初中动点相关问题

1、几何中的动点问题几何中的动点问题 后洋中学后洋中学 邱英杰邱英杰 动点题的分类：动点题的分类： 1、动点在一条直线上运动。、动点在一条直线上运动。 2、动点在多条直线上运动。、动点在多条直线上运动。 3、图形的运动产生的问题。、图形的运动产生的问题。 一、动点在一条线上运动：一、动点在一条线上运动： 如图，等腰梯形如图，等腰梯形ABCD中，中，AB=4，CD=9，C=60，动点，动点 P从点从点C出发沿出发沿CD方向向点方向向点D运动，动点运动，动点Q同时以相同速度从同时以相同速度从 点点D出发沿出发沿DA方向向终点方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，运动，其中一个动点到达端点时， 另一

2、个动点也随之停止运动另一个动点也随之停止运动. （2）设）设CP=x，问当，问当x为何值时为何值时PDQ的面积达到最大，并求的面积达到最大，并求 出最大值；出最大值； （1）求）求AD的长；的长； AD=5 60sin)9( 2 1 sin 2 1 xxDDQPDS （3）探究：在）探究：在BC边上是否存在点边上是否存在点M使得四边形使得四边形PDQM是菱形？是菱形？ 若存在，请找出点若存在，请找出点M，并求出，并求出BM的长；不存在，请说明理由的长；不存在，请说明理由. 要使得四边形要使得四边形PDQM是菱形，是菱形，不变的量不变的量是：是：点点M必在必在D的平的平 分线上。分线上。那么那么

3、PQ与与DM互相垂直平分，互相垂直平分，PQD是正三角形，是正三角形， 先求出先求出DM的值，再求出的值，再求出DQ，最后作出判断即可。，最后作出判断即可。 M Q P O 1.如图，抛物线的顶点为如图，抛物线的顶点为P(1，0)，一条直线与抛物线相交于，一条直线与抛物线相交于 A(2，1)，B(-0.5,m)两点两点 求抛物线和直线求抛物线和直线AB的解析式；的解析式； 若若M为线段为线段AB上的动点，过上的动点，过M作作MNy轴，交抛物线于点轴，交抛物线于点N， 连接连接NP、AP，试探究四边形，试探究四边形MNPA能否为梯形，若能，求出能否为梯形，若能，求出 此点此点M的坐标；若不能，请

4、说明理由的坐标；若不能，请说明理由 类似的问题类似的问题 M N 此题中此题中不变不变的是的是AP的位置的位置，要使四，要使四 边形边形MNPA为梯形，为梯形，MN与与AP就不就不 可能平行，只能使可能平行，只能使PNAM，那么，那么 只需过点只需过点P作作AB的平行线，然后判的平行线，然后判 断平行与抛物线的交点是否在断平行与抛物线的交点是否在BP之之 间即可。间即可。 2.如图，点如图，点A，B在直线在直线MN上，上，AB11厘米，厘米， A， B的的 半径均为半径均为1厘米厘米 A以每秒以每秒2厘米的速度自左向右运动，与厘米的速度自左向右运动，与 此同时，此同时， B的半径也不断增大，其

5、半径的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间（厘米）与时间t （秒）之间的关系式为（秒）之间的关系式为r1+t（t0） （1）试写出点）试写出点A，B之间的距离之间的距离d（厘米）与时间（厘米）与时间t（秒）之（秒）之 间的函数表达式；间的函数表达式； （2）问点）问点A出发后多少秒两圆相切？出发后多少秒两圆相切？ A B N M 不变不变的是的是d与与t的函数关系的函数关系，只需利用两圆相切的条件列出，只需利用两圆相切的条件列出 方程即可解决（方程即可解决（有二种情况：外切与内切有二种情况：外切与内切） 二、动点在多条线上运动：二、动点在多条线上运动： 如图，在平行四边形如图，在平行四边形A

6、BCD中，中，AD=4 cm，A=60， BDAD. 一动点一动点P从从A出发，以每秒出发，以每秒1 cm的速度沿的速度沿ABC的的 路线匀速运动，过点路线匀速运动，过点P作直线作直线PM，使，使PMAD . (1) 当点当点P运动运动2秒时，设直线秒时，设直线PM与与AD相交于点相交于点E，求，求APD的的 面积；面积； (2) 当点当点P运动运动2秒时，另一动点秒时，另一动点Q也从也从A出发沿出发沿ABC的路线的路线 运动，且在运动，且在AB上以每秒上以每秒1 cm的速度匀速运动，在的速度匀速运动，在BC上以每秒上以每秒 2 cm的速度匀速运动的速度匀速运动. 过过Q作直线作直线QN，使，

7、使QNPM. 设点设点Q运动运动 的时间为的时间为t秒秒(0t10)，直线，直线PM与与QN截平行四边形截平行四边形ABCD所得所得 图形的面积为图形的面积为S cm2 . 求求S关于关于t的函数关系式；的函数关系式； 求求S的最的最 大值。大值。 P Q D C B A M N 这类动态问题，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根这类动态问题，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根 据题目，综合分析，分类讨论据题目，综合分析，分类讨论. P点从点从ABC一共用了一共用了12秒，走了秒，走了12 cm，Q 点从点从AB用了用了8秒，秒，BC 用了用了2秒，所以秒，所以t

