 状态空间描述为：状态空间描述为： 2 1 x x m b m k 10 2 1 x x u m 1 0 2 1 01 x x y 28 二、状态变量和状态矢量 v状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆时刻的初始状态能记忆 系统在系统在 t=t0时输入的时间函数时输入的时间函数 ，那么，系统在，那么，系统在t=t0的任何的

22、任何 瞬间的行为瞬间的行为 就完全确定了。就完全确定了。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用最小个数：意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方阶微分方 程描述的含有程描述的含有n个独立变量的系统，当求得个独立变量的系统，当求得n个独立变量随时个独立变量随时 间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于间变化的规律时，系统状态可完全确定。若变量数目多于n， 必有变量不独立；若少于必有变量不独立；若少于n，又不足以描述系统状态。，又不足以描述系统状态。 100 , n xtxt u t 1n x txt， ， 29 状态变量的选取具有非唯一性，即可用某状态变量的选取具有非唯一性

23、，即可用某 一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变 量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可 测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择 容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、 改善系统性能的需要。改善系统性能的需要。 30 ：把把 这几个状态变量看这几个状态变量看 成是矢量成是矢量 的分量，则的分量，则 称为状态矢量。记作：称为状态矢量。记作： )(),.,(),( 21 txtxtx n )(tX X )(tX X )( )( 1

24、 tx tx n X(t)X(t) 或：或：)().,(),()( 21 txtxtxt n T X X 31 ：以状态变量以状态变量 为坐标为坐标 轴所构成的轴所构成的n维空间。维空间。 q在某一特定时刻在某一特定时刻t ，状态向量，状态向量 是状态空间的是状态空间的 一个点。一个点。 )(),.,(),( 21 txtxtx n )(tX X ：以以 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出在状态空间绘出 的一条轨迹。的一条轨迹。 )(tX X )()( 0 ttX XX X 三、状态空间和状态空间描述 32 状态空间描述状态空间描述 用状态变量构成输入、输出与状态

25、之间的关系方程用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程 组即为组即为状态空间描述状态空间描述。状态空间描述是状态方程、输出。状态空间描述是状态方程、输出 方程的组合：方程的组合： （1）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关）状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关 系的数学表达式称为状态方程。系的数学表达式称为状态方程。 （2）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输）在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输 入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量 与状态变量和输入变量的因果关系。与状态变量和输入变量的因果关系。 由于由于n阶系

26、统有阶系统有n个独立状态变量，于是状态方程是个独立状态变量，于是状态方程是 n个的一阶微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具个的一阶微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具 有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态空间描述也有非唯一性，所选取的状态变量不同，状态空间描述也 不同，故系统的状态空间描述也具有非唯一性。不同，故系统的状态空间描述也具有非唯一性。 33 在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量在讨论状态方程时，为简单起见，先假设系统的输入变量 为阶跃函数，即为阶跃函数，即u的导数为零。的导数为零。SISO线性定常连续系统，其状线性定常连续系统，其状 态变量为态变量为 ，则一

27、般形式的状态空间描述写，则一般形式的状态空间描述写 作：作： (1-8) (1-9) 式中常系数式中常系数 ； 与系与系 统特性有关。统特性有关。 111 , nnn aabb， ，； ， 1n ccd， ，； SISO线性定常系统的状态空间描述： n xxx 21 ubxaxaxax ubxaxaxax ubxaxaxax nnnnnnn nn nn 2211 222221212 112121111 duxcxcxcy nn 2211 34 方程（方程（1-8）、）、（1-9）可写成矩阵形式：可写成矩阵形式： 1 2 n x x x x 1 2 n b b b b 输入矩阵，n1列矩阵。 式

28、中：式中： 1 2 n x x x x n维状态矢量 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa a aa A 系统矩阵， nn矩阵。 ：输出矩阵，1n行矩阵），d为直接联 系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。 12n cccc， ， uAxxb uxydc 35 MIMO线性定常系统（r个输入，m个输出） 的状态空间描述 rnrnnnnnnnn rrnn rrnn ubububxaxaxax ubububxaxaxax ubububxaxaxax 22112211 222212122221212 121211112121111 rmrmmnmnmmm r

29、rnn rrnn ududubxcxcxcy udududxcxaxay udududxcxcxcy 22112211 222212122221212 121211112121111 36 , 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A 系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn , 21 22221 11211 nrnn r r bbb bbb bbb B 作作用用表表征征输输入入对对每每个个变变量量的的输输入入矩矩阵阵维维,rn 状态矢量维1, T 21 n n xxxx 输入矢量维1, T 21 ruuuu r BuAxx DuCxy 37 , 21 2222

