全参数方程化普通方程

1、参数方程化普通方程重点难点掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明 确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。例题分析fx - sin1 .把参数方程化为普通方程(1)(为参数)解:I y=2+1-2sin 2 0,把 sin 0=x 代入，二 y=3-2x 2又/ |sin 0|W1, |cos2 0|1, a |x| 1, 1 y3 /所求方程为 y=-2x 2+3(-1 x1, 1 y 3)x - sin+ cos 召、，(0R,0为参数)解:T x2=(sin 0+cos 0)2=1+2sin0cos 0, 把 y=sin 0

2、cos 0 代入，a x2=1+2y。K1又T x=sin 0+cos 0=- sin( 0+) y=sin 0cos 0= - sin2 0丄2a |x| , |y| 二。 a 所求方程为 x2=1+2y (|x|, |y| 0, t2+1 1, 0 X 十 1 W1, .-1 1 十F -1 1, -1X 0, -1x 0, -1x 1,由 y= L -, t=0 时，y=0 ；2t |2|lt 丸时，|y|= 1 匚 :1=1 ,从而 |y| 1。Fl-R+八尬。十 : |法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，x2+y2=(1)2+(-)2 = - =1 。1-i法二:关键能不能用

3、x, y表示t，且形式简单t= -1 再代入x=丄尸1十J1十吕尸1十兀，化简得2i由 x= 1得 t2= 1 亠，代入 y= -=t(1+x)X2+y 2 = 1 o法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象可令 t=tg 0,0G(- ),.x=cos2 0, y= - p=sin2 0,x2+y 2=1，又 2 B(-“，吓)，. -1x=cos201, -1 y=sin2 00)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB , CD, M 为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p) k2x2

4、-4px-4p 2=0,若 A , B 坐标为(xi, yi), (X2, y2)A0航亠S =空 Fl +九=空 XM=-0衍+百=4戸斥彳+A = _(也 + 兀)* S上 N(2pk 2, -2pk)则G点坐标(x,y)为、1 y2=p 2( ：+k 2-2)=p 2(尸-2)=p(x-2p) x=p(k 2+勺)p 2=2p，而y R在方程中都已体现,轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之.厂販61 90,戈冗，是匚个圆，但消参之后得x2+y2=1(|x| 1,

5、|y| 1)却无法说明这一点。在线测试选择题1.曲线的参数方程为(0为参数)，则方程所表示的曲线为(A、射线B、线段C、双曲线的一支D、抛物线x =七in P2严 0、y - cos2 .参数方程,4 2 （B为参数，且0 9|a|，即x|a|或xw-|a| .消去t，得普通方程为y=0 , x （-, -|a| U |a| , + ）.此时曲线为x轴上的两条射线，端点分别为（|a|，0）指向正半轴;（-|a|，0）指向负半轴.（3）a = 0, b = 0时，原为z - 0, y-0.曲线为一点（0*。丿，即原点.【点评】消去参数过程中不注意方程中x, y的取值范围，对任意常数a , b的可

6、能情况不分别讨论是导致失误的主要原因.题6己知曲线（B为参数）与1卫：x - 2t -1,y-%7（t为参数）问ii与i2是否表示同一曲线？为什么?【疑难或错解】li ：5?= 1+6 =2e6? 6 ,.y=5-4sina 9 =1 +W B ,消去纳6 侣x = 2t - 1,y = 4t - 1中消击参数t,也得2z-y + l = O.11和12表示同一直线，焉能不失误.未对x, y的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言【剖析】在曲线li的参数方程中，x=1+cos2 0=2cos 2 00 , 2,消去参数B所得的普通方程2x-y+1=0中x 0 , 2，所以曲线li为以（

