数学课程的新发展2 (2)

1、理解数学课程的新进展理解数学课程的新进展 孙晓天 中央民族大学 理学院 主要内容： 一一. .把握把握标准标准的新进展的新进展 二二. .专注教学方式的改进专注教学方式的改进 u20012001以来数学课程发展历程简短回顾以来数学课程发展历程简短回顾 20012001年年 义务教育数学课程标准（实验稿）义务教育数学课程标准（实验稿）颁行颁行 20012001年年 4242个实验区个实验区 0.5%-1%0.5%-1% 20022002年年570570个实验区个实验区 18%-20%18%-20% 20032003年年 16421642个实验区个实验区 40%-50%40%-50% 200420

2、04年年 25762576个实验区个实验区 70%-90%70%-90% 20052005年年 起始年级全部进入新课程起始年级全部进入新课程 20032003年年 第一次修订第一次修订 20072007年年 第二次修订第二次修订 20112011年底年底 标准（标准（20112011）颁行颁行 20122012年秋年秋修订后的新教材全面使用修订后的新教材全面使用 课程目标 概述 具体 阐述 知识技能 数学思考 问题解决 情感态度 学段目标 第一学段 第二学段 第三学段 总体目标 数学课程标准的结构 一一.把握把握标准标准的新进展的新进展 （1）总体目标）总体目标 （2）核心概念）核心概念 （3

3、）能力要求）能力要求 （4）学习习惯）学习习惯 （5）课程要求）课程要求 （6）内容变化）内容变化 从从“双基双基”到到“四基四基” u基础知识基础知识 u基本技能基本技能 “双基双基” u基础知识基础知识 u基本技能基本技能 u基本思想基本思想 u基本活动经验基本活动经验 “四基四基” 20012001：数感数感 符号感符号感 空间观念空间观念 统计观念统计观念 应用意识应用意识 推理能力推理能力 20112011版：版： 数感数感 符号意识符号意识 运算能力运算能力 模型思想模型思想 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 数据分析观念数据分析观念 应用意识应用意识 创新意识

4、创新意识 新增加：运算能力新增加：运算能力 模型思想模型思想 几何直观几何直观 创新意识创新意识 调整：数据分析观念调整：数据分析观念 （统计观念）（统计观念） 符号意识符号意识 （符号感）（符号感） 20012001：数感数感 符号感符号感 空间观念空间观念 统计观念统计观念 应用意识应用意识 推理能力推理能力 2011版版： 数感数感 符号意识符号意识 运算能力运算能力 模型思想模型思想 空间观念空间观念 几何直观几何直观 推理能力推理能力 数据分析观念数据分析观念 应用意识应用意识 创新意识创新意识 核心概念是重要的数学课程内容，是课堂 教学的具体目标 核心概念蕴涵于具体的课程内容之中，

5、或者与 课程内容紧密结合。 核心概念是教学的关键。有助于发展学生的数 学素养。 核心概念本质上体现的是数学的基本思想。 核心概念要通过教师的教学落实 以推理能力为例 推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活 中经常使用的思维方式，包括： 演绎推理：演绎推理是从已有的事实（包括定义、 公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、 法则、顺序）出发，按照逻辑推理的规则证明和 计算。 合情推理：合情推理是从已有的事实出发，凭借 经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果； 在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路， 发现结论；演绎推理用于验证结论。 推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。 2

6、模型思想模型思想 “现实现实”世界世界数学问题数学问题 1 数学世界数学世界 模型思想模型思想 数数 学学 系系 统（垂直数学化）统（垂直数学化） 数学问题数学问题概念、方法概念、方法 解解 决决 问问 题题 描描 述述 现实情景问题（水平数学化）现实情景问题（水平数学化） 模型思想在教材中的体现： 理解模型思想 模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的 基本途径。 建立和求解模型的过程：从现实生活或具体情境中抽象出数学 问题，用数学符号表示数学问题中的数量关系和变化规律（建 立方程、不等式、函数等），求出结果、解决实际问题，并讨 其意义。 建模（数学化）有助于学生形成初步的模型

