结构力学第11章结构的极限荷载与弹性稳定

1、 11-1 概述 11-2 基本概念 11-3 比例加载一般规律 11-4 超静定结构的极限荷载计算 11-5 压杆临界荷载 1、弹性分析方法、弹性分析方法 把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。 其强度条件为其强度条件为 2、塑性分析方法、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为 11-1 概述 max结构的实际最大应力；结构的实际最大应力；材料的容许应

2、力；材料的容许应力； u材料的极限应力；材料的极限应力； k安全系数。安全系数。 F结构实际承受的荷载；结构实际承受的荷载；Fu极限荷载；极限荷载； K安全系数。安全系数。 max u k u F F K 11-1 概述 结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关 系作合理地简化。简化为系作合理地简化。简化为理想弹塑性理想弹塑性材料。如图所示。材料。如图所示。 OA段：材料是理想弹性的，应力段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。与应变成正比。 AB段：材料是理想塑性的，应力不段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。变，应变可

3、以任意增长。 CD段：应力减为零时，有残余应段：应力减为零时，有残余应 变变OD。 结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一 次加于结构，且各荷载按同一比例增加次加于结构，且各荷载按同一比例增加比例加载比例加载。 主要内容主要内容：解释几个基本概念，：解释几个基本概念，极限弯矩极限弯矩、塑塑 性铰性铰和和极限状态极限状态。 图图示例示例：纯弯曲状态纯弯曲状态下的下的理想弹塑性材料理想弹塑性材料的矩的矩 形截面梁。形截面梁。 随着弯矩随着弯矩MM的增大，梁会经历由弹性阶段到弹的增大，梁会经历由弹性阶段到弹 塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（

4、塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（见下页图）见下页图） M h M b 11-2 基本概念 实验表明实验表明：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时 的的平面假定平面假定都成立。都成立。 a)b)c) s s y0 y0 s s s s h b 11-2 基本概念 一、极限弯矩一、极限弯矩 分析：分析：(1) 图图(a)表示表示截面处于弹性阶段截面处于弹性阶段。 该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处， 称为称为屈服极限屈服极限 y，此时的弯矩，此时的弯矩Ms称为称为弹性弹性 极限弯矩极限弯矩，或称为，或称为屈服弯矩屈服弯矩。即：。即

5、： s s a) 2 6 Ss bh M （2）图图(b）截面处于弹塑性阶段截面处于弹塑性阶段， 截面外边缘处成为塑性区，截面外边缘处成为塑性区，应力为常数应力为常数， b) y0 y0 s s 11-2 基本概念 = s；在截面内部在截面内部(|y| y0)则则仍为仍为弹性区弹性区，称为，称为弹性弹性 核核，其其应力为直线分布应力为直线分布，即：，即： (3) 图图(c)表示表示截面达到塑性流动阶段截面达到塑性流动阶段。 在弹塑性阶段中，随着在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的增大，弹性核的 高度逐渐减小，最后高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯此时相应弯 矩矩是截面所能承受的最大弯矩，是截

6、面所能承受的最大弯矩，称为称为 “极限弯矩极限弯矩” ，即：，即： c) s s 11-2 基本概念 比较两式比较两式可知：对于矩形截面，可知：对于矩形截面，极限弯矩为弹极限弯矩为弹 性极限弯矩的性极限弯矩的1.5倍倍，即，即Mu=1.5Ms。 二、二、 塑性铰和极限荷载塑性铰和极限荷载 在塑性流动阶段，在极限弯矩在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的保持不变的 情况下，情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对两个无限靠近的截面可以产生有限的相对 转角转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就时，就 称该截面产生了称该截面产生了塑性铰塑性铰。 塑性铰是

7、单向铰塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增。因卸载时应力增量与应变增 量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。 因此因此塑性铰塑性铰 11-2 基本概念 只能沿弯矩增大的方向发生有限的只能沿弯矩增大的方向发生有限的相对相对转角转角。若沿若沿 相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再 具有铰的性质具有铰的性质。 FPu l/2l/2 FPu Mu Mu 上图示上图示简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的 增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截，跨中截

