数学与审美——奇异美高等数学专业

1、封面数学与审美奇异美目录摘要1Abstract1引言21 奇异美的含义22.奇异美之定理美23.奇异美之公式美94.奇异美之图形美11结语31参考文献32致谢33摘要数学不仅是一种科学，更是一种美学，而奇异美便是数学美中最为重要的一个特征。针对美学，著名数学家徐利治教授曾经说 :“奇异是一种美，奇异到极点更是一种美。”数学具备奇异美的特性，其表现是多方面的，其中奇巧、突变是数学奇异美最为重要的特征，能够为数学以无限生机。，数学中的奇异美，常常会让人们感觉震惊，从数学奇异美角度出发进行思考，还可以解决大量数学问题，故而本文将从三个方面对数学的奇异美进行分析，以为他人更好的了解数学提供参考，同时使

2、更多的人喜欢数学。关键词：数学；审美；奇异美AbstractThe singular beauty of mathematics is one of the important characteristics of mathematics beauty. Professor Xu Lizhi，a famous mathematician，pointed out: Singularity is a kind of beauty，and singularity is a kind of beauty. The singularity and mutation in mathematics is a

3、n important manifestation of the singular beauty of mathematics. It reflects a side of the unconventional phenomenon in the real world. Give mathematics unlimited life. The singular beauty of mathematics often gives people an unexpected and shocking experience. This article will analyze the singular

4、 beauty of mathematics from three aspects，in order to provide a reference for others to better understand mathematics，and at the same time make more people like mathematics.Key words: mathematics; aesthetics; singular beauty38引言新颖的以及不常见的东西通常都会引起人们的遐想，而遐想实际上便是一种乐趣，在遐想中，能够引起人们对这些新颖东西的思考，勾起人们的好奇心，从而得到全

5、新的观念。从数学角度来说，其中很多数学分支，实际上都是人们在遐想中进行的进一步探索，在不断的探索中获得新的知识。从数学发展角度来说，正是数学自身的奇异性的魅力，吸引着数学家向更新、更深的层次探索。故而本文从奇异性角度出发，对数学的奇异美进行探究。1 奇异美的含义数学的奇异美通常包括两大方面的内容，即奇妙以及变异。数学中的不少结论巧妙无比，令人赞叹，正是因为这一点，数学才有无穷的魅力。变异是指，数学理论拓广后或统一性遭到破坏后，出现另一种新的方法、新思想、新概念、新理论的起点。而变异实际上是与人们的想象以及期望相悖的，这些都能够使人们产生更多的好奇。本文将从数学的定理美、公式美以及图形美三个角度

6、出发，探究数学的奇异美。2.奇异美之定理美为探究数学的定理美，笔者将从最基础的勾股定理出发，对数学的奇异美进行分析。勾股定理(毕达哥拉斯定理)是一个重要的定理，这一定理极为常见，是勾股定理的代数表达式，很多人均耳熟能详。 为了更好的对其进行记忆，又将、称为勾股数组(以它们为边的三角形称为毕达哥拉斯三角形)，比如，便是其中一组。勾股数组极多，它们的一般表达式为：， (、为正整数)。不过，是否存在正整数满足仔或者更加普通的，是否存在正整数、，满足()(费马猜想)?1640年前后，费马在他阅读古希腊数学家丢番图的著作整数论中关于毕达哥拉斯三角形一节的空白处写道：“时，方程没有非零的整数解(费马大定理

7、)。我找到了这个定理的奇妙的证明，可惜这里太窄，无法把它写下。”这段迷人的话语吸引了无数著名的数学家涉足它。直到三百多年后，人们才找到了它的证明，虽然此前数学大师欧拉于1730年对，的情形，给出了猜想的证明；狄利克雷给出了时的证明；德国数学家库默尔1848年在某些更高次幂的情形下，对猜想进行了证明。同时利用库默尔的方法，借助于大型高速计算机，证得当时(包括它们的倍数)结论成立。法国科学院曾于1816年和1850年两度以3000法朗悬赏猜想证明者，德国也于1908年设了十万马克的奖金，这笔基金是沃夫斯凯尔博士当年遗赠的。这个貌似不很困难的问题曾令不少人跃跃欲试，因而论证该问题的文章像雪片一样从四