7、思想，提高学习数 学兴趣和应用意识。 运算能力 根据法则和运算律正确的进行运算的能力， 有助于学生理解运算的算理，寻找合理简 洁的运算途径解决问题。 可以概括为：理解算理、发现算法 在教学中贯彻核心概念，要理解为什么课 程内容要采取螺旋式上升的方式编排？ 1. 展现数学知识的整体性 数学知识在本质上是一个整体，之所以被分为“代 数”、“几何”、“统计”、“概率”等不同领域， 是出于学科分类的需要，体现的是知识纵向之间的 逻辑关系。 不同领域之间的“横向联系”才是实质性联系，反 映了数学的本质和应用价值 需要在教学过程中特别关注“横向联系” 。 因此，各套教材均采用代数、几何、统计、概 率“混编

8、”的方式，努力体现不同知识点之间 的联系，在体现知识间纵向逻辑关系的同时， 关注不同内容领域在知识间的横向联系，才能 体现数学的本质和整体性。 2. 螺旋上升的方式符合学习者的认知规律 重要的数学概念、思想在形成过程中呈现出渐 次递进的特征； 人类在认知这些重要的数学观念、数学思想时 也不是一蹴而就的，而是经历了漫长的循环往 复过程。 分析 教材和教学只有采用由浅入深、逐级递进、 螺旋上升的方式逐步展开重要的数学概念， 渗透重要的数学思想，才有助于学生真正 理解和把握相关的核心概念。 以函数内容为例 了解了解, ,理解理解, ,掌握掌握, ,运用运用, ,经历经历, ,体验体验, ,探索探索

9、也是评价标准也是评价标准 1.课程内容领域有微调 2.具体内容有修改 1.课程内容领域有微调 四个领域： 数与代数 图形与几何（空间与图形） 统计与概率 综合与实践 （实践活动） “数与代数” “数与代数”的内容结构上没有变化: 数与式 方程与不等式 函数 20012001年之后年之后 实验稿实验稿 （空间与图形）（空间与图形） 20112011年版年版 （图形与几何）图形与几何） 图形的认识 图形与变换 图形与坐标 图形与证明 图形的性质 图形的变化 图形与坐标 “图形与几何” 2001年之前年之前 大纲大纲 （几何）（几何） 图形与证明 第一学段内容减少，主要是学会分类、会进行简 单的数据

10、搜集与整理的； 原第一学段的“中位数、众数”移入第三学段 第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现 象发生的可能性”两部分； 第三学段分为“抽样与数据分析”和“事件的概 率两部分”。 “统计与概率” “综合与实践” 在三个学段上统一了提法（原为实践、综合、课题学 习），进一步明确了“综合与实践”的内涵和要求，即： 以问题为载体 以学生自主参与为主的数学活动为基本形式。 是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创 新意识的内容领域。 2.第三学段具体内容的修改 着重： 与前后学段的知识内容的衔接； 与学生的生活经验和未来的生活实践 的联系； 考虑学生对知识内容的接受能力和水平 体现数学学

11、科本质及核心思想。 （1）删减的一些主要内容 能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断； 了解有效数字的概念； 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不 等式组，解决简单的问题 与梯形有关的内容：如 掌握梯形的概念和性质； 探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯 形的条件； 证明等腰梯形的性质定理和判定定理； 探索并了解圆与圆的位置关系； 关于影子、视点、视角、盲区等内容， 以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的 欣赏等； 关于镜面对称的要求； 极差、频数折线图等内容 （1）删减的一些主要内容 （2 2）增加的一些内容）增加的一些内容 最简二次根式和最简分式的概念； 能用一元二次方程根

12、的判别式判别方程是否 有实根和两个实根是否相等。 会比较线段的大小，理解线段的和、差，以 及线段中点的意义 了解平行于同一条直线的两条直线平行 会按照边长的关系和角的大小对三角形进行 分类 理解平均数的意义，能计算中位数、众数； 了解并证明圆内接四边形的对角互补； 了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系 尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边 和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆； 作圆的内接正方形和正六边形 能用计算器处理较为复杂的数据； （2 2）增加的一些内容）增加的一些内容 （2 2）增加的一些内容）增加的一些内容 在第三学段的“数与代数”和“图形与几何” 部分，分别