30、1 11211 mnmm n n ccc ccc ccc C 量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变 输输出出矩矩阵阵维维nm , 21 22221 11211 mrmm r r ddd ddd ddd D 0D , 通常 传递关系表征输入对输出的直接 直接传递矩阵又称为前馈矩阵维rm 输出矢量维1, T 21 m m yyyy 38 系统框图系统框图 ： B BC C A A D D U U X XX XY Y DUDUCXCXY Y BUBUAXAXX X i k 注注:负反馈时为负反馈时为 注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个积分器 积分器积分

31、器 比例器比例器 加法器加法器 39 , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa A 系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 nrnn r r bbb bbb bbb B 作作用用表表征征输输入入对对每每个个变变量量的的输输入入矩矩阵阵维维,rn 状态矢量维1, T 21 n n xxxx 输入矢量维1, T 21

32、ruuuu r uBxAx)t()t( uDxCy)t()t( 40 , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 mnmm n n ccc ccc ccc C 量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变 输输出出矩矩阵阵维维nm , ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t () t () t ( ) t ( 21 22221 11211 mrmm r r ddd ddd ddd D 0D , 通常 传递关系表征输入对输出的直接 直接传递矩阵又称为前馈矩

33、阵维rm 输出矢量维1, T 21 m m yyyy 41 1.2 状态结构图 v状态空间描述的结构图绘制步骤： 画出所有积分器； v积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的 输出表示相应的某个状态变量。 根据状态方程和输出方程，画出相应的 加法器和比例器； 用箭头将这些元件连接起来。 42 例1-1 画出一阶微分方程的状态结构图。 状态结构图状态结构图 buaxx 微分方程：微分方程： 43 系统系统 系统系统 44 1.3 1.3 状态空间描述的建立状态空间描述的建立 建立状态空间描述的三个途径：建立状态空间描述的三个途径： 1、由系统框图建立、由系统框图建立 2、由系统物理或化学机理进行

34、推导、由系统物理或化学机理进行推导 3 、由微分方程或传递函数演化而得、由微分方程或传递函数演化而得 45 一一、由系统框图建立状态空间描述、由系统框图建立状态空间描述 u y 4 k 1 1 1 sT k 1 2 2 sT k sT k 3 3 系统框图如下：系统框图如下： 将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换将积分部分单独表述出来，对结构图进行等效变换 等效变换如下：等效变换如下： 46 图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图（选 择积分环节后的变量为状态变量）：择积分环节后的变量为状态变量）： 则有：则有： 2 1

35、 3 1 x T k x 3 2 2 2 2 2 1 x T k x T x u T k x T x T k kx 1 1 3 1 1 1 1 43 1 1 xy 写成矩阵形式：写成矩阵形式： u T k x x x TT kk T k T T k X 1 1 3 2 1 11 41 2 2 2 3 3 0 0 1 0 1 0 00 X001y 47 系统系统 48 二、由系统机理建立状态空间描述 v步骤：步骤： 1)根据系统的机理建立相应的微分方程或根据系统的机理建立相应的微分方程或 差分方程；差分方程； 2)选择有关的物理量作为状态变量；选择有关的物理量作为状态变量； 3)导出状态空间表达

36、式。导出状态空间表达式。 49 系统储能元件的输出系统储能元件的输出 系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数 使系统状态方程成为某种标准形式的变量使系统状态方程成为某种标准形式的变量 （对角线标准型和约当标准型）（对角线标准型和约当标准型） 50 电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量，为输入量， u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。 图图 L L2 2 u uA A u u1 1 u u2 2 + + _ _ + + _ _ i i1 1i i2 2 R R2 2 R R1 1 L L1 1 1) 1) 选

37、择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2，可以选择，可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量，为状态变量， 且两者是独立的。且两者是独立的。 51 2 2）根据克希荷夫电压定律，列写）根据克希荷夫电压定律，列写2 2个回路的微分方程：个回路的微分方程： 2121 2222121 212111 )( )( )( 2 1 uRiiu RiLuRii uRiiLu A dt di dt di 右回路右回路 左回路左回路 整理得：整理得： 21211 2 1 21 2 1 1 1 21 22 21 2 12 111 1 1 11 uRiRiu uii uuii