8、 面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度跨中挠度 11-2 基本概念 可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称为可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称为极极 限状态限状态，相应的荷载称为，相应的荷载称为极限荷载极限荷载FPu。 。 例例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载 作用作用(图图a)，试求极限荷载，试求极限荷载FPu 。 解解：由：由M图知图知跨中截面跨中截面 弯矩最大弯矩最大，在极限荷载作用，在极限荷载作用 下，下，塑性铰将在跨中截面形塑性铰将在跨中截面形 成成，弯矩达极限值，弯矩达极限值M

9、u(图图b)。 11-2 基本概念 由此得出由此得出极限荷载极限荷载FPu，即有，即有 最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩 形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它 形式的截面形状，也有类似的结果。形式的截面形状，也有类似的结果。 由由静力条件静力条件，有：，有： 11-2 基本概念 为了保证结构的安全和正常使用，设计中除了进行强为了保证结构的安全和正常使用，设计中除了进行强 度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。 11-2 基本概念 三、三、 稳定问题稳定问题

10、1、三种不同性质的平衡、三种不同性质的平衡 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。干扰消失，恢复原位。 中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。 不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。干扰消失，不能恢复原位。 结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。 图图a所示理想中心受压直杆。当所示理想中心受压直杆。当F值达到值达到 某一特定数

11、值时，由于干扰压杆发生微小弯某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯 曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上， 不能回到原来的直线位置，如图不能回到原来的直线位置，如图b。 此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形 式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式 这种现象为压杆这种现象为压杆丧失了第一类稳定性丧失了第一类稳定性。 分支点失稳分支点失稳 11-2 基本概念 2、两类不同形式的失稳、两类不同形式的失稳 图图a所示承受均布水压力的圆环，当压所示承受均布水压力的圆环，当压 力

12、达到临界值力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡时，出现了新的非圆的平衡 形式。形式。 图图b所示承受均布荷载的所示承受均布荷载的 抛物线拱，图抛物线拱，图c 所示刚架，荷所示刚架，荷 载达到临界值之前处于受压载达到临界值之前处于受压 状态，荷载达到临界值时出状态，荷载达到临界值时出 现同时具有压缩和弯曲变形现同时具有压缩和弯曲变形 的新的平衡形式。的新的平衡形式。 图图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅所示工字梁，荷载达到临界值前仅 在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生 斜弯曲和扭转。斜弯曲和扭转。 11-2 基本概念 丧失第一类稳定性的特征：丧失第

13、一类稳定性的特征： 结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变， 原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。 图图a所示由塑性材料制成所示由塑性材料制成 的偏心受压直杆，一开始就处的偏心受压直杆，一开始就处 于同时受压和弯曲的状态。当于同时受压和弯曲的状态。当 F达到临界值达到临界值Fcr时，荷载不增时，荷载不增 加或减小，挠度仍继续增加如加或减小，挠度仍继续增加如 图图b丧失第二类稳定性。丧失第二类稳定性。 极值点失稳极值点失稳 工程结构实际上均属于第二类稳工程结构实际上均属于第

14、二类稳 定问题。可将其简化为一类稳定问题定问题。可将其简化为一类稳定问题 来处理。来处理。 11-2 基本概念 11-3 比例加载一般规律 结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极 限荷载必须同时满足下面三个条件限荷载必须同时满足下面三个条件 平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或 任一局部都能维持平衡。任一局部都能维持平衡。 单向机构条件：单向机构条件：在极限状态下，在极限状态下，结构已有足够数量结构已有足够数量 的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，

15、能够沿 荷载作正功的方向作单向运动。荷载作正功的方向作单向运动。 u MM 11-3 比例加载一般规律 内力局限条件内力局限条件( (屈服条件屈服条件) )：在极限状态下，结构任：在极限状态下，结构任 一截面的内力都不超过其极限值。任一截面弯矩绝一截面的内力都不超过其极限值。任一截面弯矩绝 对值都不超过其极限弯矩对值都不超过其极限弯矩 可破坏荷载可破坏荷载 可接受荷载可接受荷载 可破坏荷载可破坏荷载 只满足平衡条件和单向机构条件。只满足平衡条件和单向机构条件。 可接受荷载可接受荷载 只满足平衡条件和内力局限条件。只满足平衡条件和内力局限条件。 P F P F P F 将满将满足单向机构条件和平

16、衡条件的荷载称为可破坏足单向机构条件和平衡条件的荷载称为可破坏 荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得 的荷载值，用的荷载值，用 表示。表示。 将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷 载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内 力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此 荷载值称为可接受荷载用荷载值称为可接受荷载用 表示。表示。 P F 11-3 比例加载一般规律 基本