8、的取值范围是的取值范围是 0t10 不变量不变量：P、Q 点走过的总路程都是点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以点的速度不变，所以AP始始 终为：终为：t+2 若速度有变化，总路程若速度有变化，总路程 =变化前的路程变化前的路程+变化后的路程变化后的路程=变化前的速度变化前的速度变变 化点所用时间化点所用时间+变化后的速度变化后的速度（t变化点所用时间）变化点所用时间）. 当当0t6时，点时，点P与点与点Q都在都在AB上运动，此时两平行线截平行四边形上运动，此时两平行线截平行四边形 ABCD是一个直角梯形是一个直角梯形 ，只需用梯形的面积公式表示即可；，只需用梯形的面积公式表示即可

9、； 当当6t8时，点时，点P在在BC上运动，点上运动，点Q仍在仍在AB上运动上运动.两平行线截平行四边两平行线截平行四边 形形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积 ； 当当8t10时，点时，点P和点和点Q都在都在BC上运动上运动 ，作出相应图形解决即可。，作出相应图形解决即可。 Q D C B A M N 1.如图，正方形如图，正方形 ABCD中，点中，点A、B的坐标分别为（的坐标分别为（0，10），）， （8，4），点），点C在第一象限动点在第一象限动点P在正方形在正方形 ABCD的边上，的边上， 从点从点A出发沿出发沿ABCD匀速运动

10、，同时动点匀速运动，同时动点Q以相同速度在以相同速度在 x轴上运动，当轴上运动，当P点到点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时点时，两点同时停止运动，设运动的时 间为间为t秒秒 （1）当）当P点在边点在边AB上运动时，点上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运的横坐标（长度单位）关于运 动时间动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时开始运动时 的坐标及点的坐标及点P运动速度；运动速度； (2) 求正方形边长及顶点求正方形边长及顶点C的坐标；的坐标； (3) 在在(1)中当中当t为何值时，为何值时，OPQ的面积最大，并求此时的面积最大，并求此时P

11、点的坐点的坐 标标 类似的问题类似的问题 2.已知，在直角梯形已知，在直角梯形COAB中，中，CBOA，以，以O为原点建立为原点建立 平面直角坐标系，平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为的坐标分别为A（10，0）、）、B （4，8）、）、C（0，8），），D为为OA的中点，动点的中点，动点P自自A点出发点出发 沿沿ABCO的路线移动，速度为每秒的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时个单位，移动时 间记为间记为t秒，秒， （1）动点）动点P在从在从A到到B的移动过程中，设的移动过程中，设APD的面积为的面积为S， 试写出试写出S与与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求的函数关系式，指出自

12、变量的取值范围，并求 出出S的最大值的最大值 （2）动点）动点P从出发，几秒钟后线段从出发，几秒钟后线段PD将梯形将梯形COAB的面积的面积 分成分成1：3两部分？求出此时两部分？求出此时P点的坐标点的坐标 如图，已知直线交坐标轴于如图，已知直线交坐标轴于A、B两点，以线段两点，以线段AB 为边向上作正方形为边向上作正方形ABCD，过点，过点A、D、C的抛物线与直线另一的抛物线与直线另一 个交点为个交点为E （1）请直接写出点）请直接写出点C、D的坐标；的坐标； （2）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （3）若正方形以每秒）若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线个单位长度的速度沿射线AB

13、下滑，下滑， 直至顶点直至顶点D落在落在x轴上时停止设正方形落在轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的轴下方部分的 面积为面积为S，求，求S关于滑行时间关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自的函数关系式，并写出相应自 变量变量t的取值范围的取值范围. 三、图形运动产生的问题：三、图形运动产生的问题： 5 图形在下滑时图形在下滑时不变的是不变的是：线段线段AB的距离的距离 在移动时，要注意所求的图形在发生变化，共有三种情况：在移动时，要注意所求的图形在发生变化，共有三种情况： 三角形；直角梯形；五边形三角形；直角梯形；五边形 ABC与与ABC是两个直角边都等于是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三

14、角形，厘米的等腰直角三角形，M、N 分别是直角边分别是直角边AC、BC的中点。的中点。 ABC位置固定，位置固定， ABC按如图叠放，按如图叠放， 使斜边在直线使斜边在直线MN上上,顶点与点顶点与点M重合。等腰直角重合。等腰直角 ABC以以1厘米厘米/秒的速秒的速 度沿直线度沿直线MN向右平移，直到点与点向右平移，直到点与点N重合。设重合。设x秒时，秒时， ABC与与 ABC重叠部分面积为重叠部分面积为y平方厘米。平方厘米。 （1）当）当 ABC与与 ABC重叠部分面积为重叠部分面积为 平方厘米时，求平方厘米时，求 ABC移动的时间；移动的时间； （2）求与的函数关系式；）求与的函数关系式； （3）求与重叠部分面积的最大值。）求与重叠部分面积的最大值。 2 2 3 类似的问题类似的问题 需分类讨论需分类讨论 动态问题解决的一般方法是抓住变化中的动态问题解决的一般方法是抓住变化中的 “不变量不变量”，以不变应万变，首先根据题，以不变应万变，首先根据题 意理清题目中两个变量意理清题目中