38、 A LL RR L R dt di LLL R L R dt di 52 3 3）状态空间表达式为：）状态空间表达式为： 2 1 2 1 11 2 1 1 11 2 1 2 1 10 0 2 11 2 21 2 1 1 1 1 1 u u i i RRu u u i i i i A L LL L RR L R L R L R 53 试列出在外力试列出在外力f作作 用下，以质量用下，以质量 的位移的位移 为输出的为输出的 状态空间描述。状态空间描述。 21,M M 21, y y 1 v 2 v 1 k2 k 1 y 2 y 1 M 2 M 1 B 2 B f 该系统有四个独立的储能元件。取状

39、态变量如下：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下： 2241132211 ,vyxvyxyxyx 11y k 11 y M 11y B )( 122 yyB 22 y M )( 122 yyk f 1 M 2 M 质量块受力图如下：质量块受力图如下： 54 则有：则有：)()( 122122111111 yyByykykyByM 及：及：fyykyyByM )()( 12212222 将所选的状态变量将所选的状态变量 2241132211 ,vyxvyxyxyx 代入上式并整理出状态方程得：代入上式并整理出状态方程得： 22 11 xy xy 输出方程：输出方程： f M x M B x

40、 M k x M k x x M B x M BB x M k x M kk x xx xx 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 4 4 1 2 3 1 21 2 1 2 1 1 21 3 42 31 1 状态方程：状态方程： 55 写成矩阵形式：写成矩阵形式： f M X M B M k M k M B M BB M k M kk X 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 21 1 2 1 21 1 0 0 0 0 1000 0100 4 3 2 1 0010 0001 x x x x y 56 1.4 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 及其几种标准形式及其几

41、种标准形式 对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状对于给定的系统微分方程或传递函数，寻求对应的状 态空间描述而不改变系统的输入态空间描述而不改变系统的输入-输出特性，称此状态空输出特性，称此状态空 间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不 同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。同，其状态空间描述也不同，故其实现方法有多种。 为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实为便于揭示系统内部的重要结构特性，导出标准形实 现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极现最有意义，从传递函数组成上可分存在与不存在零、极 点

42、对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况，点对消两种情况，这里只研究不存在零、极点对消的情况， 所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的所求得的状态空间描述中，状态变量数量最少，各矩阵的 维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为维数最小，构造硬件系统时所需的积分器个数最少，称为 最小实现。最小实现。 本节先研究本节先研究SISO系统。系统。 57 线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为 ububububyayayay m m m m n n n 01 ) 1( 1 )( 01 ) 1( 1 )( n n阶阶SISOSISO控制系统的时域模型为：

43、控制系统的时域模型为： 可实现的条件：可实现的条件： mmn uxy uAxx dc b 系统的传递函数为：系统的传递函数为： 01 1 1n 01 1 1mm )( asasas bsbsbsb sW nn mm 58 当系统传递函数中m=n时，即 应用长除法有 01 1 1n 01 1n 1n n n )( asasas bsbsbsb sW nn D(s) N(s) b asasas ss bsW nn n 01 1 1n 01 1n 1n n )( 59 式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数， 是严格有 理真分式，其系数用综合除法得 n b N s D s 000 111 111 n

44、 n nnnn ba b ba b bab 其状态空间描述为其状态空间描述为 n uyb uxAxbcx， (1-44) (1-45) 式中A、b、c由实现方式确定，其形式不变，唯输出方程中需 增加一项 n b u 60 微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）：微分方程形式（微分方程中不包含输入函数的导数项）： ubyayayay nn 001 )1( 1n )( 系统的传递函数为：系统的传递函数为： 01 1 1n 0 )( asasas b sW nn 61 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。

45、即： )(0)0(,),0(),0( )1( tutyyy n 的的输输入入及及 令令: uxaxaxax xx xx xx x nnn nn 12110 1 32 21 0 1 y b 1 1、标准、标准I型型 62 状态方程为状态方程为: 输出方程为输出方程为: u x x x aaax x x nnn 1 0 0 10 010 2 1 110 2 1 xy00b0 63 状态变量是输出状态变量是输出y及及y的各阶导数的各阶导数 系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方的元素为特点：主对角线上方的元素为1，最后一行为微分，最后一行为微分 方程系数的负值，其它元素全为方程系数的负值，其它元素全为

