计量经济学-第二章：单方程多元线性计量经济模型完整版

1、 第一节第一节 单方程多元线性计量经济模型概述单方程多元线性计量经济模型概述 一、模型的一般形式一、模型的一般形式 单方程多元线性计量经济模型：描述经济因素之间单方程多元线性计量经济模型：描述经济因素之间 的经济关系（单向因果关系）的经济关系（单向因果关系） 多元线性计量经济模型的一般形式为：多元线性计量经济模型的一般形式为： 随机误差项：随机误差项：U U 解释变量：解释变量： k XXX, 21 其中：被解释变量：其中：被解释变量：Y Y ； UXXXY kk 22110 结构参数（解释变量系数）：结构参数（解释变量系数）： k , 10 （k+1 k+1 个）个） 给定给定 n n 组样

2、本，每一组样本得到一个方程，即：组样本，每一组样本得到一个方程，即： 1121211101 uxxxy kk nknknnn kk uxxxy uxxxy 22110 2222212102 UXXXY kk 22110 矩阵表示为：矩阵表示为： nkknnn k k n xxx xxx xxx y y y 2 1 1 0 21 22212 12111 2 1 1 1 1 UXBY 二、模型的特征分析二、模型的特征分析 UXXXY kk 22110 1. 1.计量经济模型中为什么引入随机误差项计量经济模型中为什么引入随机误差项 模型与现实的偏差及参数估计形成的偏差模型与现实的偏差及参数估计形成的

3、偏差 偏差主要指：变量误差、样本误差、模型误差、其偏差主要指：变量误差、样本误差、模型误差、其 它随机偏差它随机偏差 2. 2.变量之间呈现线性关系变量之间呈现线性关系 现实问题中某些计量经济模型也可能会描述成非线性现实问题中某些计量经济模型也可能会描述成非线性 模型！模型！ 怎么处理？怎么处理？可线性化、不可线性化可线性化、不可线性化 eLAKY 3 312 2 211 )()(XXXXY m LKAQ )1 ( 三、模型的基本假设三、模型的基本假设 基本假设条件为：基本假设条件为： 随机误差项具有随机误差项具有0 0均值和同方差，即均值和同方差，即 niu uE ui i , 2 , 1)

4、var( 0)( 2 随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在随机误差项在不同样本点之间是独立的，不存在 序列相关，即序列相关，即 jiji uu |0),cov( n , 21 对于对于 ，每两两之间存在协方差，每两两之间存在协方差， 则随机误差项的协方差矩阵为：则随机误差项的协方差矩阵为： IUUEUCov 2 )()( 关于随机误差项的协方差矩阵：关于随机误差项的协方差矩阵： ),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov( )( 21 22212 12111 nnnn n n UCov IUCov 2 2 2 2 00

5、00 00 )( )()()( )()()( )()()( )( 21 22212 12111 nnnn n n EEE EEE EEE UCov ),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov( ),cov(),cov(),cov( )( 21 22212 12111 nnnn n n UCov 关于随机误差项的协方差矩阵：关于随机误差项的协方差矩阵： )()(),cov( jijjiiji uuEuEuuEuEuu由于 解释变量是确定性变量，解释变量之间不相关，解释变量是确定性变量，解释变量之间不相关， 随机误差项与解释变量之间不相关随机误差项与解释变量之间不相关

6、 随机误差项服从正态分布，即随机误差项服从正态分布，即 niN i , 2 , 1 ), 0( 2 )()( 21 22212 12111 UUEEUCov nnnn n n 第二节第二节 多元线性模型参数估计原理多元线性模型参数估计原理 选择适当的方法对模型中的参数进行估计是计量经选择适当的方法对模型中的参数进行估计是计量经 济学方法最基本最重要的一步。济学方法最基本最重要的一步。 参数估计的基本原理：普通最小二乘原理（残差平参数估计的基本原理：普通最小二乘原理（残差平 方和最小原理）。方和最小原理）。 一、普通最小二乘法的基本原理一、普通最小二乘法的基本原理 首先以一元线性模型为例介绍普通

7、最小二乘法首先以一元线性模型为例介绍普通最小二乘法(OLS)(OLS) 的基本原理。设模型为：的基本原理。设模型为： UXY 10 对于变量对于变量X X，Y Y各取得各取得 n n 个样本，即：个样本，即： n xxx, 21 n yyy, 21 UXY 10 Y X Y X XY 10 回归方程： UXY 10 总体模型： 这条线叫什么？这条线叫什么？ 怎么表示出来？怎么表示出来？ 与总体模型的对比！与总体模型的对比！ Y X XY 10 ),( 66 yx 6 e ),( 66 yx 6106 xy ii xy 10 iii yye 被解释变量样本值与估计值的差距，即残差：被解释变量样本