13、有以 “*” 标注的选学内容，列举如下： *能解简单的三元一次方程组 *知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 *了解一元二次方程的根与系数的关系 *了解平行线性质定理的证明 *了解相似三角形判定定理的证明 *探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对 的两条弧 *探索并证明切线长定理：过圆外一点所画圆的两条切线的 长相等 （3 3）在要求上所提高）在要求上所提高 标准中还有一些是在知识内容的具体要求程度 上的变化或要求的精细化，如原来要求的是 “了解”，现在则是“理解”，等等。 以几何证明依据的“基本事实”为 例： 实验稿实验稿20112011年版年版 （1 1）两条平行直线被

14、第三）两条平行直线被第三 条直线所截，同位角相等。条直线所截，同位角相等。 (2)(2)两条直线被第三条直线两条直线被第三条直线 所截，如果同位角相等，那所截，如果同位角相等，那 么这两条直线平行。么这两条直线平行。 （3 3）两边及其夹角分别相）两边及其夹角分别相 等的两个三角形全等。等的两个三角形全等。 （4 4）两角及其夹边分别相）两角及其夹边分别相 等的两个三角形全等。等的两个三角形全等。 （5 5）三边分别相等的两个）三边分别相等的两个 三角形全等。三角形全等。 （6 6）两个全等三角形的对）两个全等三角形的对 应边相等，对应角相等。应边相等，对应角相等。 （1)1)两点确定一条直线

15、。两点确定一条直线。 （2 2）两点之间线段最短。）两点之间线段最短。 (3) (3)过一点有且只有一条直线与过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直。已知直线垂直。 (4) (4)两条直线被第三条直线所截，两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么这两条直如果同位角相等，那么这两条直 线平行。线平行。 （5 5）过直线外一点有且只有一条）过直线外一点有且只有一条 直线与这条直线平行。直线与这条直线平行。 （6 6）两边及其夹角分别相等的两）两边及其夹角分别相等的两 个三角形全等。个三角形全等。 （7 7）两角及其夹边分别相等的两）两角及其夹边分别相等的两 个三角形全等。个三角形全等。 （

16、8 8）三边分别相等的两个三角形）三边分别相等的两个三角形 全等。全等。 （9 9）两条直线被一组平行线所截，）两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例。所得的对应线段成比例。 基本事实基本事实 问题： 如何看待这些内容的调整？有人认为2011 版“宽而深”了，好不好？ 分析分析 与与标准（实验稿）标准（实验稿）相比，相比， 标准（标准（2011）在改在改 革的道路上大大地向前迈出一步革的道路上大大地向前迈出一步 十年课程改革的经验积累已经成为十年课程改革的经验积累已经成为标准（标准（2011）中中 的新元素的新元素 “四基四基”是是标准（标准（2011）最最，把思想、，把思想、 活动

17、经验这些活动经验这些“软任务软任务”提升为与提升为与“双基双基”同等的同等的“硬硬 指标指标”，这将在观念转变、经验积累、研究方式更新、，这将在观念转变、经验积累、研究方式更新、 资源建设等诸多方面，对数学课程发展产生新的、有力资源建设等诸多方面，对数学课程发展产生新的、有力 度的推动。度的推动。 万事开头难，有苗不愁长，万事开头难，有苗不愁长，“四基四基”能带给数学课程改能带给数学课程改 革的实质性进展。革的实质性进展。 如何看待如何看待“宽而深宽而深”？需要留待时间检验。？需要留待时间检验。 关键是与时俱进关键是与时俱进 要站在新的历史起点上理解新课程要站在新的历史起点上理解新课程 要从学

18、生的全面发展、健康成长出发思考课要从学生的全面发展、健康成长出发思考课 程改革的实施问题程改革的实施问题 在清楚什么是我们的长项的同时，更得看看在清楚什么是我们的长项的同时，更得看看 什么是我们的弱项，把精力匀一匀，在弥补什么是我们的弱项，把精力匀一匀，在弥补 弱项上多下一点功夫。弱项上多下一点功夫。 （7 7）如何把握这些新变化）如何把握这些新变化 二二.专注教学方式的改进专注教学方式的改进 思路：思路： 标准的落实基于教学的进步 教学的进步离不开改革与发展 课堂教学的改革不是推倒重来 课堂教学改革的核心是实现课堂教学方式的 多样化、丰富性 以下问题值得思考： 为什么要实现教学方式的多样化、