8、面八方飞来。据说，当年的数论专家兰道，为了应付“解答者”，曾印了不少明信片，上面写道：“亲爱的先生或女士，你对费马猜想的证明已收到，现予退回，第一个错误出现在第 页第 行。”人们也曾怀疑当年的费马是否真的找到了问题的证明。1993年夏，英国数学家怀尔斯潜心七年研究，终于在剑桥大学的学术报告会上，宣布他已证得费马猜想，可人们在研究他的报告中同样发现了漏洞。沉寂了一年后，1994年10月25日，怀尔斯和他的学生泰勒修补了上述文章的缺陷，且将他们的论文圆曲线与费马大定理和某些Hecke代数的环论性质预印本以电子邮件的形式向世界各地散发。次年5月，美国数学年刊全文刊出上面两篇文章，至此宣告：困绕人们三

9、个世纪之久的“费马大定理”被攻克。谈到数学的奇异性，我们当然会想到代数方程的求根问题。其实关于代数方程根的定理，即代数基本定理是这样的：复数域上的次方程在复数范围内至少有一个根。关于它，早在1629年，法国学者日拉尔便有猜想; 1746年法国的达朗贝尔给出定理的一个不太严格的证明; 直到1799年，德国数学家高斯给出了这个定理的严格证明，后来他又给出了三种其它证法。由上述定理，我们看到，代数方程的根的存在性已无庸置疑，但是要具体找出它们却远非易事。对于一元二次方程，九世纪时，中亚细亚的学者穆罕默德阿里花拉子米给出了它的求根公式，即方程()的解为。一元三次方程的解法较复杂。公元四世纪，希腊人已知

10、道某些特殊的三次方程的解法；公元十一世纪，阿拉伯学者卡牙姆也系统地研究过三次方程的解法，但一般三次方程的求根公式则是1545年意大利的卡尔达诺在他的大法一书中给出的。尔后，卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式。人们希望能循着二次、三次、四次方程的成果去寻找次方程的求根公式。然而事与愿违，经过许多数学家近三百余年的努力，结果仍然渺茫。年轻的挪威数学家阿贝尔总结了前人的教训，开始从反面考虑这个问题。他在拉格朗日、鲁菲尼等人的成果的基础上，证明了：一般五次和五次以上的代数方程的解不能用公式给出(由此开辟了研究近世代数包括群论等内容的崭新学科)。 这里所讲的“不能用公式解”是指一般的代数方

11、程的情形，对于某些特殊的方程，如，它的解当然可用公式给出。法国青年数学家伽罗瓦彻底解决了这个问题，他给出了次方程可用公式解的充要条件(且由此创立了伽罗瓦理论这个数学分支)。调和级数发散是数学史上最令人意想不到的事情。如果注意到质数在自然数中分布越来越稀疏的事实， 则级数(取遍全部质数)发散，更令人觉得奇妙! 然而,“怪事”还不止于此，比如：从调和级数中除去所有含有数字的项而得到的级数收敛(且它的和小于)。从调和级数中剔除含有其它数字(，)的项后，所得到的级数也同样收敛。用带有数字的骨牌，按照某种规定砌满整个平面的问题与图论有关。比如，我们要求用有限种形如上图的骨牌(图中、为该边上的某种赋值)去

12、布满平面，使两张骨牌在邻接处有相同的赋值(不许转动或反射每张骨牌面上的四个数字)。用下面六种骨牌可按上面要求砌满整个平面： 事实上，砌满整个平面是通过上面的矩形(注意它的对边上的数字分别相等)一再重复来实现的。然而，人们不难发现，用下面三种规格的骨牌，按照上面的要求是铺不满整个平面的。 著名的希尔伯特第三问题，也是这种数学奇异性的精彩例证。若两个几何图形的面积相等，则称它们大小相等；若能将其中之一经有限次分割后组成另一个图形，则称它们组成相等。长方形和组成相等1832年，匈牙利数学家鲍耶、1833年德国人盖尔文证明了：两个大小相等的多边形一定组成相等。他们的证明依据了下面的五条引理(这里“”表