8、值与估计值的差距，即残差： 显然，对于显然，对于 n 组样本，其组样本，其残差可用列向量表示为：残差可用列向量表示为： 残差平方和可表示为：残差平方和可表示为： n i iii n i i n i i xyyyeeeQ 1 2 10 2 11 2 ) ()( YY y y y y y y yy yy yy e e e e nnnnn 2 1 2 1 22 11 2 1 如何评价回归方程的好坏呢：残差平方和最小！如何评价回归方程的好坏呢：残差平方和最小！ 为么不是残差和最小？为么不是残差和最小？ 得：得： n i iii n i ii xyx xy 1 10 1 10 0) (2 0) (2 2

9、22 1 1 22 2 0 )( )( )( )( xx yyxx xxn yxyxn xy xxn yxxyx i ii ii iiii ii iiiii 解得一元线性模型参数估计式为：解得一元线性模型参数估计式为： 若使若使Q Q达到最小，分别对参数求偏导数，即：达到最小，分别对参数求偏导数，即： 0 ;0 10 QQ n i ii xyQ 1 2 10 ) ( 二、普通最小二乘法的正规方程组二、普通最小二乘法的正规方程组 对于一元线性模型对于一元线性模型 n i iii n i ii xyx xy 1 10 1 10 0) ( 0) ( 正规方程组也可表示为：正规方程组也可表示为： n

10、i iii n i ii yyx yy 1 1 0)( 0)( UXY 10 利用普通最小二乘原理，对残差平方和利用普通最小二乘原理，对残差平方和Q Q求偏导数可求偏导数可 以得出以下一组重要的方程：正规方程组以得出以下一组重要的方程：正规方程组 对于二元模型，其模型及对应的正规方程组为：对于二元模型，其模型及对应的正规方程组为： UPXY 210 0) ( 0) ( 0) ( 210 210 210 iiii iiii iii pxyp pxyx pxy 0)( 0)( 0)( iii iii ii yyp yyx yy 则：其中 210iii pxy n i iii n i ii yyx

11、yy 1 1 0)( 0)( 则二元线性模型参数估计式为：则二元线性模型参数估计式为： 222 2 2 222 2 1 210 xppx xpx xppx xpp sss sxyspy sss spysxy pxy n j jj n j jj j n j jxp n j jp n j jx yp n py yx n xy ppxx n s pp n s xx n s 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 对于多元模型，其正规方程组应为：对于多元模型，其正规方程组应为： 0) ( 0) ( 0) ( 110 1101 110 kikiiki kikiii kikii xxyx

12、xxyx xxy 0 0 0 0)( 0)( 0)( 11 iki ii i iiki iii ii ex ex e yyx yyx yy UXXXY kk 22110 多元线性计量经济模型的正规方程组还可以表示为：多元线性计量经济模型的正规方程组还可以表示为： 0 0 0111 2 1 21 112111 eX e e e xxx xxx ex ex e nknkk n iki ii i 0 0 0 1 iki ii i ex ex e 0 e X 第三节第三节 多元线性计量经济模型的参数估计多元线性计量经济模型的参数估计 一、结构参数的估计一、结构参数的估计 一般地，对于多元线性计量经济模

13、型为：一般地，对于多元线性计量经济模型为： Y = XB + U Y = XB + U 则结构参数估计式为：则结构参数估计式为： YXXXB 1 )( n y y y Y : 2 1 knnn k k xxx xxx xxx X 21 22212 12111 1 1 1 例例2-1 2-1 住房销售问题（样本数据如表住房销售问题（样本数据如表2-12-1） 被解释变量均值被解释变量均值 被解释变量方差被解释变量方差 AIC AIC 准则准则 SIC SIC 准则准则 HQC HQC 准则准则 DW DW 统计量统计量 5.对数似然估计值 对数似然估计值 3.回归标准差 回归标准差 变量变量 系

14、数系数 标准差标准差 t t统计量统计量 伴随概率伴随概率 YYe eYY eBXY eXBXXYX BXXYX YXXXB)( 1 通过正规方程组导出参数估计式通过正规方程组导出参数估计式 0 e X 通用性：有无常数项及任意多个解释变量通用性：有无常数项及任意多个解释变量 n y y y Y : 2 1 knnn k k xxx xxx xxx X 21 22212 12111 1 1 1 YXXXB)( 1 BXXBYXBBXYYY BXYBXY YYYYeeQ ) () ( ) () ( 0 22) 2( BXXYXBXXBYXBYY BB Q YXXXB)( 1 0 22) 2( X