19、丰富性？（为什么）为什么要实现教学方式的多样化、丰富性？（为什么） 多样化、丰富性的内涵是什么？（是什么）多样化、丰富性的内涵是什么？（是什么） 当前应当重点关注什么？（干什么）当前应当重点关注什么？（干什么） 如何在教室里实现丰富、多样、有意义的教学活动？如何在教室里实现丰富、多样、有意义的教学活动？ （怎么干）（怎么干） 现在课堂里已经存在哪些教学方式？现在课堂里已经存在哪些教学方式？ 接受式接受式 启发式启发式 探究式探究式 接受接受+ +启发式、接受启发式、接受+ +互动交流式、接受互动交流式、接受+ +启启 发式发式+ +互动交流式、互动交流式、 ，先学后教、以学，先学后教、以学 定

20、教，定教，1+11+1，不胜枚举，不胜枚举 主要是前三种，它们是实现主要是前三种，它们是实现课堂教学方式课堂教学方式 多样化和丰富性的现实基础多样化和丰富性的现实基础 接受式的特征：接受式的特征： 教师灌输书本知识，学生被动接受，教师教师灌输书本知识，学生被动接受，教师 是整个教学过程的权威；是整个教学过程的权威； 教学中强调训练和纪律，注重学生的刻苦教学中强调训练和纪律，注重学生的刻苦 和专心。和专心。 弱于学生的独立思考和发现问题、提出问弱于学生的独立思考和发现问题、提出问 题题 与接受式匹配的教材样式 学科课程 从定义出发 启发式的特征：启发式的特征： 孔子：孔子：“不愤不启，不悱不发不

21、愤不启，不悱不发” ” 鼓励学习者积极思考鼓励学习者积极思考 泛指以教师在对话中启发学生，在交谈的过程中给予学泛指以教师在对话中启发学生，在交谈的过程中给予学 生启示，引导学生积极思考的教学形式生启示，引导学生积极思考的教学形式 是以教师为主导的互动方式，与教师的讲授形成互补，是以教师为主导的互动方式，与教师的讲授形成互补， 平抑被动接受的弊端平抑被动接受的弊端 但弱于学生发现问题和提出问题但弱于学生发现问题和提出问题 提问的类型（引自数学教育学报）： 管理性提问询问或是鼓励学生发言等无关学科内容的 问题 机械性提问简单地询问“对不对”或只要求齐答； 记忆性提问提问要唤起对学科知识的识记，基本

22、不需 要思考时间； 解释性提问需要运用知识对问题做出阐述或说明，需 要一定思考时间； 推理性提问需要学生通过逻辑推理得到问题答案，一 般需要较长时间； 批判性提问需要学生变换角度反思，或是能够作深层 次思考的问题。 启发式教学着眼于后面三类提问 举例：举例： 老师在黑板上写下算式老师在黑板上写下算式 老师用书挡住：老师用书挡住： 让学生解释：让学生解释： 学生好像清楚了，发出学生好像清楚了，发出“哦哦”的声音。的声音。 接下来大家一起讨论了接下来大家一起讨论了“？= -2”= -2”的不可能性，的不可能性， 所以结论应当是：所以结论应当是： = 2 = 2 老师又用书挡住：老师又用书挡住： 问

23、问“？+6=2”+6=2”，学生都清楚是，学生都清楚是-4+6=2-4+6=2。所以答案出来了：。所以答案出来了： =-4=-4 老师再次用书挡住老师再次用书挡住x x，显然有，显然有x= x= 时等式成立时等式成立 于是问题解决了。于是问题解决了。 3 2 (6)8 x 2 6 x ? ? ?8 2 6 x 2 x 2 x 1 2 注：有提问未必是启发式，如 某节课教师提问共某节课教师提问共152152次，大概平均次，大概平均1818秒提一个问题。以下几方面值得秒提一个问题。以下几方面值得 思考：思考： 1. 1. 学生的思考时间不充分学生的思考时间不充分 平均平均1818秒一个问题的速率，