13、示组成相等)(1)图形，又，则；(2)任何三角形某矩形；(3)等底等积的两平行四边形组成相等；(4)等积的两矩形组成相等；(5)多边形矩形。然而，若把这里的结论推广到空间，情况如何? 也就是说，两个体积相等的多面体，是否也组成相等(希尔伯特第三问题)?1900年，希尔伯特的学生戴恩证明了：存在这样的两个四面体，它们的体积相等，但不是组成相等。这使得希尔伯特第三问题得到了否定的解决。从平面向空间的推广遇到了麻烦，这与人们的猜想相悖。平面中的点、线、面积又是什么? 在欧几里得几何中，“点”被定义(严格地讲是被描述成)没有长、没有宽、没有厚的几何图形；“线”被定义成“有长无宽”的几何图形。下面的例子

14、说明了上述定义的欠缺。取面积为的正方形(单位正方形，见下图(1)，从中挖去一个十字(图(2)，其宽度是使挖去部分的面积为。在剩下的四个小正方形中，仿照上面的办法重复上面的步骤，且使每次挖去的十字形面积为上一次挖去面积的一半(图(3)，(4)。其“极限图形”，虽然像散开的一个个点(因为留下的正方形越来越小)，却仍然有正的面积。实际上，每次挖去的十字形面积依次为，,，在极限情形留下的图形面积为.我们再来看看皮亚诺曲线，它是一个可以充满正方形的曲线，这种曲线是意大利数学家皮亚诺在1890年给出的。我们把正方形分成，个相同的小正方形，然后从每个小正方形中去掉一些边，然后形成极为曲折的“密纹迷宫”，这些

15、迷宫的中位曲线(图中的虚线)越来越密。中位曲线的极限情形，是一个可以充满整个正方形的曲线皮亚诺曲线。波兰数学家谢尔品斯基也给出了一个可以充满平面的曲线。如下图(1)，方格中所给的曲线称为第级曲线；仿照图(1)，将每个小正方形加细，再将每个田字格子曲线沟通成第级曲线。 重复上面的过程，可以得到、级曲线。如此下去，在极限情形下得到的曲线即可填满整个正方形。 数学中的奇异现象还有另一种含义：当人们没有认清它而做出错误的判断、结论或给出不尽完美的方法时，将会出现一些“反例”(这是数学自身严格性的必然)。要证明一个结论，须考虑全部情形和所有情况；而要推翻一个结论，只须举出一个反例即可。反例的出现，既体现

16、了制造者的匠心，也从另一方面说明了数学的严谨与和谐(容不得半点虚假)。我们有理由这样说：数学中那些最美妙、最令人意想不到的反例，从另一角度来说，是数学的一种奇异美。也就是说，无论从定理的哪一个角度出发，其均能展现出奇异美。3.奇异美之公式美奇异美之公式美的表现如下：与整数仅差，就是说，(它不是一个整数，而是个超越数)一直算到小数点后第位仍然都是(第位便不再是)。又如，当，一直到时，才是整数(值为)。这还不算稀罕，再看，当，一直到时，才是整数(即才是完全平方数)。这些奇异的数字现象，无疑会引起人们的兴趣与关注。这些事实当然有其深刻的数学背景：对于前者，我们可从解析数论及代数数论中找到答案；对于后

17、者，实际上与Pell方程中展成连分数时的周期有关。若它的周期很长，则上述方程的第一组整数解将很大。比如时，使为整数的最小有位，而当时，则使为整数的最小为位数。前苏联数学家切巴塔廖夫依据下面的事实：曾断言：将分解成不能再分解的且具有整系数的因式以后，各系数的绝对值都不超过。但依万诺夫却发现：有下面的因式：其中和的系数均为，其绝对值大于，这就是说当从到时，前面的断言都正确，而到了却出现了反例。下面的两个事实也耐人琢磨、耐人寻味：方程有无数组有理解，但却没有有理解；方程有无数组有理解，但却没有有理解。它们看上去(形式上)相差无几(或者说只差一点点)，但结果是“差之毫厘，谬之千里”！以埃及分数为例，这

