最新导数综合应用含答案.doc

1、最新导数综合应用含答案1 -L y1.(15北京理科)已知函数/(x) = ln=.l-x(I )求曲线y = /(.v)t点(0, /(O)处的切线方程；(II) 求证：当 xe(0, 1)时，/(x)2x + y J；(III) 设实数R使得+ 对xe(0, 1)恒成立，求斤的最大值.【答案】(I) y = 0, (II)证明见解析，(III) R的最大值为2.【解析】试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在才=0处的函馥值及导数值，再用直线方程的点斜式石出直线右程；第二歩要证明不等式了0)2卜+符在X蹴立，可用作差法构造函数1Fy3尸&)=山1_2匕+二)，利用导数研究函数F(x)在区间

2、(6 1)上的单调性，由于FCy) 0, :L - x3尸6)在(CI, 1)上为増函教，则尸(X) Xo) = 0,问题得证；第三歩与第二步芳法类似，构谨函 数研究函数单调性，但需萝对参数比作讨论，首先A e 0,2符合题意，其次当* 2时，不满星题 意舍去，得出E的最大值为2试题解析：(I)1 4- V9f (%) = In , x e (-1,1), f(*) = f (0) = 2, f (0) = 0 ,曲线l-x1 -.3y = /(x)在点(o, /(0)处的切线方程为2x y = 0；(II)当xe(0, 1)时,f(x)2x + ,即不等式f(x) - 2(x + ) 0 ,

3、对I 33Vjt g (0,1)成立，设丫3v3一 2(x + ) = ln(l + x) ln(l 一 at) 2(a* + ),则332 vF(x)= 二当兀w(0, 1)时，Fg 0.故尸(Q在(0, 1)上为增函数，则_尸(x) 尸(0) = 0,因此对Vx e (0,1),Y在(2)中，取筑=化=0,求z = b-丝满足DS1时的最大值。42【答案】(I )极小值为b 冷：(ID D=la-a0 + b-b0； (III) 1.f(x) 2(x + -)成立；3(III)使f(x)k X + 成立，xe(O, 1),等价于)+ JVJV尸Cv) = In:k(x + -) 0 , x

4、e(O, 1):1 一 x322 kx +2 2尸(x) = 7 一 &(1 + 犷)=；,一f当& e 0,2时，Fx) 0,函数在(0, 1)上位增函数，Fix) 尸(0) = 0,符合题意：当& 2时，令F(x) = 0, x01 =e (0,1),k0+极小值F(x) 尸(0),显然不成立，综上所述可知：的最大值为2.考点：1.导数的几何意义：2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式：3.含参问题讨 论.2. (15年安徽理科)设函数f(x) = x2-ax + b.(1) 讨论函数f(sinx)在(-2兰)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值：2 2(2) idf0(x) =

5、x2 -aox+b),求函数|/(sinx)-/)(sin)|在(-壬，兰)上的最大值 D；2 2【解析】试题分析：(I )代入/(工)为/(sinx) =工一asinrr+h =sinx(sinx匕)+占， x.TtttT求导得/(sin .v) = (2sin x-cos.Yj 一 v xv 因为一 x 0: -2 2sin.r2;bER 时，函数/(sin.r)单调翅満 无极值.当-2a2,在(-号內存在唯一的勺 便得2血忑“ 一彳v x生乞时,函数f (sin.v)单调谨减；.v0 V工V时，函数f (sinx)单调i鬼增.因1匕-22, beRf时，函数/(sin x)在总处有极小值

6、/ (sin x) = /(-) = b -. ( II )当一时，依据绝对值不等7T2式可知 /(sin x) - 7i(sin x) |=| (a0 -a) si-nx+b-bfa-a-b-bCf,从而能够得出函数 |/(sin.x)-/：(sin.v)|在丰冷上的叢大值为D=a-a/Vb-b：. (Ill)当D兰1,肌a：亠纠幻，此 B0尿而z=d-y 利用导数研究函数G(羽的形状和最值，证明当k0,使 1+X得 G(x) 0 即可：(III)由(I)知，当&1 时，对于 Vxe(0,+oo), g(x)xf(x)f 故 g(x)f(x),则不等式 lf(x)-(A)lx2 变形为 kx

7、-ln(l + x)x2 ,构造函数 M(x)= kx-ln(l + )-x2,xeO, +8),只需说明 M(x)0.使得对任意的任意的xe(O, x),恒有f(x)g(x),此时不等式变形为 ln(l + x)-kxx2,构 造 N(x) = ln(l+x)-kx-P,xwO, +oo), 易发 现函数 N(x)在 xw(0,一伙+2)+ J(k +2)2 +乱1岀)递增，而n(0) = 0,不满足题意：当R=1时，代入证4明即可.试题 解析：解 法一：(1)令 F(x) = f(x) - x = ln(l + x) - x, x e (0, +oo),则 有F(x) = -1 = - 1