17、定理基本定理: :可破坏荷载可破坏荷载 恒不小于可接受荷载恒不小于可接受荷载 ，即，即 P F P F PP FF 唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷 载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是 极限荷载。极限荷载。 上限定理（极小定理）上限定理（极小定理） 可接受荷载是极限荷载的下限。可接受荷载是极限荷载的下限。换言之，可接受荷载换言之，可接受荷载 中的极大值是中的极大值是即极限荷载。即极限荷载。 PuP FF 三、比例加载的一般定理三、比例加载的一般定理 可破坏荷载是极限荷载的上限。可破

18、坏荷载是极限荷载的上限。换言之，可破坏荷载中换言之，可破坏荷载中 的极小值的极小值即即是是极限荷载。极限荷载。 PuP FF 下限定理（极大定理）下限定理（极大定理） 11-3 比例加载一般规律 一、单跨超静定梁的极限荷载 为了求得极限荷载，需为了求得极限荷载，需确定结构的破坏形态确定结构的破坏形态， 即即确定塑性铰的位置及数量确定塑性铰的位置及数量。 塑性铰首先出现在弯矩最大的截面塑性铰首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载，随着荷载 的增大，其他截面也可能出现的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰新的塑性铰直至结构直至结构 变为变为具有自由度的机构从而丧失承载能力具有自由度的机构从而丧失承载能力

19、为止。为止。 极限荷载的求解极限荷载的求解无需考虑无需考虑变形协调条件、结构变形协调条件、结构 变形的过程变形的过程以及以及塑性铰形成的次序。塑性铰形成的次序。 11-4 超静定结构的极限荷载计算 利用利用静力平衡方程静力平衡方程求求极限荷载极限荷载的方法称为的方法称为静力法静力法。 利用利用虚功方程虚功方程求求极限荷载极限荷载的方法称为的方法称为虚功法。虚功法。 例11-4-1 求梁的极限荷载FPu,截面极限弯矩为Mu。 1）静力法：静力法： 11 42 614 () 2 uPuu u Puuu MF lM M FMM ll 解：解：结构在结构在A、C截面截面 出现塑性铰。出现塑性铰。 FP

20、 C l/2l/2 A B FPu Mu CA B Mu 解释解释 11-4 超静定结构的极限荷载计算 令机构产生虚位移，使令机构产生虚位移，使C C截面竖向位移和荷载截面竖向位移和荷载 FPu同向，大小为同向，大小为。 2）虚功法虚功法 1 21 2 /2 4 2 ll l 外力虚功：外力虚功： 内力虚功：内力虚功： 12 624 () u iuuu M WMMM lll 由由We=Wi，可得：，可得： 6 u Pu M F l FPu C AB Mu Mu 1 2 1 l/2l/2 1 21 2 /2 4 2 ll l Pue FW 一次超静定一次超静定 二个塑性铰二个塑性铰 11-4 超

21、静定结构的极限荷载计算 例11-4-2 求梁的极限荷载FPu，已知极限弯矩为Mu。 2 11 2 244 uu l Wq lq l 内力虚功内力虚功 由由We=Wi，可得，可得 2 1 4 4 uu q lM 所以有所以有 2 16 u u M q l qu A C B Mu Mu Mu 2 4 l 4 l 2 l 解：解：外力虚功外力虚功 AC B q l/2l/2 u uuui M MMMW 4 2 三次超静定三次超静定 三个塑性铰三个塑性铰 11-4 超静定结构的极限荷载计算 例11-4-3 已知梁截面极限弯矩为Mu ，求极限荷载 。 解解:塑性铰位置：塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截

22、面截面及梁上最大弯矩截面C。 整体平衡整体平衡0 A M 2 1 1 () 2 RBuu Fq lM l 1 2 u RBu M Fq l l B l q A qu AB l-x Mu MuC C A x 0 2 2 uuRB M l qlF 11-4 超静定结构的极限荷载计算 RBu Fq x 11 22 uu uu u MM q lq xxl lq l BCBC段平衡段平衡 0 y F 0 QCRBu FFq x qu x B C Mu BCBC段平衡段平衡0 C M QC F RB F 2222 111 222 uRBuuuu MF xq xq xq xq x 22 222 22 (2)