46、0，称为友矩阵或相伴矩阵。，称为友矩阵或相伴矩阵。 0 b 0 a 2 xuy 1 x n x n x 1 n x 1 a 1 n a 2 n a 64 2、标准II型 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即：则系统行为被完全确定，依此选择一组状态变量。即： )(0)0(,),0(),0( )1( tutyyy n 的的输输入入及及 令令: n ii1i 0n01 xy 1-n,1,iyaxx ubxax 65 状态方程为状态方程为: 输出方程为输出方程为: u x x x x a a a a x x x x n n n n n n 0 0 0 b 100

47、 000 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 xy1000 66 标准标准I型的型的A、b阵和标准阵和标准II型的型的A、c阵互为转置阵互为转置 的关系，即：的关系，即： T III T III bc,AA 67 二、传递函数中有零点时的实现 ) 1 (ububububyayayay 01 1)(n 1n (n) n01 1)(n 1n (n) 不失一般性，微分方程形式：不失一般性，微分方程形式： 状态变量选择原则：状态变量选择原则： 使导出的一阶微分方程组右边不出现使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。的导数项。 68 设系统传递函数为： 应用长除法有

48、01 1 1n 01 1n 1n n n )( asasas bsbsbsb sW nn 1、标准I型 000 111 111 n n nnnn ba b ba b bab 其中： D(s) N(s) b asasas ss bsW nn n 01 1 1n 01 1n 1n n )( 69 （1）能控）能控I型型 引入中间变量z，以u作为输入、z作为输出的不含输 入导数项的微分方程，即 1 110 1 110 nn n n n za zaz a zu yzzz (1-17) 70 12 23 1 011 01121 n nn nn xx xx xa za zazu a xa xaxu 定义如

49、下一组状态变量 1 120 n xz xzxz ， (1-18) 可得状态方程： 71 输出方程为 其向量-矩阵形式为 式中 0121 0100 0010 0001 n aaaa A 0 0 0 1 b 1 2 1n n x x x x x 011n c 0 11 21nn yxxx ubn uyxAxbcx， ubn 72 )2( 11 2n23 1n12 n1 uxx uxx uxx uyx nn （2）能观测）能观测I型型 1.）选择状态变量）选择状态变量 式中系数式中系数 是待定系数是待定系数. n , 10 )3( 11 2n32 1n21 uxx uxx uxx nn 整理整理(2

50、)式得式得: )4( n1 012110 uxy uxaxaxax nnn 由结构图可以看出由结构图可以看出: 73 联立联立(3)式和式和(4)式，即可式，即可求得状态空间表达式为：求得状态空间表达式为： ux aaa x n 0 1n 110 1 000 010 uxy n 001 从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了 2.）求）求 n ,., 210 思路思路:由式由式(2)可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的形的形 式，并代入式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中 ，根据，根据u及

51、其各阶及其各阶 导数的系数相等的原则求解：导数的系数相等的原则求解： A仍然是友矩阵仍然是友矩阵 74 )5( 12 )2( 1n )1( n )1( n1n2n3n1n2 n1n2n1 n1 uuuuxy uuuxuuxy uuxuxy uxy nn n n 由式由式(2)可以得到下式可以得到下式： 在结构图中增加一个中间变量：在结构图中增加一个中间变量： )6( 01 uxx nn 1 n x 令令 由式由式(5)和式和式(6)可求得：可求得： uuuuux uuuuxy nn n nn n n 012 )1( 1n )( n1 12 )1( 1n )( n )( (7) 75 将式将式(

52、5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中中，根据左右等式中u 及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则可得到： n , 10 ) 8 ( 0 n01n1221100 n21n122n n111n n 102111 aaaab aab ab b xaxaxax nn nnn nn n nnn 为便于记忆，为便于记忆， 将上式写成：将上式写成： 0 1 1n n 76 2、标准II型 v与标准I型相同，标准II型也分为能控II型和 能观II型。 v能观II型与能控I型互为对偶。 v能控II型与能观I型互为对偶。 77 n n n nkk

53、 n n n n b s c s c s c s c s c s c ssss bsbsbsb s 2q 2q 1q 1q 1 11 1q 1 )1q(1 q 1 q1 21 q 1 01 1 1 )()()( )()()( )(W 不失一般性，讨论不失一般性，讨论 此系统：此系统： 也有一个也有一个q重极点：重极点： n , 2q1q 1 既有互异极点：既有互异极点： 整理得整理得 ) 1 ()()()( )( )( 1q q 1 1q 1 )1q(1 sUbsU s c sU s c sY n n i i i j j j 78 )2(), 2q, 1q()( 1 )(nisU s sX i