7、0,1 ）与（2, 5）为端点的线段.只7Ef32i-y4 1 = 0上的但曲线1屮加今+ 1 =0表示一条宜线，g U 所以仆不是同一条曲线.【点评】 在曲线li消去参数时，未分析 x的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因.题孑直线(t为参数)的倾斜角是. y = -t cos 20A . 20 B. 70 C . 110 D . 160K-tan20s为定直绻数方程的标；翅,而误选(A)或将廉方程化为；=tsin 160:=tcosl60十玉当作直线方程的标准型而误选(D)y - -t cos 20还有将原方程化为t = tcos(70s )十3, fx = tcos290*

8、 +玉*职b =厂聞刘.而无法作出判断.【剖析】上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致在直线参数方程的标准型:K = x0+tcosas & 为参数1厂打沖5般中，0为直线的倾斜角，ar o, u).当0f 于时，cosa0f 血口二。，且cos3 a 4 an3 a = 1?如-沁= *4 M果宜螂数方圍 中，当匸叫b0,且小才是标鯉豪収九十bt当OLw寻时，山b = l才是标推型 当応 ”时，cosQ0,故当a v 0 , b 0，且a2+b 2=1时，才是标准型.可见=tan20fi 十玉=-tecs20 ,x = t srn 160 十 3r y = t cosl60c f

9、= tcos(_70* )+3, ii = tcos290* +3, y = tsn(-70o )ry = tail2?0 .J等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。欲将其化为标准型，应将x=tsin20 +3 化为 x=3+(-t)sin(-20)=3+(-t)cos(9020 即 x=3+(-t)cos110,y=(-t)sin(90 +20 )=(-t)sin 110 .g =七则有W为参数)y = t sin 110?这才是此直线参数方程的标准型，此直线倾斜角为110。，应选C.w评1从垂彌方程F行甫魁）求帧斜角，y =-t cos 20L, cos20”可先?

10、P斜率k = =ctg2 =tg（20 +90* ）=tgllOs肓接决解；SIH U倾斜率为110。，无须化为标准型另外结合直线的图像，过点（3, 0 ）、（ 3+si n20 ,-cos20 ）。所以直线的倾斜角为钝角，排除 A、B，又由cos20 为n20 ，可知倾斜角v 160 ，排除D ,而选C 诚如华罗庚所说：“不可得义忘形”，形义结合，常可快速获解。题8过点P（叫，0），作倾斜角为13亍的肓线1交椭圆基+葺三1TA.必 yB两点，试求|PA|+|PB|之值.二;（力细）y = t sin 135即碇0为参数）.【疑难或错解】直线I的参数方程为+ 25-225.代入椭圆方程，得L；

11、l L 一二一，方程的两个根分别为t1=PA , t2=PB .9屈q_ 厲-225171 317Tt1=PA 0 , t2=PB v 0 .|PA|+|PB|=|t 1 |+|t 2|=t 1-t 2【剖析】错解对P（X0, 0）的不同位置未加分析，贸然画图，把点P画在椭圆内部，只就|X0| v 5的情况作解答，忽视了点P在椭圆上或外的情况，可见错解是不完整的.【正确】当点P（xo，0）在椭圆内部时，|xo|V 5，此时，|PA|FPB|=|百-切=存箱（34 -卅）是正碉的.当点P（ Q）椭圆1 /上时，|xo|=5 ,方程为：；|PA|+|PB|=45217当点P（X0，0）在椭圆外时，

12、皿 5，t1t2 0，即 tl、t2 同号E 【点评】当问题中出现任意常数（如这里的X0 ）时，应考虑各种可能，逐个进行分析讨论，否则可能犯以偏概全或漏解的错误.直线及圆的参数方程t的理解，非标准参数教学重点和难点：直线参数方程及圆的参数方程的基本形式，对直线标准参数方程中参数 方程如何化为标准方程并求岀倾角，并应用直线参数方程解决有关问题。例题分析：例1 下列各式中，哪一个是直线的三角式方程，试述理由，若是点角式参数方程时，写岀始点和倾角， 若不是,化为点角式参数方程。p3+丸（2）（t为参数）；（t为参数）2解：（1 ）始点（-2 , 3 ），倾角为n是点角式参数方程。尺亦0十口上,加为点

