绝对值三角不等式汇编

1、 1.绝对值的几何意义：绝对值的几何意义： 如：如：|-3|-3|或或|3|3|表示数表示数-3-3，3 3所对应的所对应的 点点A A或点或点B B到坐标原点的距离到坐标原点的距离. . 探究新知探究新知 3x 即实数即实数x x对应的点到坐标原点的距离对应的点到坐标原点的距离 小于小于3.3. 探究新知探究新知 绝对值的几何意义：绝对值的几何意义： 同理，与原点距离大于同理，与原点距离大于3 3的点对应的的点对应的 实数可表示为：实数可表示为： 3x 探究新知探究新知 设设a,ba,b是任意两个实数，那么是任意两个实数，那么|a-b| |a-b| 的几何意义是什么？的几何意义是什么？ x

2、|a-b| ab A B 探究新知探究新知 如果用恰当的方法在数轴上把如果用恰当的方法在数轴上把|a| |a| ， |b| |b| ，|a+b|a+b|表示出来表示出来? ? 定理定理1 1 如果如果a,ba,b是实数，则是实数，则|a+b| |a+b| |a| +|b| |a| +|b| ，当且仅当，当且仅当 ab0ab0时，等号成立时，等号成立. . 探究新知探究新知 如果把定理如果把定理1 1中的实数中的实数a,ba,b分别换分别换 为向量为向量 ，能得出，能得出 ,a b abab (1) 当当 不共线时有不共线时有 ,a b (2) 当当 共线且同向时有共线且同向时有 abab ,a

3、 b 探究新知探究新知 a b ab a b ab 探究新知探究新知 |a|-|b| |a|a|-|b| |ab|a|+|b|b|a|+|b| 这个不等式俗称这个不等式俗称“三角不等式三角不等式” 三角形中两边之和大于第三边，两边三角形中两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边之差小于第三边 绝对值三绝对值三 角不等式角不等式 求证：求证：|a|-|b| |a|a|-|b| |ab|a|+|b|b|a|+|b| 定理的证明定理的证明 探究新知探究新知 定理定理2 2：如果：如果a,b,ca,b,c是实数，那么是实数，那么 acabbc )()0ab bc当且仅当（时，等号成立 探究新知探究新知

4、 , 5 yb 例1 已知0,x-a 求 2x+3y-2a-3b 典例讲评典例讲评 例例2 2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个施工队分别被安排在公路沿线的 两个地点施工两个地点施工, ,这两个地点分别位于公路路这两个地点分别位于公路路 碑的第碑的第1010公里和第公里和第2020公里处公里处. .现要在公路沿现要在公路沿 线建两个施工队的共同临时生活区线建两个施工队的共同临时生活区, ,每个施每个施 工队每天在生活区和施工地点之间往返一工队每天在生活区和施工地点之间往返一 次次, ,要使两个施工队每天往返的路程之和最要使两个施工队每天往返的路程之和最 小小, ,生活区应该建于何处生活区应

5、该建于何处? ? 1010 x 2020 典例讲评典例讲评 解：如果生活区建于公路路碑的第解：如果生活区建于公路路碑的第 x x kmkm 处，两施工队每天往返的路程之和为处，两施工队每天往返的路程之和为 S(S(x x)km)km 那么那么 S(S(x x)=2(|)=2(|x x-10|+|-10|+|x x-20|)-20|) -230(10) ( )10(1020) 230(20) xx S xx xx 典例讲评典例讲评 10,S x所所以以（ ）的的最最小小值值是是 答答: : 生活区建于两路生活区建于两路 碑间的任意位置都满碑间的任意位置都满 足条件足条件. . 典例讲评典例讲评

6、2020 4040 6060 101020203030 0 0 x y 求证. 例3 已知，My a by M ax, 0, 2 0 , 2 abxy 证明： byaaxyabyayaxyabxy . 22 a a M Mbyaaxy 典例讲评典例讲评 .| 1,| 1,1 1 ab ab ab 例4已知求证 2 2 () 11 1(1) abab abab 证明： 2222 212aabbaba b 2222 10aba b 22 (1)(1)0ab | 1,|1,ab由可知 22 (1)(1)0ab成立， 1 1 ab ab 所以 典例讲评典例讲评 例5 求证. b b a a ba ba

7、 111 证明：在时，显然成立.0ba 当时，左边 0ba 1 1 1 ba 1 1 11 1 ab abab ab . 11b b a a 典例讲评典例讲评 思考感悟思考感悟 如何理解如何理解|a|b|ab|a|b|的几何意义？的几何意义？ 提示：提示：三角形任意两边之差小于第三边，三三角形任意两边之差小于第三边，三 角形任意两边之和大于第三边角形任意两边之和大于第三边 课堂互动讲练课堂互动讲练 (1)设设xy|xy| B|xy|x|y| C|xy|xy| D|xy|x|y| 考点一含绝对值不等式的理解含绝对值不等式的理解 考点突破考点突破 例例1 【思路点拨】【思路点拨】(1)由于由于xy