15、XBXYBXXBBXYYY BB Q 通过残差平方和求导得出参数估计式通过残差平方和求导得出参数估计式 eeeeeeQ n n i i . 22 2 2 1 1 2 ）注：BXYYXB ( 二、二、U U 的分布参数估计的分布参数估计 1 2 kn ee u UXXXXI UXXXXU UXXXXXBXXXXUXB UXBXXXXUXB YXXXXUXB BXUXB YYe ) )( )( )()( )( )( )( 1 1 11 1 1 证明：证明： )( 1 XXXXIM MUUtrEeeE ) ( )1( 2 1 2 1 2 1 2 22 kn XXXXtrn XXXXtrtrI XXX

16、XItr MtrIMtr UUMEtr UMUEtrUMUtrE u u u u uu )1()( 2 kneeE 2 ) 1 ( u kn ee E 显然，当显然，当 满足据无偏性要求满足据无偏性要求 1 2 kn ee u MUUMUMUMUMUee)( )(MUUtrMUU 三、样本容量问题及估计值的性质三、样本容量问题及估计值的性质 样本容量问题样本容量问题 从检验效果角度（分布变化缓慢，检验有效）从检验效果角度（分布变化缓慢，检验有效） 8kn 一般认为一般认为3030个以上样本能够满足要求。个以上样本能够满足要求。 估计值的性质包括如下几方面：线性性、无偏性、估计值的性质包括如下几

17、方面：线性性、无偏性、 最小方差性。最小方差性。 线性性：估计值与被解释变量呈现线性关系线性性：估计值与被解释变量呈现线性关系 AYYXXXB 1 )( 无偏性：估计值的期望等于待估参数无偏性：估计值的期望等于待估参数 BBE) ( 最小方差性：最小方差性：各种估计方法中方差最小各种估计方法中方差最小 12 )() ( XXBCov 第四节第四节 统计检验与置信区间统计检验与置信区间 拟合优度：回归方程对样本观测值的拟合程度拟合优度：回归方程对样本观测值的拟合程度 TSSESSR 2 方程的显著性检验：总体的线性关系是否成立方程的显著性检验：总体的线性关系是否成立 解释变量的显著性检验：解释变

18、量的重要性解释变量的显著性检验：解释变量的重要性 ) 1,(knkFF ) 1(| 2 knttj 原假设：原假设：0 21 k 0 j 原假设：原假设： 伴随概率：伴随概率：取多大的显著性水平呢？取多大的显著性水平呢？ “ “伴随概率伴随概率”也称为也称为 P值，值， P值是衡量犯第值是衡量犯第类错类错 误误的概率（错误地拒绝原假设），的概率（错误地拒绝原假设），P P值越大错误的可能性值越大错误的可能性 越大；越大；P P值越小拒绝原假设的正确性越大。值越小拒绝原假设的正确性越大。 P P ，拒绝原假设（，拒绝原假设（P P值比较小，拒绝原假设）值比较小，拒绝原假设） 一、拟合优度检验一、

19、拟合优度检验 1. 1.拟合优度的含义拟合优度的含义 模型是否能比较好地解释因果关系模型是否能比较好地解释因果关系 2.2.几个概念几个概念 总离差平方和：总离差平方和： 回归平方和：回归平方和： 残差平方和：残差平方和： 2 )( yyTSS i 2 )( ii yyRSS 2 )( yyESS i ESSRSSTSS )(2 )()()( 22 yyyyESSRSSTSS yyyyyyTSS iii iiii TSS = RSS + ESS ? kikii kk xxy UXXY 110 110 0 ) ( ) ( )()( 110 110 ikikiii iikiki iiiiiiii

20、exexey eyexx eyeyyyeyyyy 若模型为：若模型为： 若模型为：若模型为： UXXY kk 11 TSS RSS TSS ESS R1 2 3. 3.可决可决系数系数 反映解释变量反映解释变量对被解释变量的解释能力；或者说已对被解释变量的解释能力；或者说已 经被解释的部分占总的比重经被解释的部分占总的比重 可决系数越接近于可决系数越接近于1 1，回归方程的拟合程度就越高。，回归方程的拟合程度就越高。 4. 4.拟合优度拟合优度 对可决系数所进行的调整，其目的在于避免对可决系数所进行的调整，其目的在于避免“解解 释变量越多，拟合程度越高的错觉释变量越多，拟合程度越高的错觉” 1

