微积分基本定理98483PPT学习教案

1、会计学1 微积分基本定理微积分基本定理98483 一、变限积分及其导数 ，上上可可积积在在区区间间设设函函数数,)(baxbaxf 考察定积分考察定积分 x a dttf)( ，则对于每一个取定的则对于每一个取定的上任意变动上任意变动在在如果上限如果上限xbax, ，定积分都有一个对应值定积分都有一个对应值 函数，函数， 上定义了一个上定义了一个所以它在所以它在, ba 记记为为.)( x a dttf )(x )(积积分分上上限限函函数数变变上上限限积积分分 1. x a dttfxg)()( . , )( 2. 中中所所含含未未知知量量混混淆淆 以以免免积积分分变变量量与与积积分分限限建建

2、议议不不要要写写 x a dxxf dttx x 1 )ln(:例例不是标准积分上限函数不是标准积分上限函数 b x dttf)(. 3类似可定义变下限积分类似可定义变下限积分 x a dttfxg)()( 第1页/共14页 变上限积分的性质变上限积分的性质 6.2定理定理)(原函数存在性定理原函数存在性定理 ,)(上连续上连续在区间在区间若函数若函数baxf 可导，可导，上连续上连续在在 则变上限积分则变上限积分 , )( ba x 且它的导数是且它的导数是 )()(dttfx x a )(xf )(bxa 上的一个原函数上的一个原函数在在是是,)()(baxfx )sin)(1 2 x u

3、duxsin x a dttd 3 )3 3 x x dtt dx d 2 )cos(sin)2)cos(sin x dx )(,)()4 b x dttfxf则则连续连续若若)(xf ., )(,)(6.1 上的连续函数上的连续函数 是是变上限积分变上限积分则则上可积上可积在在设设定理定理 ba xbaxf 如条件变弱如条件变弱 第2页/共14页 a bx y o 证明证明 xx x )(x , baxxx 设设 ),()( xfx 要证要证 ).(lim 0 xf x x 即证即证 x xxx x )()( lim 0 )()(xxx dttf xx a )( dttf x a )( dt

4、tf x a )( ,)( xx x dttf dttf xx x )(dttf x a )( 由积分中值定理可得由积分中值定理可得上连续上连续在在由于由于,)(baxf ，xf )( ,xxx xx , 0又又),( f x )(limlim 00 f x xx )( x)(lim f x ).( ,)( xf baxf上连续上连续在在 )(x其中其中.)( x a dttf 第3页/共14页 :)(1x f 、求求下下列列函函数数的的导导数数例例 dt t t xf dttxf x e x 1 8 3 ln )()2( 1)()1( dttxf x 8 3 1)()1( 因为因为 )1()

5、( 8 3 dttxf x 所以所以 的复合函数，的复合函数，与与视为视为将将 x u eudt t t ugxf 1 ln )()()2( ，有，有则由复合函数求导法则则由复合函数求导法则 )()()(xuugxf x e u uln xeu x lnln dtt x 8 3 1 3 1x x x x e e eln 解: 第4页/共14页 补充补充 )()(xbxbf )( )( )()( xb xa dttfxF 的导数。的导数。、求、求例例dttxf x x 4 2cos )(2 )(x f )cos(2)cos(4 243 xxxx )( )( xb a dttf特别地，特别地， )

6、()(xaxaf )()cos( 22 xx)()cos( 44 xx ;)(;)()( cos5 2 2 2 x x t x u dtexFduuexF求导数：求导数： )()(xbxbf b xa dttf )( )( )()(xaxaf 解: x dttftxxF 0 )()()( x dttfkey 0 )(: 第5页/共14页 2 0 2 0 2 0 1 cos 2 0 1 )(arctan lim)3( )R( .)( 1 lim)2( . 1 lim(1) 3 2 x dtt fdttxtf x dte x x x x x x t x 上连续上连续在在 例例 e key 2 1

