数列无穷小PPT学习教案

1、会计学1 数列无穷小数列无穷小 1.1.1 数列无穷小数列无穷小 1. 数列的定义数列的定义 数列是指定义在正整数集上的函数 ) , 3 , 2 , 1(),( nnfxn 依按自变量增大的次序依按自变量增大的次序, 数列的对应值可以排成数列的对应值可以排成 , 21n xxx 2 n x称为数列的通项(或一般项),. n x 数列简记为 如如, ;, 1 , 3 1 , 2 1 , 1 n n 1 简记为 第1页/共12页 ;,2 , 8, 4, 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n ;,)1( , 1, 1, 1 1 n 2 n 简记为 1 2n 简记为 )1( 1

2、 n 简记为 3 2. 数列的几何表示法数列的几何表示法 1 x 2 x 3 x 4 x n x 数列中可看作数轴上的一个动点数列中可看作数轴上的一个动点. . x 第2页/共12页 表示表示n 无限增大的过程无限增大的过程. . 3. 数列的变化过程包含两个相关的无限过程： 自变量n的主动变化过程:, 3, 2, 1 n 不断增大( 每次加1 ), 可以大于每个固定的正数. : n )1( 4 即即 与与0 的距离可以的距离可以 n 1 如果n 可以大于任意给定的正数,那么 n 1 就可以小于任意给定的正数. 我们称 无限接近于0. n 1 任意小, 因变量的被动变化过程:)2( 第3页/共

3、12页 , 11 nn 数列 的变化趋势可以概述为： n 1 无论给定一个多么小的正数无论给定一个多么小的正数 , 0 都可以有都可以有 只要只要 即可即可. 1 n n 1 数列数列 是无穷小是无穷小. 此时我们称当n 无限增大时, 5 第4页/共12页 定义定义1.1 (数列无穷小数列无穷小) 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数, 都存在正整数都存在正整数N, 使得当使得当 时，时，Nn 不等式不等式 n x 成立成立， 记为记为 , 0lim n n x 或或).(0 nxn 则称则称数列数列 是无穷小是无穷小. n x 设设 为数列，为数列， n x 6 第5页/共12页 1

4、 x 2 x 2 N x 1 N x 3 x 几何解释几何解释: 2 x 0 ,),(,内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当 n xNn N , 0 0lim n n x , NN 只有有限个 (至多有N 个)落在其外. 有有时时当当,Nn . n x 定义定义: 7 第6页/共12页 定理定理1.1 (无穷小比较定理无穷小比较定理1) 证证, 0lim n n x由定义由定义, 0 , NN 有有时时当当,Nn . C xn 有有时时于是当于是当,Nn nn xCy C C 故故 也是无穷小也是无穷小. n y 设设 为无穷小为无穷小, n x 则则 也是无穷小也是无穷小. n y |,

5、| nn xCy 都有都有使得对于所有正整数 n, 如果存在正数 C, 8 第7页/共12页 例例1 证明证明: 如果如果 则则 为无穷小为无穷小. 证证 p n 1 , 0 p , 0 则则 也是确定数也是确定数.0 1 p , NN n 1 因因 是无穷小是无穷小, , 11 1 p nn 所以所以 , 1 p n 即即 是无穷小是无穷小. p n 1 有有时时当当,Nn (由幂函由幂函 数数 在 上单调增 加) p xy ), 0( 9 第8页/共12页 例例2 证明下列数列都是无穷小：证明下列数列都是无穷小： 1 2 1 )1( n n x 2 1 )1(1 )2( n n x n n

6、 证证 因因 1 1 )3( 2 2 3 nn n xn , 1 2 1 )1( 1 n n 22 1 1)1(1 )2( n n n n n n 1 2 1,)4( qqx n n 10 第9页/共12页 (4), 1 1 c q 令令 因为因为 是无穷小是无穷小, p n 1 . 0 c则则 注意到注意到 ,1)1( nn cncc ,)1(ncc n 有有. 11 )1( 1 ncc q n n 于于是是 根据定理1.1及例1,可知上述四个数列都是无穷小. 1 1 )3( 2 2 3 nn n n 1 4 2 2 2 2 2 3 n n n 11 第10页/共12页 解解 因因 0lim n n x且 , 0lim 12 n n x. 0lim 2 n n x 因此因此,