23、1111 ()(2) 222(2)8 uuu uuuuu uuu Mq lM Mqlqq lM q lq lq l qu x B C Mu QC F 11-4 超静定结构的极限荷载计算 2 42 23.314 11.657 2 uu u l MM q ll 24242 22 44 12144161211.314 22 uuu uu u l Ml Ml Ml Ml M q ll 4222 1240 uuuu l ql M qM 222 (2)8 uuuu q lMq l M 11-4 超静定结构的极限荷载计算 例11-4-4 求图示梁的极限荷载。 塑性铰的可能位置：塑性铰的可能位置：A A、B

24、B、DD。 A BCD /3l/3l/3l P F 解解: :ABAB段极限弯矩为段极限弯矩为 ，BCBC段极限弯矩为段极限弯矩为Mu。 u M A B CD FPu Mu Mu B D /3l/3l/3l 11-4 超静定结构的极限荷载计算 1）B、D截面出现塑性截面出现塑性 铰，由弯矩图可知，只铰，由弯矩图可知，只 有当有当 时，此破时，此破 坏形态才可能实现。坏形态才可能实现。 PuuBuD FMM 36 BD ll 36 () Puu FM ll 9 (3) Puuuu FMMM l AB CD FPu Mu Mu A B CD FPu Mu Mu B D /3l/3l/3l 3 uu

25、 MM 3 uu MM 11-4 超静定结构的极限荷载计算 3339 222 AD llll 3 (3) 2 (3) Puuu uu FMM l MM AB CD FPu Mu A CD FPu Mu D A 2 /3l/3l 2）A、D截面出现塑性铰。截面出现塑性铰。 由弯矩图可知，只有当由弯矩图可知，只有当 即即 时，此破坏形态才可能实现。时，此破坏形态才可能实现。 PuuAuD FMM 39 22 Puuu FMM ll 1 () 2 uuu MMM 3 uu MM u M u M 1 () 2 uu MM 11-4 超静定结构的极限荷载计算 3）当当 时，则前面两种破坏形态均可能出时，

26、则前面两种破坏形态均可能出 现，则：现，则： 为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定 真实的破坏形态，即真实的破坏形态，即塑性铰的数量及位置塑性铰的数量及位置。无需考。无需考 虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因 素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程，素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程， 并不影响极限荷载的大小。并不影响极限荷载的大小。 33 (3)(33) 22 9 Puuuuu u FMMMM ll M l 33 (3)(33) 22 9 Puuuuu u FMMMM ll M l

27、3 uu MM 11-4 超静定结构的极限荷载计算 假设假设: 1）连续梁每一跨内等截面，但各跨的截连续梁每一跨内等截面，但各跨的截 面可以彼此不同，故各跨可以有不同的面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu； 2）各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。 因此，因此，连续梁只能在各跨独立形成连续梁只能在各跨独立形成破坏机构破坏机构， 而而不能由相邻两跨联合形成破坏机构不能由相邻两跨联合形成破坏机构。因为各跨在。因为各跨在 竖向荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各竖向荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各 跨两端出现，即负塑性铰只可能跨两端出现，即负塑性铰只

28、可能出现在出现在两端。两端。 二、连续梁的极限荷载二、连续梁的极限荷载 主要讨论连续梁破坏机构的形式。主要讨论连续梁破坏机构的形式。 11-4 超静定结构的极限荷载计算 连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力。 连续梁极限荷载的求解同单跨梁。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。 1P F 2P F u M 1 P F 2 P Fu M 1P F 2P F u M u M 1P F 2P F u M u M 11-4 超静定结构的极限荷载计算 例例11-4-5 求连续梁的极限荷载。求连续梁的极限荷载。 1 (2) 2 Puu l FM 1 6 u Pu M F l

29、 解：解： 1) AB跨跨 A B C Mu 2FP Mu 1.2Mu 1.2Mu 1.2Mu 0.5l0.5l0.75l0.75l FP A B C FPu1 Mu Mu 2/2l 11-4 超静定结构的极限荷载计算 2) BCBC跨跨 2 3 21.2(2) 4 Puuu l FMM 2 3 4.6 2 Puu l FM 2 3.07 u Pu M F l 3.07 u Pu M F l 故 A B C Mu 2FPu2 1.2Mu 1.2Mu 2 3/4l 注意注意B B点点 12PuPu FF 11-4 超静定结构的极限荷载计算 例例11-4-6 在图（在图（a）所示的连续梁中，每跨为