24、只能靠记忆性的条件反射，无需秒一个问题的速率，只能靠记忆性的条件反射，无需“积极积极 的思考的思考”。 2.2.提出的问题缺乏弹性提出的问题缺乏弹性 其中近其中近8%8%的问题是基于询问或是鼓励学生发言的提问；的问题是基于询问或是鼓励学生发言的提问；36%36%多的问题多的问题 是由师生共同回答、甚至基本上是老师自问自答；机械性提问所占是由师生共同回答、甚至基本上是老师自问自答；机械性提问所占 的比例近的比例近43%43%；解释性提问所占的比例只有；解释性提问所占的比例只有9%9%多一点，整个课堂基本多一点，整个课堂基本 上没有推理性和批判性的提问，即学生回答这些问题基本不需要积上没有推理性和

25、批判性的提问，即学生回答这些问题基本不需要积 极思考。极思考。 启发式仍任重道远启发式仍任重道远 与启发式匹配的教材样式 学科课程与经验课程交织 即现行教材的样式 探究式的特征：探究式的特征： 泛指以学生为主、从学生已有的生活经验和知识泛指以学生为主、从学生已有的生活经验和知识 积累出发，围绕提问题、想办法、解决问题展开积累出发，围绕提问题、想办法、解决问题展开 的、以学生主动探索为标志的学习方式。的、以学生主动探索为标志的学习方式。 类似于学生重走了一遍数学家发明创造数学的道类似于学生重走了一遍数学家发明创造数学的道 路，是一个学生路，是一个学生“再发现再发现”的过程的过程 但弱于时间把控，

26、与现行的教学安排之间有矛盾，但弱于时间把控，与现行的教学安排之间有矛盾， 大多数教师在指导方面的经验不足大多数教师在指导方面的经验不足 探究式教学的基本流程： 起点：问题（动力、明确的目标、方向） 方式：参与式（亲历、思考、探索、尝试） 环境：开放、心理氛围宽松，较少限制、思考 的空间大 教师：引导，特别是个别引导 结果：自主获得，展示、分享、反思 需要注意的几个要点需要注意的几个要点 安排学生未学过的内容（不会的内容）安排学生未学过的内容（不会的内容） 不主张预习（不主张预习（“先学后教先学后教”不是探究式教学）不是探究式教学） 尽量不从书本上的情景或例子开始尽量不从书本上的情景或例子开始

27、学生一定要通过独立思考、自主探索，在有了想法的基础学生一定要通过独立思考、自主探索，在有了想法的基础 上讨论、分享，形成共识上讨论、分享，形成共识 教师的作用主要在于个别指导教师的作用主要在于个别指导 要公开展示解决问题的过程、师生共同分析评价要公开展示解决问题的过程、师生共同分析评价 结合自学教材相关内容回顾整理结合自学教材相关内容回顾整理 探究式的教学实现举例：探究式的教学实现举例： 分析分析 如果给学生留出较充分的探究空间，而且教如果给学生留出较充分的探究空间，而且教 师能多一些引导，那么什么内容都会成为一师能多一些引导，那么什么内容都会成为一 块孕育发现和创造的富饶土壤。块孕育发现和创

28、造的富饶土壤。 探究式教学的实施与探究式教学的实施与标准标准的新变化密切的新变化密切 相关相关 探究式不是一种复杂的教学方式，是可能实现常态化的探究式不是一种复杂的教学方式，是可能实现常态化的 重要的是，探究式教学要给每位教师增加一份责任，如重要的是，探究式教学要给每位教师增加一份责任，如 果把这份责任转化成实实在在的教学行为，其实每一节果把这份责任转化成实实在在的教学行为，其实每一节 课都可以赋予探究的风格。课都可以赋予探究的风格。 变革教学管理体制，使教学具有适度的弹性也很重要变革教学管理体制，使教学具有适度的弹性也很重要 实施探究式教学也需要实施探究式教学也需要“刚性刚性” 分析 较为合理的教学安排应当是：较为合理的教学安排应当是： 探究（学生主探究（学生主导导）：）：20%45%45% 讲讲授（教授（教师师主宰）：主宰）：45%20%20% 启启发发（教（教师师主主导导）：）：35% 但目前探究式教学明显偏弱但目前探究式教学明显偏弱 较为合理的教学安排较为合理的教学安排（刚性？） 探究（学生主探究（学生主导导