18、种分数的性质同样为人们关注。人们甚至将它抽象、升华成为不定方程的形式去研究。1950年爱尔特希和斯特卢斯猜测：方程对任何自然数均有整数解。后来，斯特卢斯又加强了此猜想：时，方程 有整数解，且互不相等。他也对的情形进行了验证(结论无误)。1963年，我国四川大学的柯召教授证明上面两个猜想是等价的，同时对的数进行了验证(现已验证至的情形)。由于对数学中这些奇异现象的探求，人们不断发现新的结论。1969年，数学家布累策在一本名为数学游览的书中写道：无法将表为项数少于三项的单位分数之和，同时，但开始时人们不知道上式中的最大分母是否为可能的最小值? 1983年，华东交通大学的刘润根发现：。 同时，中国四

19、川峨嵋疗养院的一位医务工作者王晓明给出了另外三组等式：，。 以上这些表达式中，最大的分母都比要小。它们是否是最小? 不得而知。分数的这些奇特性质中蕴含的奥妙，远比“看上去”的要多得多，否则，古埃及人研究的东西，今人为何对它仍有兴趣?在平面几何的尺规作图中，等分圆周成，份均可做到，而等份圆周却无法实现。关于等分圆周问题，我们有下列重要结果：若(是或自然数)，且是质数时(即是费马质数)，则利用尺规可将圆周 (包括它的倍)等份(高斯定理)。例如，当时，是质数，故利用尺规可将圆等分成、份。4.奇异美之图形美本文对图形美的探究，主要从“有限性”与“图形”的关系来展现出来，具体如下：世界是无限的，宇宙是无

20、限的，数学也是无限的。无限的世界、无限的数学中的有限蕴含着神奇和不可思议也许正因为有限才显得它与众不同。数，无穷无尽，然而只需十个数码便可将它们全部表出。平面上有无数个点，而确定一个平面仅需要三个点(当然它们不共线)就可以。一副扑克牌洗多少次才算最匀净? 答案是次(并非越多越好，要知道一副扑克可能的排列方式有种，它大约为)。美国哈佛大学的数学家戴柯尼斯和哥伦比亚大学的数学家贝尔发现了这一奥秘。他们把张牌编上号，先按的递增顺序排列。洗牌时分成两叠，一叠是，另一叠是。洗一次后会出现这样的数列：，它是两组递增数列：，和，的混合。此后再继续洗牌，若递增数列的组数多于时，这副牌已完全看不出原来的样子(顺

21、序)。计算表明，当洗牌次数为时，可实现上述效果(多于此数，过犹不及)。再如广告，商家也许以为所做次数越多，效果越好，其实不然。广告费用的投入与效果，遵循经济活动中著名的曲线(下图)，从图上可以看出：投入费用在某一段区间内时，广告最为有效。 另一方面，广告播出次数以次左右为最佳。美国著名广告学家克鲁曼认为：消费者是在漫不经心地接触广告：第一次只了解信息的大概，第二次开始关心广告的内容与自己是否有关，第三次便会对产品加深印象与了解。广告以次为最佳，否则会无效或产生厌倦情绪和逆反心理。三角形数的个数是无限的，但其中仅有六个是由同一数字组成的：()，()，()，()，()，()。又如棱锥数(金字塔数)

22、：中， 仅有()和()是完全平方数， 这是1875年吕卡斯猜测的，直至1918年才由沃森给出证明。著名的斐波那契数列，中的完全平方数仅有，和这三项(由四川大学的柯召等人于1964年解决)。由前文我们知道，方程仅有一组非平凡的整数解，；方程，即有且仅有，和三组正整数解。1842年，卡塔兰曾猜想：和是唯一一对都是正整数幂的相继自然数(对于方幂中有一平方数的情形，被柯召于1962年解决；1976年Tiideman证明：若两相继自然数均为正整数幂，则每个正整数的幂均应小于常数，已证得)。 是唯一一个夹在两个方幂52和33之间的整数，即方程仅有一组整数解。而有两组整数解和；仅有一组整数解。欧拉早就指出：