30、等截）所示的连续梁中，每跨为等截 面。设面。设AB和和BC跨的正极限弯矩为跨的正极限弯矩为Mu，CD跨的正极跨的正极 限弯矩为限弯矩为2Mu；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的 1.2倍。试求此连续梁的极限荷载倍。试求此连续梁的极限荷载Fqu。 (a) A BCD 1.5Fql Fql Fq l0.5l 0.5l0.75l0.75l 解：解：分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。 11-4 超静定结构的极限荷载计算 (b) 1.2Mu Mu 注意注意：塑性铰处的极限弯矩与由它产生的转角：塑性铰处的极限弯矩与由它产生的转角 方向一致。方向

31、一致。 AB跨破坏时跨破坏时(图图b)： 1 2 6.4 quu FM l 1.2()1.2() 0.50.50.5 quBuABuu FlMMMM lll 11-4 超静定结构的极限荷载计算 (c)1.2Mu 1.2Mu Mu BC跨破坏时跨破坏时(图图c)： CD跨破坏时跨破坏时(图图d)： (d) 2.4Mu1.2Mu 2Mu 2 2 6.4 quu FM l 8.8 1.21.2() 2 q uBuCuBCu F l MMMM l 11-4 超静定结构的极限荷载计算 比较比较可知，可知，AB跨首先破坏，极限荷载为：跨首先破坏，极限荷载为： (d) 2.4Mu1.2Mu 2Mu 3 7.

32、6 1.22.42() 20.75 q uCuDuCDu F l MMMM l 3 2 6.756 quu FM l 123quququ FFF 1 2 6.4 ququu FFM l 11-4 超静定结构的极限荷载计算 本节仅限于讨论单层单跨刚架的极限荷载。对本节仅限于讨论单层单跨刚架的极限荷载。对 于刚架，首先要确定塑性铰可能产生的截面位置，于刚架，首先要确定塑性铰可能产生的截面位置， 然后根据可能的破坏机构用机构法或试算法求极限然后根据可能的破坏机构用机构法或试算法求极限 荷载。荷载。 例例11-4-7 求刚架的求刚架的 极限荷载。极限荷载。 A B C D E FP FP Mu 1.5

33、Mu Mu ll l 解：解： 1、机构法、机构法 刚架可在刚架可在A A、B B、C C、DD、E E产生产生塑性铰塑性铰。 一、钢架的极限荷载 11-4 超静定结构的极限荷载计算 三种可能的破坏机构为：三种可能的破坏机构为： 梁机构；梁机构； 侧移机构；侧移机构； 组合机构。组合机构。 1）梁机构 1 21.52 5 Puu u FlMM M 1 5 u P M F l A B CD E Mu 1.5MuMu ll l 1P F 1P F 2 l a) 梁机构梁机构 11-4 超静定结构的极限荷载计算 2）侧移机构 2 4 Pu FlM 2 4 u P M F l b) 侧移机构侧移机构

34、A B C D E Mu Mu ll l l Mu Mu l 2P F 2P F c) 组合机构组合机构 A A B B C C DD E E 1.5Mu Mu ll l l Mu Mu l 2 l 3P F 3P F 33 41.52 PP uu FlFl MM 3 3.5 u P M F l 3）组合机构）组合机构 11-4 超静定结构的极限荷载计算 可见，极限荷载为：可见，极限荷载为： 3 3.5 u PuP M FF l 若分别选定上述三种破坏机构：梁机构、侧移若分别选定上述三种破坏机构：梁机构、侧移 机构和组合机构，则求出的可破坏荷载同上。机构和组合机构，则求出的可破坏荷载同上。 下

35、面分别画出三种破坏机构对应的弯矩图，检下面分别画出三种破坏机构对应的弯矩图，检 验结构任一截面弯矩是否均小于验结构任一截面弯矩是否均小于Mu，若结论成立，若结论成立， 则则 也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。 2. 试算法试算法 11-4 超静定结构的极限荷载计算 1）梁机构 5 2 u yE M F l 55 22 2 uu AE MM MMll ll 由由BDBD杆平衡可求得杆平衡可求得 0 A M 整体平衡：整体平衡： 5 AuE MMM 故故MA和和ME中一定有一个数值大于中一定有一个数值大于Mu， ，不满足 不满足 内力局限条件。内力局限