7、: 练习：练习： 2 1 0 2 2 5 0 )cos1( 1 lim x x dtt x 10 1 :key 2 )0( : f key ).2(),1()(, 0,)( 22 0 2 fxxdttfxxf x 求求并且并且连续连续设设例例 4 . 5)2(,21)(: fxxfkey 4 : 2 key 第6页/共14页 例例5 5 试证试证为任意常数，为任意常数，的连续函数，的连续函数，是周期为是周期为若若aTxf)( dxxfdxxf TTa a 0 )()(则有则有 则有则有设设,)()(dxxfaF Ta a aafTaTafaF )()()( )()(为任意常数为任意常数常数常数

8、aCaF 即即任意的任意的故故)(),0()(aFaF dxxfdxxf TTa a 0 )()( 当被积函数为 周期函数时， 可直接引用此 公式。 0 解: 课后练习课后练习 1.1.求求 的极值。的极值。dttexf x t 0 2 )( P158 例例2 )()(afTaf 第7页/共14页 ?)0( 00 0 ,)( )( , 0)0()(1 2 0 x x x dtttf x fxf x 则则 设设，且，且是具有连续导数的函数是具有连续导数的函数、若、若思考：思考： 2 2、试确定试确定非零非零常数常数 a,b 使得使得 xtx dtduufdttxtf xf 000 )()( )(

9、3为连续函数，证明：为连续函数，证明：、设、设 2 3sin 1 lim 0 2 0 x x du ub u xax 第8页/共14页 ,)(上连续上连续在在设设baxf ,也是一个原函数也是一个原函数若若)(xF 则有则有 的一原函数，的一原函数，是是则则)()()(xfdttfx x a .)()(CbFdxxf b a 故故 .)()(CxFdttf x a 时，时，当当ax ,)(CaF )()()(aFbFdxxf b a 所以所以)(xF b a | 莱布尼茨公式莱布尼茨公式牛顿牛顿 称为微积分学基本公式称为微积分学基本公式牛顿莱布尼茨公式也牛顿莱布尼茨公式也)1( .原原函函数数

10、问问题题求求定定积积分分问问题题转转化化为为求求 不定积分问题 ).()()(aFbFdxxf b a 仍仍有有时，时，当当ba )2( （f(x)在在a,b上不连续或者原函数不能用初等函数表示时，此公式失效）上不连续或者原函数不能用初等函数表示时，此公式失效） 第9页/共14页 . )1( 1 )3(;)2(; 1 )1( 3 1 22 0 42 dx xx dxxedx x a x e 求求例例 6 . 14ln)1(: key. 12 1 3 3 )3( ).1( 2 1 )2( a e . 1 1 1 dx x 界，故必定不可积界，故必定不可积上不仅不连续，而且无上不仅不连续，而且无在

11、在1 , 1 1 x 算算分的区间可加性进行计分的区间可加性进行计可积的，此时可运用积可积的，此时可运用积 点时是点时是有界，且有有限个间断有界，且有有限个间断而当被积函数不连续但而当被积函数不连续但 第10页/共14页 例例7 7 设设 , 求求 . 215 102 )( x xx xf 2 0 )(dxxf 1 0 2 1 2 0 )()()(dxxfdxxfdxxf 1 0 2 15 2dxxdx原式原式. 6 x y o12 解: .sin 2 1 2 0 dxx 8例例 . 12 13: key ( (带有绝对值的函数一般可化为分段函数处理带有绝对值的函数一般可化为分段函数处理.).

12、) 当被积函数为分段函数时当被积函数为分段函数时, ,定积分应该分段去积定积分应该分段去积. . 第11页/共14页 例：例： 求求 .,max 2 2 2 dxxx 由图形可知由图形可知 ,max)( 2 xxxf , 21 10 02 2 2 xx xx xx 2 1 2 1 0 0 2 2 dxxxdxdxx原式原式 . 2 11 x y o 2 xy xy 12 2 解: P160 例例4 xdxxcos2sin1 2 0 练习：练习： 第12页/共14页 1 1 求求 的极值。的极值。dttexf x t 0 2 )( ,)( 2 x xexf , 0, 0)( xxf得唯一驻点得唯一驻点令令 。处处取取得得极极小小值值在在故故0)0(0)(fxxf ( (求定积分极值的问题求定积分极值的问题) ) , 01)0( f 且且 2 )21()( 2x exxf 解: , 1)(2)( 0 dt