8、+x1+x当 a- e (0, +oo), F(x) 0 时，F(x) 0 时，f(x)x.令 G(x) = f(x) - g(x) = ln(l +x)-kx,x e (0, +oo),则有 G(x)=k =上 +_ +x+x当 k 0,所以 G(x)在0,+od)上单调递增,G(a) G(0) = 0故对任意正实数M均满足题意._ 1当0k0k k取心二丄-1,对任意xg(O,xo),恒有Gr(x)0 ,所以G(x)在O,xo)上单调递 k增,G(x)G(0) = 0,即f(x) g(x)综上，当0,使得对任意的xe(o, x0),恒有f(x)g(x).当 k 1 时，由(1)知，对于 V

9、jve(0,+oo), g(x) xf(x),故 g(x) f(x),I f(x)-g(x) 1= g(x)-/(x)=kx-ln(l +x),令 M(x) = k x - ln(l + x) - x2, x e 0, +oo),则有 Mr(x) = k_ -2x= T+(k-2 W1+x1+x故当xe(0, 2+J(k：)+8(k-l)时，”匕)0.M(x)在0,川k 1)_)上单调递增，故 m(x) M(0) = 0,4即I f(x)- g(x) l x2，所以满足题意的t不存在.当&0,使得对任意的任意的xg(0,如)，恒有f(x)g(x).此时 I f(x) - g(x) 1= f(x

10、) - g(x) = ln(l +x) - k x,令 N(x) = ln(l + x)-kx-x2,xe0, +oo),则有 Ng =- _ k-2x= E7k+2)x + 11 + x1 + x故当xe(0,-伙+2)+ J(k；2)2+8(l-k)时，心小。，M(x)在0,伙+ 2) + J(k+2)+8(lk)上单调递增，故Ng n(0) = 0,4即f(x) 一 g(x) X2，记x0与一伙+ 2) +贝+2)2+貲岀中较小的为旺，4则当X(0,召)时，恒有f(x)-g(x)x2t故满足题意的t不存在.当 k=,由(1)知，当x G (0, +oo)51 f(x) - g(x) 1=

11、 g(x) - f(x) = x - ln(l +x),1O Y Y令H(x) = x-ln(l + x)-x2,xe0, +oo) 则有H(x) = 12x= .1 + x1 + x当x0时，H(x)0,所以H(x)在0,+oo)上单调递减，故H(x)0时，恒有lf(x)-g(x)lxf(x)_故lf(x)_g(x)l= g(x)_/(牙)= kx_ln(l+x) kx_x = (k_l)x,令(k-l)xx解得0 x 1时，对于(0北-1)恒有I f(x) - g(x) l X2，所以满足题意的t不存在.k+1当2时，取/二，从而y 0,使得任意xe (0, A：。),恒有 f(x) kx

12、 kx = g(x).此时 I f(x) 一 g(x) 1= f(x) 一 g (x)伙一 k)x = x,令上解得0xx2,2 2记与匕中较小的为召,则当X(0,和时,恒有x2,2故满足题意的t不存在.当 k=,由(1)知，当x (0, +oo), If(x)-g(x) 1= g(x)- f(x) =x-ln(l +x),i_7 r2 _ y令M(x) = x-ln(l+x)-x2,xe0 +o),则有Mz(x) = 12x= ,+x+x当x0时，M(x)0,所以M(x)在0,乜)上单调递减，故M(x)0时,恒有If(x)-g(x)kx2,此时,任意实数t满足题意综上，k=L考点：导数的综合

13、应用.4. (15年新课标2理科)设函数f(x) = e+x2-mxo(1)证明：/(X)在(v,0)单调递减，在(0,炖)单调递增：(2)若对于任意,都有1/3)-于(心)1-1 ,求加的取值范用。试题分析：由/(r) =丄一a：可分a0两种情况来讨论；(II)由知当a 50时几工)在(0:+x)无最大值兰0时最大值为乳-j=-ln7+dl.Blt/； 7戶加一21口匕十4-10令 g(a) =1口口十一1：则工|在0=十力)是増函数：当0 vavl时：药)1时&) 0：因此的取值范围杲试题解析=解z (I) /(%)的定义域为十巧:广(工)二丄_a：若必0：则fx)0Jx)在十巧杲单调谨増:若0贝当灯0丄时广仗)0：当& 丄.十时广仗)0时在x =-取得最大值:最大值为 aj j+ajlj= 一hid+d1.因此j 272 Ohi d+al =:0.令 g(q) =ln a 4-zyl:则g在(0:-ko)是増函数:g(l) =0：于是:当0 WdWl时:g)：当a时g 0：因此a的取值范 围是01).考点：导数的应用.试题解析：(I ) f (sinx) = sin2 x-asinx + b = sin