54、 i )3(), 2q, 1q(niuxx iii 令令 拉氏反变换可得：拉氏反变换可得： 系数系数 为待定系数，其中为待定系数，其中 ，采用，采用计算：计算： i cni,.2 , 1 q 1 1 1 1)1(q )()(W )!1( 1 q,.,2 , 1 1 ss ds d j LimCj j j s j 时，当 )(lim,.,2q, 1q i s i ssGcni i 时，当 79 令令 )4()q,.,2 , 1()( )( 1 )( 1q 1 jsU s sX j j ) 1q,.,2 , 1()( )( 1 )( q 1 1 jsU s sX j j 则：则： )5( )q()

55、( 1 )( ) 1q,.,2 , 1( 1 )()( 1 1 1 jsU s sX j s sXsX j jj 联立上两式得：联立上两式得： )6( )q( ) 1q, 2 , 1( 1 11 juxx jxxx jj jjj 拉氏反变换可得：拉氏反变换可得： )7(),.,2 , 1()()()(nisUbsXcsY niii 联立联立(1)、(2)、(4)可得：可得： 80 ub x x x u x x x x x x x x x x x x n n nnn k k k 2 1 n1q1112)1q(11q 2q 1q q 2 1 2q 1q 1 1 1 2 1 2 1 cccccc y

56、 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 01 由由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为：可得状态空间描述为： 81 xn xq+1 x11x12 x1q y(t)u(t) + + + + -1 1 -q+1 q+1 -n n -1 1 -1 1 c11 c12 c1q cq+1 cn 11 x 12 x q1 x 1q x n x 82 1.5 由状态空间求传递函数 1）SISO系统，用传递函数系统，用传递函数G(s)描述，描述，W(s)是一是一 个元素；个元素； 2）MIMO系统，多个输入对多个输出，故引入系统，多个输入对多个输出，故引入 传递函数矩阵传递函数矩阵W(s) ，W

57、(s)是一个矩阵，可以表是一个矩阵，可以表 征多个输入对系统输出的影响；征多个输入对系统输出的影响； 83 状态空间描述：状态空间描述： DuCxy BuAx x 根据传递函数定义，对上式进行拉氏变换，并令根据传递函数定义，对上式进行拉氏变换，并令 ，得式：，得式： 0) 0( 0 xx )()()( )()()( sDUsCXsY sBUsAXssX 整理上式得：整理上式得： )()()( 1 sUDBAsICsY 84 mrmm r r DBAsIC sU sY s WWW WWW WWW )( )( )( )(W 21 22221 11211 1 注意矩阵求逆注意矩阵求逆 定义传递函数矩

58、阵：定义传递函数矩阵： 1）dim(W(s)=mr，其中，其中dim()表示表示的维数。的维数。 m是输出维数，是输出维数，r是输入维数。是输入维数。 )( )( )(W sU sY s j i ij 2）W(s)的每个元素的含义：的每个元素的含义： 表示第表示第i个输出中，由第个输出中，由第j个输入变量所引起个输入变量所引起 的输出和第的输出和第j个输入变量间的传递关系。个输入变量间的传递关系。 3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的）同一系统，不同的状态空间表达式对应的W(s)是相同的。是相同的。 mrmm r r DBAsIC sU sY s WWW WWW WWW )( )( )(

59、)(W 21 22221 11211 1 注意矩阵求逆注意矩阵求逆 定义传递函数矩阵：定义传递函数矩阵： 85 求由求由 所表述系统的所表述系统的W(s) 112 011 20 12 01 6116 100 010 CBA， )det( )( )( 1 AsI AsIadj AsI 根据矩阵求逆公式：根据矩阵求逆公式： 由传递函数矩阵公式得：由传递函数矩阵公式得： 20 12 01 6116 10 01 112 011 )()(W 1 1 s s s DBAsICs 86 2 2 23 1 6116 )6(6 16116 6116 1 6116 10 01 sss sss sss sss s

60、s s 求得：求得： 求得传递函数阵为：求得传递函数阵为： 1417352564 43294 6116 1 )(W 22 22 23 ssss ssss sss s 87 1.6 离散时间系统的状态空间描述离散时间系统的状态空间描述 完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输 出量等都是离散信息；出量等都是离散信息； 局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信 号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送 处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才