线性代数第三章3-习题课精编版

1、 );(),( ccrr jiji 记记作作列列对对调调矩矩阵阵的的两两行行 );( ,)(0 k c k r k ii 记记作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以数数 ).(, )()( c k cr k r k jiji 记记作作对对应应的的元元素素上上去去 列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行 初初 等等 变变 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是 同一类型的初等变换同一类型的初等变换 )( ccrr jiji )( ccrr jiji )(k c k

2、r ii ) 1 ( 1 k c k r ii )( c k cr k r jiji )()( c k cr k r jiji ., , BABA BA 记记作作等等价价与与称称矩矩阵阵 就就矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵 反身性反身性 传递性传递性 对称性对称性 ; AA ;,ABBA则则若若 .,CACBBA则则若若 矩矩 阵阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵 初初 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称 为初等矩阵为初等矩阵 E ).( : ,)(),( rr j iAA aAjiEm

3、ji ij nm m 行行对对调调行行与与第第 的的第第把把施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换当当于于对对矩矩阵阵 相相左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用 （）换法变换：对调两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等 矩阵矩阵 ).( : ,),(, cc ji AA Aji E n ji n 列列对对调调列列与与第第第第 的的把把施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵 右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵用用类类似似地地 ),(jiE （）倍法变换：以数（非零）乘某行（）倍法变换：以数（非零）乘某行（ 列），得初等矩阵列），得初等矩阵 );( ,)(

4、 k r i AkAki E i m 行行第第 的的乘乘相相当当于于以以数数左左乘乘矩矩阵阵以以 ).( ,)( k c i AkAki E i n 列列第第 的的乘乘相相当当于于以以数数右右乘乘矩矩阵阵以以 k )( kiE （）消法变换：以数乘某行（列）加到另（）消法变换：以数乘某行（列）加到另 一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵 );( ,)( r k r ik jAAkij E ji m 行行上上加加到到第第以以 行行乘乘的的第第相相当当于于把把左左乘乘矩矩阵阵以以 ).( ,)( c k c jk iAAkij E ij n 列列上上加加到到第第以以 列列乘乘的的第

5、第相相当当于于把把右右乘乘矩矩阵阵以以 k )(kijE 经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩 阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全 为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的 行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第 一个非零元一个非零元 例如例如 00000 31000 01110 41211 行行 阶阶 经过初等行变换，行阶梯形矩

6、阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一 步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一 个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都 为为0 0 例如例如 00000 31000 30110 40101 行行 最最 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到 矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩 阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0 例如例如 00000 31000 30110 40101 ccc cc cccc 2

7、14 43 3215 334 00000 00100 00010 00001 矩矩 阵阵 . , ), (, 数数梯形矩阵中非零行的行梯形矩阵中非零行的行 就是行阶就是行阶其中其中三个数完全确定三个数完全确定此标准形由此标准形由 化为标准形化为标准形换和列变换换和列变换 行变行变总可以经过初等变换总可以经过初等变换矩阵矩阵任何一个任何一个 rrnm OO O Er F nm nm 所有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称为一 个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的 矩阵矩阵 F 定义定义 . , , , 2 阶

8、阶子子式式 的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的 中中所所处处不不改改变变它它们们在在个个元元素素行行列列交交叉叉处处的的 位位于于这这些些列列行行和和任任取取中中矩矩阵阵在在 k Ak A k kkAnm 矩矩 定义定义 . 0).(, , , 0)(1 ,0 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于记记作作的的秩秩 称称为为矩矩阵阵数数的的最最高高阶阶非非零零子子式式称称为为矩矩阵阵 那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式且且所所有有 阶阶子子式式的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵 AR ArAD r DrA ;)(,1r

9、ARrA 则则阶子式都为零阶子式都为零中所有中所有如果如果 );()(AR A R T 定理定理);()(,BRARBA 则则若若 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数 矩矩 阵阵 秩秩 的的 ;)(,rARrA 则则阶阶子子式式中中有有一一个个非非零零的的如如果果 . )4( ; )3( ;)( )2( ; )1( EA EA nAR AA 的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为 则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,nA 定理定理 定理定理 .)( 0 nAR x A n nm 阵阵的的秩秩充充分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩

10、 有有非非零零解解的的元元齐齐次次线线性性方方程程组组 .),( 的的秩秩 的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵 有有解解的的充充元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组 bA BA bx A n nm 线线 性性 方方 程程 组组 齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形 矩阵，写出通解矩阵，写出通解 非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯 形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有 解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步

11、化成行最简形矩阵，写出 通解通解 1 0 线线 性性 方方 定理定理 . , ;, , 阶阶初初等等矩矩阵阵相相应应的的 的的右右边边乘乘以以相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换对对 阶阶初初等等矩矩阵阵左左边边乘乘以以相相应应的的相相当当于于在在变变换换 施施行行一一次次初初等等行行对对矩矩阵阵是是一一个个设设 n AA mA AnmA 1 1 初初 等等 矩矩 阵阵 与与 定理定理 ., , 212 1 PPP A PP P A ll 使使 则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵为为可可逆逆矩矩阵阵设设 推论推论 ., : BPAQQnP mBAnm 使使得得阶阶可可逆逆