21、 1 1 2 n TSS kn RSS R 二、回归方程的显著性检验二、回归方程的显著性检验 1. 1.什么是回归方程的显著性检验什么是回归方程的显著性检验 拟合优度检验与回归方程显著性检验的异同拟合优度检验与回归方程显著性检验的异同 2.2.检验的方法检验的方法 根据根据TSSTSS、ESSESS与与RSSRSS分布的特征：分布的特征： ) 1,( 1 knkF knRSS kESS F 因此，根据因此，根据F F分布可知：分布可知： ) 1(/ 22 knRSS 查查F F分布表得到临界值，若分布表得到临界值，若 ) 1,(knkFF 拒绝原假设，判断回归方程总体线性关系显著成立。拒绝原假

22、设，判断回归方程总体线性关系显著成立。 )(/ 22 kESS 原假设：原假设：0 21 k 三、解释变量的显著性检验三、解释变量的显著性检验 解释变量的显著性，指对被解释变量的影响是否重解释变量的显著性，指对被解释变量的影响是否重 要的问题。要的问题。 1.1.解释变量显著性检验的原理解释变量显著性检验的原理 解释变量的显著性就是等价于假设解释变量的显著性就是等价于假设j j=0=0是否成立。是否成立。 2.2.解释变量显著性检验的方法解释变量显著性检验的方法 首先分析参数估计值的分布首先分析参数估计值的分布 jj E) ( ?) var( j kkkk k k uu ccc ccc ccc

23、 XXBCov 10 11110 00100 212 )() ( jjuj c 2 ) var( ),( 2 jjujj cN )1 ,0( 2 N c jju jj ) 1( 1 1/ 2 2 2 knt c c kn ee kn RSS c t jj jj jj jj u jju jj j 因此，构造统计量因此，构造统计量t t ) 1( 2 knt S c t j j jj j j ) 1(| 2/ kntt j 0 j 原假设：原假设： 查查t t分布表得临界值。若分布表得临界值。若 拒绝原假设，该参数所对应的解释变量是显著的。拒绝原假设，该参数所对应的解释变量是显著的。 四、模型的优

24、化与调整四、模型的优化与调整 模型的基本要求：参数经济意义合理、拟合优度高、模型的基本要求：参数经济意义合理、拟合优度高、 解释变量显著解释变量显著 若模型拟合优度不高，首先考虑调整模型的形式若模型拟合优度不高，首先考虑调整模型的形式 若解释变量不显著或者其参数的经济意义不合理，若解释变量不显著或者其参数的经济意义不合理， 其处理方法主要有：其处理方法主要有： 1.1.调整解释变量的设定调整解释变量的设定 2.2.扩大样本的容量扩大样本的容量 3.3.删除某解释变量删除某解释变量 4.4.重新选择影响因素重新选择影响因素 几点经验：几点经验： 1.1.若删除解释变量，一次只能删除一个经济意义不

25、若删除解释变量，一次只能删除一个经济意义不 合理或者不显著的解释变量；合理或者不显著的解释变量； 2.2.对于不显著的常数项是否删除需要慎重。对于不显著的常数项是否删除需要慎重。 拟合程度拟合程度 参数经济意义参数经济意义 解释变量显著性解释变量显著性 确定研究对象确定研究对象 选择影响因素选择影响因素 参数估计参数估计 模型确定及应用模型确定及应用 整理样本数据整理样本数据 模型设定模型设定 协整检验协整检验 模型检验模型检验 序列相关：序列相关：AR(1) 异方差：权重异方差：权重 五、参数估计值的置信区间五、参数估计值的置信区间 依据样本得到的参数估计值是均值，那么其波动范依据样本得到的

26、参数估计值是均值，那么其波动范 围有多大呢？围有多大呢？ ) 1( knt S t j jj j 那么那么t t值在值在(-,+)(-,+)区间的概率为区间的概率为1 1，用数学方法表，用数学方法表 示为：示为：P(-t+)=1 P(-t+)=1 所以在所以在1-1-水平下水平下j j的置信区间为：的置信区间为： jj j StSt t S tP jjj jj 2/2/ 2 2 1 注：置信区间与估计值、标准差及置信水平有关注：置信区间与估计值、标准差及置信水平有关 第五节第五节 单方程计量经济模型预测单方程计量经济模型预测 预测是计量经济模型的重要作用之一，所谓预测就预测是计量经济模型的重要作用之一，所谓预测就 是给定解释变量的值（预测期的期望值），通过回归模是给定解释变量的值（预测期的期望值），通过回归模 型推测被解释变量的预测值。型推测被解释变量的预测值。 1.1.预测值和预测区间预测值和预测区间 根据如下回归方程确定预测值：根据如下回归方程确定预测值： kkf XXXY 22110 则，预测区间为：则，预测区间为： ffff XXXXtYY 1 2 )(1 注：关于被解释变量的估计值与预测值注：关于被解释变量的估计值与预测值 2.2.关于预测值和预测区间的再讨论关于预测值和预测区间的再讨论 UXXXY