36、条件。 A B C D E Mu 1.5Mu Mu ll l A ME M 5 u M l 5 u M l 5 2 u M l 11-4 超静定结构的极限荷载计算 2）侧移机构 2 Cu MM用叠加法画用叠加法画BDBD杆弯矩图可得：杆弯矩图可得： 。 可见，该弯矩图不满足内力局限条件。可见，该弯矩图不满足内力局限条件。 A B C D E Mu 2Mu Mu ll l Mu Mu 4 u M l 4 u M l 11-4 超静定结构的极限荷载计算 3）组合机构 2 () u M l 1.5 0.5() u Buu M MlMM l 右拉 可见，该弯矩图满足屈服条件，故极限荷载为：可见，该弯矩

37、图满足屈服条件，故极限荷载为： 3 3.5 u PuP M FF l 柱柱DEDE下端剪力为：下端剪力为： 1.5 () u M l 柱柱BABA下端剪力为：下端剪力为： 由柱由柱ABAB平衡可得：平衡可得： A B C D E 0.5Mu 1.5Mu Mu ll l Mu Mu 3.5 u M l 3.5 u M l 1.5 u M l 2 u M l 11-4 超静定结构的极限荷载计算 2.5 22 () 2 4.5 P P P Fl WFll l F l 4228 iuuu WMMM 1.778 u P M F l 解：解：取组合机构，近似取梁取组合机构，近似取梁 BC的跨中截面产生塑性

38、铰。的跨中截面产生塑性铰。MuMu A BC D 2Mu FP 2l 2l 2.5/ P qFl Mu A B C D 2Mu 2l 2l Mu Mu 2 P F 2.5/ P qFl 2 l l 例例11-4-8 求刚架的极限荷载。求刚架的极限荷载。 11-4 超静定结构的极限荷载计算 作结构作结构M 图，求得跨中图，求得跨中 附近截面最大弯矩为：附近截面最大弯矩为： max 2.07 u MM 2 1.7781.718 2.07 uu P MM F ll 1.7181.778 uu Pu MM F ll 用因子用因子2/2.07对对 进行进行 故故 不是不是 极限荷载，应进行修正。极限荷载

39、，应进行修正。 折折减得：减得： 实际上应有实际上应有 1 (1.718 1.778)1.748 2 uu Pu MM F ll 取两者平均值取两者平均值 Mu A BC D 2Mu Mu Mu 0.556Mu 2.07Mu 1.778 u P M F l 0.778/ u Ml/ u Ml P F 11-4 超静定结构的极限荷载计算 确定临界荷载的方法确定临界荷载的方法 静力法静力法应用静力平衡条件求解；应用静力平衡条件求解； 能量法能量法应用以能量形式表示的平衡条件。应用以能量形式表示的平衡条件。 结构稳定的自由度结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态：为确定结构失稳时所有可

40、能的变形状态 所需的独立参数的数目。所需的独立参数的数目。 图图a所示所示 支承在抗转支承在抗转 弹簧上的刚弹簧上的刚 性压杆，确性压杆，确 定失稳时变定失稳时变 形状态的独形状态的独 立参数为立参数为1， 只有只有一个自一个自 由度由度。 图图b 所示结所示结 构，则构，则 需两个需两个 独立参独立参 数，具数，具 有有两个两个 自由度自由度。 图图c所所 示弹性压示弹性压 杆，则需杆，则需 无限多个无限多个 独立参数，独立参数， 具有具有无限无限 多自由度多自由度。 11-5 压杆临界荷载 静力法静力法依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条

41、件， 求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值 即为临界荷载。即为临界荷载。 图图a所示单自由度结构，设压杆偏所示单自由度结构，设压杆偏 离竖直位置时仍处于平衡状态如图离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。 由由MA=0有有0sinkFl 0 当当 时上式满足，对应原有的平衡形式时上式满足，对应原有的平衡形式 位移很小时可认为位移很小时可认为 sin 故有故有0)(kFl 稳定方程或特征方程稳定方程或特征方程 0 对于新的平衡形式，对于新的平衡形式， 则有则有0kFl 11-5 压杆临界荷载 由稳定方程解得由稳定方程解得 l k F cr 结构处