13、角式参数方程的必要条件，即a2+b 2=1但是形如（t为参数）的可化为参数方程的标准式即atbl（t为参数）(3)（t为参数）不是点角式参数方程，令t=-t，得直线始点为（-2，2），倾角为例2 写岀过点A（ 1 ,-2 ），倾角为45 的直线li的点角式参数方程，若li与b：x+2y-4=0相交于Bo（1 ）求|AB| ;（2 ）求点B的坐标。解:设li的参数方程为k = 1 + f cqs45（t为参数）把（I）代入12方程,t+2(-2+t)-4=0-42解岀 t=(II )， |AB|=|t-0|=-,x 72 772 1D2 33y把（ii）代入（I）得：1-2十盘哑-丄12丁bJ小

14、结:从此例可看岀应用三角式参数方程求距离很简捷。例3 .求椭圆-=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹解：(1 )用普通方程解决，设弦中点P(xo, yo),弦的两端点 A(xi, yi), B(X2, y2)由已知得：a-2d2 + + 彳3ET-111飞-2(5)Cq +冷)(心一加)丄41 +空)01 一，卫)(1)-(2) : - - =0，2心访-2T_ -幼3 -旳322比将(5)代入，二2= 一 T , Axo+3y 0=0,轨迹为含在椭圆内的一条线段法( 2)参数方程解题设弦中点P(xo,yo),弦的倾角为 a,兀阳 cos aI y = y.-, +-sin Q平行弦的直线参数方程

15、为：(t为参数)(1)将(1)代入 2x2+3y 2-6=0 中，整理后得：(2cos 2 a+3sin 2 a)t2+2(2x ocos a+3ysin a)t+2x o2+3y o2-6=O, t1 +t 2=2 cos E + 3sin clT P 为弦中点， t1+t 2=0，即 2x0cos a+3y 0Sin a=0，又 tg a=2, 2x0+6y 0=0,J J工 y一 + _P点轨迹是方程为x+3y=0在椭圆二 二=1内的一条线段。小结:此例用普通方程及参数方程对比解决，体会参数t的几何意义，其中tl+t 2=0对点角式方程而言具有普遍的意义，常用于解决弦中点问题。例4 .设

16、M , N是抛物线y2=2px(p0)的对称轴上两点，且它们关于顶点过M ,N作两条平行线，分别交抛物线于 Pi ,P2,Qi ,Q2，求证:|MP i| |MP 2|=|NQO对称,11 |-NQ 2|(1)和(2)其中t是参数,a是倾斜角把(1 )(2)分别代入y2=2px中，由韦达定理可得2ap:|MP i| |MP2| =汕- 口 ,宀3|NQ i| (NQ 2|=亠 L-,证明：由已知可设 M(a,O), N(-a, 0)(a0) 则直线MP i , NQ i的参数方程为|MP i| |MP 2|=|NQ i| |NQ 2|评述:此例中应用了点角式参数方程中t的几何意义，即|ti|,

17、|t2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题。法(1 )设MN所在直线参数方程为K -亠N伦 + CC5Cv = sin ，(t为参数)例5椭圆长轴|AiA2|=6，焦距|FiF2|=4X，过椭圆焦点F1引直线交椭圆于 M ,7丿N 两点，设/ F2F1M= a,a0, n)，若 |MN|等于短轴时，求a。o Ft/r解:va=3, c=2Jb=1, F 1(-2Qo), /椭圆方程+y 2=1。将(1)代入* +y 2=1 得:(1+8sin 2 at2-4 逅tcos a-1=04a/2coG - 1.廿+t 2= 1 十 8 fin 口 ,十 *血,2b=232 cos