8、0，x，y异号，利异号，利 用用|a|b|ab|a|b|判定判定 (2)题易判定题易判定m，n与与1的大小关系的大小关系 【解析】【解析】(1)法一：特殊值法：取法一：特殊值法：取x1，y 2，则满足，则满足xy20， 这样有这样有|xy|12|1， |xy|1(2)|3， |x|y|3，|x|y|1， 选项选项C成立，成立，A，B，D不成立不成立 法二：由法二：由xy0得得x，y异号，异号， 易知易知|xy|x|y|， 选项选项C成立，成立，A、B、D不成立不成立 【答案】【答案】(1)C(2)mn 【名师点评】【名师点评】绝对值不等式性质的重要作绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的

9、思路主要有两种：分子用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立号是否还能成立 变式训练变式训练10a2 B|log(1 a)(1 a)|log(1 a)(1 a)| C|log(1 a)(1 a)log(1 a)(1 a)|log(1 a)(1 a)|log(1 a)(1 a)| 【思路点拨】【思路点拨】根据所证结论，对根据所证结论，对“xyab” 进行凑配，凑出已知的进行凑配，凑出已知的“xa，yb”来来 考点二含绝对值不

10、等式的证明含绝对值不等式的证明 例例2 【名师点评】【名师点评】含绝对值不等式的证明题主要含绝对值不等式的证明题主要 分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通 过平方法，换元法去掉绝对值号转化为常见的过平方法，换元法去掉绝对值号转化为常见的 不等式证明题，或利用不等式的性质不等式证明题，或利用不等式的性质|a| |b|ab|a|b|证明不等式，常要对绝对证明不等式，常要对绝对 值内的式子进行分析组合、添项减项，使待证值内的式子进行分析组合、添项减项，使待证 式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运 算完成证明；另一

11、类是综合性较强的函数型含算完成证明；另一类是综合性较强的函数型含 绝对值不等式，这时，往往可考虑利用一般情绝对值不等式，这时，往往可考虑利用一般情 况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一 元二次方程根的分布方法来证明元二次方程根的分布方法来证明 已知已知a，b，c是实数，函数是实数，函数f(x)ax2 bxc，g(x)axb，当，当1x1时，时， |f(x)|1. (1)证明：证明：|c|1； (2)证明：当证明：当1x1时，时，|g(x)|2. 【思路点拨】【思路点拨】对于对于(1)用一般到特殊的思用一般到特殊的思 想，即想，即cf(0) 对于对于(

12、2)分分a0，a0，a0时，时，g(x)axb在在1,1上是增函数，上是增函数， g(1)g(x)g(1) |f(x)|1(1x1)，|c|1， g(1)abf(1)c|f(1)|c|2， g(1)abf(1)c (|f(1)|c|)2， 由此得由此得|g(x)|2； 当当a0时，时，g(x)axb在在1,1上是减函数，上是减函数， g(1)g(x)g(1) |f(x)|1(1x1)，|c|1， g(1)abf(1)c|f(1)|c|2， g(1)abf(1)c(|f(1)|c|)2， 由此得由此得|g(x)|2； 当当a0时，时，g(x)b，f(x)bxc. 1x1， |g(x)|f(1)c

13、|f(1)|c|2. 综上，得综上，得|g(x)|2. 【名师点评】【名师点评】本题利用函数的单调性，结本题利用函数的单调性，结 合最值或值域，求绝对值的取值合最值或值域，求绝对值的取值 变式训练变式训练3设设f(x)x2x13，实数，实数a满足满足 |xa|1. 求证：求证：|f(x)f(a)|2(|a|1) 证明：证明：|f(x)f(a)|(xa)(xa1)| |xa|xa1|xa1| |(xa)2a1| |xa|2a|112|a|1 2(|a|1) |f(x)f(a)|2(|a|1) 例例 误区警示误区警示 【错因】【错因】本题错误在于不能保证本题错误在于不能保证1|a b|1|a|,1

14、|ab|1|b|成立成立 对对|a|b|ab|a|b|的诠释的诠释 方法感悟方法感悟 定理的定理的 构成部构成部 分分 特征特征 大小关系大小关系等号成立的条件等号成立的条件 左端左端|a| |b| 可能可能 是负是负 的的 中间部中间部 分分 中间部分为中间部分为|ab|时，时， ab0，且，且|a|b|时，左时，左 边的等号成立；中间部分边的等号成立；中间部分 为为|ab|时，时，ab0，且，且 |a|b|时，左边等号成立时，左边等号成立 定理的定理的 构成部构成部 分分 特征特征 大小关大小关 系系 等号成立的条件等号成立的条件 中间部中间部 分分|ab| 肯定肯定 是非是非 负的负的 左端左端 右端右端 用用“”连结时，连结时，ab0， 右端取等号，右端取等号，ab0，且，且 |a|b|时，左端取等号；用时，左端取等号；用 “”连结