12、矩矩阵阵及及阶阶可可逆逆矩矩阵阵 存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵 一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩 二、求解线性方程组二、求解线性方程组 三、求逆矩阵的初等变换法三、求逆矩阵的初等变换法 四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法 典典 型型 求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法 （）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩 一、一、 求求 矩矩 （）用初等变换即用矩阵的初

13、等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩 第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计 算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用 例例求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩 . 34147191 1663111

14、104260 10021 A 解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵A 34147191 1663111 104260 10021 A 35147210 156390 104260 10021 , 00000 00000 52130 10021 B . 2)()(, BRAR因因此此 注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形阶梯形 当方程的个数与未知数的个数不相同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一 般用初等行变换求方程的解般用初等行

15、变换求方程的解 当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线 性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换 法和克莱姆法则法和克莱姆法则 二、二、 求求 解解 线线 例例求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解 )1( . 2255 , 1222 , 132 , 123 , 132 321 4321 4321 4321 4321 xxx xxxx xxxx xxxx xxxx 解解对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等行变换，使 其成为行最简单形其成为行最简单形 B 20255 11222

16、 11132 11123 11321 B 00000 20354 11132 20255 20453 31 32 34 25 rr rr rr rr 00000 00101 11132 20255 00202 21 24 rr rr 00000 00000 11132 02011 00101 2 2 1 32 14 r rr rr 00000 00000 15600 02110 00101 12 213 32 rr rrr 00000 00000 6165100 6167010 6165001 6 )1( 6 )1( 6 3 1 3 2 3 r r r r r . , 1 65 67 65 0

17、 61 61 61 )1(, 4 3 2 1 4 取取任任意意常常数数 的的通通解解是是可可得得方方程程组组令令自自由由未未知知量量 k k x x x x x k x 由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知 量的个数是，故有一个自由未知量量的个数是，故有一个自由未知量. 3)()( BRAR 4 n . 0323 , 0 , 022 , 0 4321 4321 4321 4321 x a xxx xx a xx xxxx xxxx 例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解 a 解法一解法一系数矩阵

18、的行列式为系数矩阵的行列式为A a a A 323 111 2121 1111 3050 2120 1010 1111 a a 2000 0100 1010 1111 a a )2)(1( aa ., 0,21方方程程组组有有非非零零解解时时或或者者当当 Aaa :,1化化成成最最简简形形把把系系数数矩矩阵阵时时当当Aa 1000 0000 0010 0101 1323 1111 2121 1111 ., 0 1 0 1 4 3 2 1 为任意常数为任意常数kk x x x x x 从而得到方从而得到方 程组的通解程组的通解 0000 0300 1010 1111 2323 1211 2121

19、 1111 ,2 化为化为之变换可把之变换可把由计算由计算时时当当AAa 0000 0100 1010 0001 . , 1 0 1 0 4 3 2 1 为为任任意意常常数数 为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解 k k x x x x x a a A 323 111 2121 1111 3050 2120 1010 1111 a a 解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形A ., , 4)(,21 解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解 此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 ARaa 2000 0100 1010 1111

20、a a . ,)( , 1 A EEAEA A 变变成成了了 就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换 只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆矩矩阵阵 ., , 1 A EE A E A 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成 当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵 三、三、 求求 逆逆 矩矩 阵阵 例例求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵 111 211 120 A 解解 .),(施行初等行变换施行初等行变换作分块矩阵作分块矩阵EA 100111 010211 001120 100111 001120 010211 2

21、1rr 110100 001120 010211 13rr 110100 111020 010211 32rr 110100 111020 210011 31 )2( rr 110100 212121010 210011 2 1 2r 110100 212121010 252321001 21 )1( rr . 110 212121 252321 1 A 注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其

22、间不能作任何行变换间不能作任何行变换 BAX )1( 四、四、 解解 矩矩 阵阵 方方 程程 )(BA )( 1 B A E 初初等等行行变变换换 B A X 1 B A BXA )2( A B E 1 初初等等列列变变换换 BA X 1 )( BA TT ) )( ( 1 BA E TT 初初等等行行变变换换 A BX 1 BAX TTT )( 1 或者或者 例例 .,2, 410 011 103 XXAAXA求求矩矩阵阵且且设设 解解,2XAAX , 210 011 101 2 EA又又 ,)2(AXEA 100210 010011 001101 2AEA由由于于 , 322100 234

23、010 225001 初等行变换初等行变换 . 322 234 225 X 一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2424分分) ) 1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 ，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方 程组有无穷多解程组有无穷多解 2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 03 02 0 32 321 321 xkx xxx xkxx 只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条件是 n r k 的的通通解解为为则则设设0, 111 111 111 . 3 AXA 4 4线性方程组线性方程组 515 454 343 232 121 axx axx axx axx axx 有解的充要条件是有解的充要条件是 的秩是的秩是矩阵矩阵 0011 1022 1011 1000 . 6A 二、计算题二、计算题 .,. 1确确定定矩矩阵阵的的秩秩值值的的范范围围讨讨论论 ( (第第1 1题每小题题每小题8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每 小题小题9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分) ) 06865 035322 02463 1 54321 54321 54321 xxxxx xxxx