42、于随遇平衡状态，如图结构处于随遇平衡状态，如图c中的中的AB段。段。 sinl k F 若采用精确的方程则有若采用精确的方程则有 若只求临界荷载，可采用近似方程求解。若只求临界荷载，可采用近似方程求解。 当当 时，时， 与与F的数值仍是一一对应的数值仍是一一对应 的，如图的，如图c中的中的AC段。段。 0 n个自由度的结构个自由度的结构对新的平衡形式列出对新的平衡形式列出n个平衡方程个平衡方程 n个独立参数的齐次方程个独立参数的齐次方程系数行列式系数行列式D=0的条的条 件件 建立稳定方程建立稳定方程n个根中的最小值为个根中的最小值为临界荷载临界荷载 11-5 压杆临界荷载 例例11-5-1

43、试求图试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的 刚均为刚均为k。 解：结构有两个自由度，失稳时解：结构有两个自由度，失稳时A、 B点的位移如图点的位移如图b。 设位移是微小的，由设位移是微小的，由MB=0，MC=0 02 0)( 211 112 lkylkyFy lkyyyF 即即)a ( 0)2( 0)( 21 21 klyyFkl FyyFkl y1、y2不全为零，则应有不全为零，则应有0 )2( )( klFkl FFkl 展开展开0)(3 22 klklFF 解得解得 kl kl klF 382. 0 618. 2 2 53 临界荷载临界荷载 k

44、lF382. 0 cr 11-5 压杆临界荷载 由由(a)式不能求得式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。的确定解答，但可以求出两者的比值。 将将klF 2 53 代回代回(a)式可得式可得 618. 0 53 51 1 2 y y 相应的位移图如图相应的位移图如图c。 将将klF 2 53 代回代回(a)式可得式可得 618. 1 53 51 1 2 y y 相应的位移图如图相应的位移图如图d。 实际结构必先以图实际结构必先以图d的形式失稳，图的形式失稳，图c只是理论上存在。只是理论上存在。 11-5 压杆临界荷载 例11-5-3 图图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压

45、弹所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹 性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一 截面的弯矩为截面的弯矩为 )( S xlFFyM 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为 )( S xlFFyMyEI )( S xl EI F y EI F y 令令 EI F n 2 )( S 22 xl F F nyny 微分方程的通解为微分方程的通解为)(sincos S xl F F nxBnxAy 边界条件为边界条件为 0 000 ylx yyx ， ， 代入通解得代入通解得 0sincos 0 0 nlBnlA F F Bn l F F A S

46、S (b) 11-5 压杆临界荷载 方程方程(b)是关于是关于A、B、FS/F的齐次方程组，的齐次方程组，A=B=FS/F=0时时 满足，此时各点位移满足，此时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全均为零。对新的平衡形式要求三者不全 为零，方程为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为的系数行列式应为零，得稳定方程为 0 0sincos 10 01 nlnl n l 展开展开nlnl tan 此超越方程图解法求解，如图此超越方程图解法求解，如图b。 nly 1 nlytan 2 与与 交点的横坐标即为方程的根。最交点的横坐标即为方程的根。最 小根小根nl在在3/24.7左侧附近，试

47、算左侧附近，试算 求得准确解。求得准确解。493. 4nl 求得临界荷载值为求得临界荷载值为EI l EI l EInF 2 2 2 cr 19.20493. 4 11-5 压杆临界荷载 势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条 件件 的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移 （就是真实的位移）使结构的势能（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，为驻值， 即即 0 P EVVE P V结构的应变能；结构的应变能； V外力势能。外力势能。 外力势能定义为外力势能定义为 n i ii FV

48、 1 Fi 结构上的外力结构上的外力 i 与外力相应的虚位移与外力相应的虚位移 有限自由度结构有限自由度结构所有可能的位移状态只用有限个独立参数所有可能的位移状态只用有限个独立参数 a1，a2，an即可表示，即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。只是这有限个独立参数的函数。 单自由度结构单自由度结构EP只是参数只是参数a1的一元函数，势能的变分为的一元函数，势能的变分为 1 1 P P d d a a E E 结构处于平衡时结构处于平衡时0 P E 1 a是任意的是任意的 0 d d 1 P a E 故故 11-5 压杆临界荷载 0 d d 1 P a E 由由可建立稳定方程以求解临界荷载