23、仅有一组整数解(此与卡塔兰猜想等价)；有三组整数解，和；但无整数解(形如的方程称为Modell方程，而称为Pell方程)。多面体千姿百态、种类繁多，欧拉却从中找出了它们的共性：对于(单连通面组成的)简单多面体(表面连续变形，可变为球面的多面体)，他在其顶点数、棱数和面数之间建立了一个等式：(欧拉公式)。在众多的场合下，它是适用的(上面括号内的文字已给出公式的适用范围)。人们正是依据这一点证明了：正多面体(各个面都是全等的正多边形的几何体)仅有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 此外，与它们共轭的多面体(若两多面体的棱数相同，且其中一个的顶点数和面数，恰好是另一多面体的

24、面数和顶点数，则这两个多面体互称共轭)也只有种，它们每面的边数和交于一点的棱数，以及，的关系如下： 正四面体及其共轭图形(正四面体) 正六面体及其共轭图形(正八面体) 正八面体及其共轭图形 正十二面体及其共轭图形 正二十面体及其共轭图形(正六面体) (正二十面体) (正十二面体)我们也知道：平面上与单位圆(半径为的圆)相切的单位圆最多只能有个(它的证明不难)。有人将问题推广到空间情形。起初(1694年)，英国天文学家格雷戈里猜测：一个单位球(半径为1的球)可与个单位球相切，而牛顿则认为这个数目应是。大约260年后(1953年)，许特和范德瓦尔登给出“至多可与个单位球相切”的论证。1956年，利

25、奇又给了一个简化证明。顺便讲一句，上述结论与自然界的某些现象与构造是协调的。十九世纪，法国结晶学家布拉维利用群论的研究成果，确定了晶体仅有种可能的结构(这一点已被现代科学所证实)，这种有限种类的结构已被无限的自然界所认可。完美矩形(用规格完全不同的正方块拼成的矩形)有无穷多种，但是阶数(即组成它的小正方形个数)最小的完美矩形(阶)仅有两个(见下图，图中的数字表示该正方形边长)。考虑周长一定的毕达哥拉斯三角形的个数问题。当个数为时，有周长是的情形存在: 三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥拉斯三角形；当个数为时，在周长小于的情形中仅有例，其中最小者周长为，三边分别为、的三角形都是周长为的毕达哥

26、拉斯三角形。这类问题首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！数学中的有限性的另一层意思是：“项”与“个数”最少问题。比如，我们前面提到的完美矩形的阶数最小是，完美正方形的最小阶数是等。此外，还有许多此类问题，比如：正方形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(1)；钝角三角形被剖分成锐角三角形，其个数不少于(上图(2)。数学中的唯一性问题，是特殊的有限。比如，两相交直线有唯一一个交点; 螺旋式三阶反幻方(各行、各列、各对角线上诸数和皆不相等)，不计其平移、旋转、反射等变换，其解是唯一的。用同一种数字构造数、用同一种图构造图形，里面也含有单一问题。这类问题在数学中有很多。比

27、如，平面的镶嵌问题，即问：用什么样的单一图形可以铺满(无缝隙、无重叠)平面(完美正方形也是一种镶嵌)?圆显然不行，因为圆与圆之间会有空隙。最简单的图形恐怕要数正多边形了。可是你想过没有，是否所有的正多边形都可以? 回答是否定的。其实，只有三种正多边形正三角形、正四边形、正六边形能够铺满平面。 通过简单的计算， 我们不难证实这一点。设正边形的内角为。 若它能铺满平面(如图)，则必有，使得。 由正多边形的内角公式，代入上式,便有，即，而只能是整数，这仅当时，即为，时才可以做到(据说早在毕达哥拉斯时代，人们对这个问题已有研究)。我们知道，平行四边形可以铺满平面，梯形也可以(两个梯形可拼成一个平行四边形)。 其实，任何同样规格的四边形也都可以铺满平面。 然而，并非所有五边形皆可铺满平面。对五边形而言，能用它们铺满平面的有种(1978年，由沙特斯奈德发现)。 第1种第2种 第3种第4种第5种第6种第7种 能铺满平面的一般六边形已发现三种(1918年，由莱