数列求和专题概要PPT学习教案

1、会计学1 数列求和专题概要数列求和专题概要 1.1.等差数列求和公式：等差数列求和公式： 2.2.等比数列求和公式：等比数列求和公式： d nn na aan S n n 2 1 2 1 1 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 第1页/共28页 数列的求和数列的求和, ,其关键是先求出数列的通项公式其关键是先求出数列的通项公式, ,然后然后 根据通项公式的结构，选择适当的求和方法根据通项公式的结构，选择适当的求和方法. .数列求和的数列求和的 思路：思路： 1 1、首先判断数列是等差还是等比数列？首先判断数列是等差还是等比数列？ 若是，则代公式，这就是

2、公式法若是，则代公式，这就是公式法. . 2 2、若不是，再考虑是否可以转化为等差若不是，再考虑是否可以转化为等差 或等比数列求和或等比数列求和. . 第2页/共28页 方法方法1 1：分组转化法（：分组转化法（通项分解法）通项分解法）： 若通项能转化为等差数列与等比数列和若通项能转化为等差数列与等比数列和 （或差），（或差），即即 nnn cba . , 2 1 )12(, 8 1 5, 4 1 3, 2 1 1 n n n S 例例1. 1. 数列数列 的的前前n n项和项和等于（等于（ ） n n 2 1 1 2 n nn 2 1 12 2 1 2 2 1 1 n n n nn 2 1

3、1 2 A A B.B. C C D.D. A 第3页/共28页 巩固练习：巩固练习： naaa n 21. 1 2 第4页/共28页 nn a b n a n b nnn cba 成等差，成等差， n 方法方法2 2：错位相减法：若通项能转化为等差数列与：错位相减法：若通项能转化为等差数列与 等比数列的积，一般适用于数列等比数列的积，一般适用于数列 的前的前 项求和，其中项求和，其中 成等比，成等比，即即 。 231 21,2 ,3,4,0 , n n axxxnxx n 例 设数列为 求此数列前 项的和。 第5页/共28页 231 21,2 ,3,4,0 , n n axxxnxx n 例

4、 设数列为 求此数列前 项的和。 解：（用错位相减法） 231 1234 n n Sxxxnx 231 231 nn n xSxxxnxnx 21 11 nn n x Sxxxnx ， 1x 当时， 1 1 1111 1 111 nn nnnn n n n xnxxxnxnx x Snx xxx 第6页/共28页 1 2 11 1 nn n n xnx S x 1 11234 2 n nn xSn 当时， (2)(2)本例是形如本例是形如, nn ba 其中其中 n a 是等差数列，是等差数列， n b 是等比数列的求和问题，这类问题都可用是等比数列的求和问题，这类问题都可用 错位相减法错位相

5、减法 的讨论。注意对公比x1 第7页/共28页 巩固练习：巩固练习： 1.1.数列数列, 8 1 3 , 4 1 2, 2 1 1 的前的前n n项和为（项和为（ ） nn n 22 1 2 1 第8页/共28页 2.2.一数列前一数列前n n项和项和 2 2221Snnn n n nn S,222 12 则 22 1 n n 第9页/共28页 方法方法3 3：倒序相加法：把数列正写和倒写再相加倒序相加法：把数列正写和倒写再相加 1 ( ) 22 x f x n ( 5)( 4)(0)(5)(6)fffff 例例3 3、设、设 ，利用课本中推导等差数列前，利用课本中推导等差数列前 项和的公式的

6、方法，求项和的公式的方法，求 2 2 1xfxf 23 第10页/共28页 24 4 )( x x xf) 2011 1 (fS ) 2011 2010 () 2011 3 () 2011 2 (fff 1.1.已知函数已知函数，则，则 = = . . 巩固练习：巩固练习： 第11页/共28页 . 此法常用于形如此法常用于形如1/f(n)g(n)1/f(n)g(n)的数列求和，的数列求和， 其中其中f(n),g(n)f(n),g(n)是关于是关于n n（nNnN+ +) )的一次函数。的一次函数。 把数列中的每一项都拆成两项或几项的差，把数列中的每一项都拆成两项或几项的差， 从而产生一些可以相