49、。可建立稳定方程以求解临界荷载。 多自由度结构势能的变分为多自由度结构势能的变分为 n n a a E a a E a a E E P 2 2 P 1 1 P P 由由EP=0及及a1， a2， ，an的任意性，必须有的任意性，必须有 0 0 0 P 2 P 1 P n a E a E a E 由此获得一组含由此获得一组含a1， a2， ，an的齐次线性代数的齐次线性代数 方程，要使方程，要使a1， a2， ，an不全为零，则此方程组的不全为零，则此方程组的 系数行列式应为零系数行列式应为零建立稳定方程建立稳定方程确定临界荷载。确定临界荷载。 11-5 压杆临界荷载 例例11-5-4 图图a所

50、示压杆所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k， 试确定其临界荷载。试确定其临界荷载。 解：单自由度结构失稳时发生微小的偏解：单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图离如图b。 l y l y ll l y llyll 22 1 11 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 弹簧的应变能为弹簧的应变能为 2 111 2 1 2 1 kyykyV 外力势能为外力势能为 2 1 2 y l F FV 结构的势能为结构的势能为 2 1P 2 y l Fkl VVE 若图若图b结构能维持平衡则有结构能维持平衡则有 0 d d 1 1 P y l Fkl y

51、E y10，故，故0 Fkl 临界荷载为临界荷载为klF cr 11-5 压杆临界荷载 例例11-5-5 用能量法求图用能量法求图a所示结构的临界荷载。所示结构的临界荷载。 解：结构具有两个自由度，失稳时发生解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图图b所示位移。所示位移。 结构处于平衡时结构处于平衡时 2 2 2 1 2 1 2 1 kykyV 结构的势能为结构的势能为 l yy l y FFV 2 )( 2 2 12 2 2 )2(2)( 2 1 2 221 2 1P yFklyFyyFkl l VVE 0)2( 1 0)( 1 21 2 P 21 1 P yFklFy ly E FyyFkl

52、 ly Ey1、y2不能全为零不能全为零 0 )2( )( FklF FFkl 11-5 压杆临界荷载 03 222 lkklFF 展开整理得展开整理得 kl kl klF 382. 0 618. 2 2 53 解得解得 klF382. 0 cr 最小值为临界荷载最小值为临界荷载 图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳 时发生弯矩变形，应变能为：时发生弯矩变形，应变能为： l x EI M V 0 2 d 2 1 yEIM 2 代入代入将将 l xyEIV 0 2 d)( 2 1 xyyx yxxyxxs d)( 2 1 1)( 2 1 1 d 1)(1(dd)(

53、1ddd 22 2 1 22 任一微段任一微段ds与其投影与其投影dx之差为之差为 此式沿杆长此式沿杆长l积分得积分得 l xy 0 2 d)( 2 1 11-5 压杆临界荷载 外力势能为外力势能为 l xy F FV 0 2 d)( 2 结构的势能为结构的势能为 ll xy F xyEIVVE 0 2 0 2 P d)( 2 d)( 2 1 挠曲线挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。是未知的，它可以看作无限多个独立参数。 EP是挠曲线函数是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，的函数，即是一个泛函，EP=0是求泛函是求泛函 极值的问题极值的问题变分问题。变分问题。 瑞利瑞利-李兹法李兹

54、法：将无限自由度近似简化为有限自由度。：将无限自由度近似简化为有限自由度。 设设 a)()()()( 1 2211 n i iinn xaxaxaxay )(x i 满足位移边界条件的已知函数满足位移边界条件的已知函数i a任意参数任意参数 结构所有变形状态由结构所有变形状态由a1，a2，an所确定，简化为所确定，简化为n个自由度。个自由度。 11-5 压杆临界荷载 如果在如果在(1)式中只取一项：式中只取一项：是简化为单自由度求解。是简化为单自由度求解。 )( 11 xay 通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线 例例13-5 试求图试求图a所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。 解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度 结构计算。结构计算。 (1) 设挠曲线为正弦曲线设挠曲线为正弦曲线 l x ay sin 显然显然y满足位移边界条件满足位移边界条件 2 3 4 0 2 4 d)( 2 1 a l EI xyEIV l 2 2 0 2 4 d)( 2 Fa l xy F V l 结构的势能为结构的势能为 2 2 3 4 P 4 4 aF ll EI VVE 11-5 压杆临界荷载 0 2 2 d d 2 3 4 P