18、cs 十 4(1 + Ssin ct)36a0, n)(法二)设(14 8sm Jor)(1 +8sifi =22,，sin21a=4MN 方程：y=k(x+2f卜9十_9 = 0 y =2V2)X1+X 2=- (1),x 1 X2 = J |MN|= 门 ；|X1-X2|又 |X1-X2|2=(X 1+X2)2_4x 1X2(3)丄将(1),(2)代入，将代入(I)解得:k2=-；(下略)22另；-e-, M(x 1 ,y1), N(x 2,y2)由第二定义:|MF 2|=ex 2+a, |MF 1|=ex 1+a272272 - 3612 |MN|=e(x 1+x 2)+2a=-(X1

19、+x 2)+6, 2= -+6, k2=(下略)评述:利用直线参数方程，常常解决弦长的问题，对比普通方程的弦长公式可知，形式上要简捷，运算上也将更 加简化，减少运算的岀错可能。例6.过M(-1,0)的直线I交双曲线x2-y2=10于A，B两点，且|MA|=3|MB| ，求直线I的方程。分析:v|MA|=3|MB| ，若设普通方程，则两线段间的上述关系表述很繁琐，条件不利于应用。设直线参数方程点 角式，直接利用参数t的几何意义表达|MA|=3|MB| ，可以很方便的代入式子中去应用。Fa - -1 + f cos a(-1+tcos a)2-t 2sin 2 a-10=0解:设直线MA的参数方程

20、为（t为参数）2 cos a- ?(cos 2 a-sin2 a)t2-2tcos a-9=0 ,有 ti+t 2= I- L, ti t2=匚：一1 L-又 |MA|=3|MB|,tin 3t22 cos a-9 当 t1 = 3t2 时， 4t2=_ g五 2 住,3 卩=乙:.:：_! 二aCOG CL-9匕_ 2(cc?3 w sin* 反)茂 _ gm 立 q, 31_；：=：:一邛1213解得:cos 2 a= - - , sin 2 a=_ _ , tga= l： y= 士 (x+1)当t1 =3t 2时，同理可求l:y=-(x+1)本周小结：直线参数方程点角式问题，应注重从下面

21、几点讲解。会判断方程是否为点角式参数方程；若参数方程为会化为点角式，并会求岀倾角，一定要注意倾角的范围。会应用它解决弦长问题，弦的中点线分弦成定比问题，点在直线上位置等常见问题。参考练习：1开20 + 3y = cos 20（t为参数）的倾斜角是（）A、20B、70C、110D、160r i兀；彳 2y = -32 .直线I（t是参数）与圆（a为参数）相交所得弦长为（(3-】_ )（3+ 一亠）3 圆x2+y2=8内有一点Po(-1,2) , AB为过P0且倾角为a的弦。3(1 )当口 =n,求|AB| ;( 2 )当弦AB被点Po平分时，写岀直线 AB的方程。参考答案：1.C2.Ba - -

22、1 + cos a、，$2七站足 (t为参数)把 代入x2+y 2=8,整理得：t2-2(cos a-2sina)t-3=0(2)直线与圆相交，有实根，则由韦达定理:ti+t 2=2(cos a-sin a), tit2=-3.3 33(2 )弦AB被点P0平分二(1)当 a= r n 时,|AB|2=|t 1-t2|2=(t 1+t2)2-4t 1t2=2(COS i n-sin 町2-4 X(-3)=30 cos a-2sin 久)=0 二 tg a=，即 k=2 AB方程为:y-2= - (x+1)，即 x-2y+5=0在线测试选择题=20 + 5,=-t cos 20(t为参数)的倾斜角是()A、20B、D、160= + 2,rr 1hA、线段B、双曲线的一支C、圆弧2 曲线的参数方程为(0t 5)，则曲线是()D、射线x+ 3cosp,y = -1+ 5sin g?的两个焦点坐标是()A、(-3,5), (-3,-3)B、(3,3),(3,-5)C、(1,1),(-7,1)D、(7,-1),(-1,-1)4 .下列参数方程（t为参数）与普通方程x2-y=0表示同一曲线的方程是（）B、1 + cos i