7、消的项，最后剩下有限从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限 的几项的几项 方法方法4 4：裂项相消法：裂项相消法： 第12页/共28页 1 11 ) 1( 1 . 1 nnnn 常见的拆项公式：常见的拆项公式： 1111 21 212 2121nnnn 2. 11 ab abab 3. n a 11 1111 nnnn a adaa 4 4若若是公差为是公差为的等差数列，则的等差数列，则0d 第13页/共28页 n 321 1 4321 1 321 1 21 1 1 n S 例例4 4、求数列、求数列 的前的前n n项和项和 1 2 S n n n 第14页/共28页 项和等于的前 数列 n

8、n ,2221 ,221 , 21 , 1. 1 122 A AB.B. C CD.D. n 2 n n 2 22 1 n n n n 2 巩固练习：巩固练习： C 第15页/共28页 n n a n S 1 (1) n a n n 5 S 2. 2. 数列数列的前的前项和为项和为，若，若 ，则，则等于等于（ ） A AB.B. C C D.D. 1 5 6 1 6 1 30 B 第16页/共28页 3.3.数列数列aan n 的通项公式是的通项公式是a an n= = 1 1 nn ，若前，若前n n项和为项和为1010，则项数，则项数n n为（为（ ） A.11 B.99 C.120 D.

9、121 C 第17页/共28页 方法方法5 5：奇偶讨论法（并项法）：把数列的某些项：奇偶讨论法（并项法）：把数列的某些项 放在一起先求和，然后再求放在一起先求和，然后再求S Sn n. . 例例5 5、求和、求和) 12() 1(7531 1 nS n n 为奇数 为偶数 nn nn n , , S 第18页/共28页 的值为 那么 项和的前已知数列 312215 1 ,3412117 13951S. 1 SSS n na n nn 巩固练习：巩固练习： 7 6 第19页/共28页 数列求和的解题策略：数列求和的解题策略： 抓通项，找规律，巧求和；抓通项，找规律，巧求和； 思考方法：思考方法

10、： 首先，注意分析判断是否是等差数列或首先，注意分析判断是否是等差数列或 是等比数列，是否可拆成等差数列、等是等比数列，是否可拆成等差数列、等 比数列之和（或差），或之积；再决定比数列之和（或差），或之积；再决定 选择方法选择方法. . 第20页/共28页 4710310 ( )2 2222() n f nnN ( )f n 1.1.设设 ，则，则等于等于（ ） 2 (81) 7 n 1 2 (81) 7 n 3 2 (81) 7 n 4 2 (81) 7 n A AB.B. C C D.D. 第21页/共28页 2.2.求下列数列的前求下列数列的前n项和项和 n n S555555555 2

11、22 sin 1sin 2sin 3 2 sin 89 222222 12979899100 n n 22 3 2 2 2 1 32 )23)(13( 1 118 1 85 1 52 1 nn （2 2） （3 3） （4 4） （5 5） . 第22页/共28页 课堂小结课堂小结 (1) (1) 公式法公式法: : 直接运用等差数列、等比数列求和公直接运用等差数列、等比数列求和公 式式; ; (2) (2) 分组转化法分组转化法: : 将已知数列的求和问题化为等差将已知数列的求和问题化为等差 数列、等比数列求和问题；数列、等比数列求和问题； (3) (3) 倒序相加法倒序相加法: : 对前后

12、项有对称性的数列求和；对前后项有对称性的数列求和； (4) (4) 错位相减法错位相减法: : 等比数列与等差数列组合数列求等比数列与等差数列组合数列求 和；和； (5)(5)裂项求和法：裂项求和法：将数列的通项分解成两项之差，将数列的通项分解成两项之差， 从而在求和时产生相消为零的项的求和方法从而在求和时产生相消为零的项的求和方法. . 常用数列求和方法有：常用数列求和方法有： 第23页/共28页 第24页/共28页 3、已知各项不为零的等差数列 na ，求证： 433221 111 aaaaaa 1n11nn 1 aa n aa 第25页/共28页 1 11 )1( 1 . 1 nnnn ) 11 ( 1 )( 1 .2 knnkknn ) 12 1 12 1 ( 2 1 )12)(12( 1 . 3 nnnn )2)(1( 1 )1( 1 2 1 )2)(1( 1 .4 nnnnnnn )( 11 . 5ba baba 第26页/共28页 填填 表表 数数 列列