偏导数应用交叉弹性

1、偏导数在经济分析中的应用 交叉弹性举例 五班第一小组委员会监制五班第一小组委员会监制 偏导数在经济分析中的应用偏导数在经济分析中的应用交叉弹性交叉弹性 在一元函数微分学中，我们引出了边际和弹性的概在一元函数微分学中，我们引出了边际和弹性的概 念，来分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化念，来分别表示经济函数在一点的变化率与相对变化 率。这些概念也可以推广到多元函数微分学中去，并率。这些概念也可以推广到多元函数微分学中去，并 被赋予了更丰富的经济含义。被赋予了更丰富的经济含义。 例如例如, 某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时某种品牌的电视机营销人员在开拓市场时, 除除 了关心本品牌电视机的价

2、格取向外了关心本品牌电视机的价格取向外 , 更关心其他品牌更关心其他品牌 同类型电视机的价格情况同类型电视机的价格情况 , 以决定自己的营销策略。以决定自己的营销策略。 ),( BAA PPfQ A Q A P B P 即该品牌电视机的销售量即该品牌电视机的销售量 是它的价格是它的价格 及其他及其他 品牌电视机价格品牌电视机价格 的函数的函数 通过分析其边际通过分析其边际 及及 可知道，可知道， 随着随着 及及 A A P Q B A P Q A Q A P 五班第一小组委员会监制五班第一小组委员会监制 变化而变化的规律。进一步分析其弹性变化而变化的规律。进一步分析其弹性 B P BA BA

3、AA AA PQ PQ PQ PQ 及及 可知这种变化的灵敏度。可知这种变化的灵敏度。 前者称为前者称为 对对 的弹性的弹性 ; 后者称为后者称为 对对 的弹性的弹性, 亦称为亦称为 对对 的的交叉弹性交叉弹性。这里。这里, 我们将主要研究交我们将主要研究交 叉弹性叉弹性 及其经济意义。及其经济意义。 A Q B P A P A Q A Q B P A B B A Q P P Q 先看如下两个例子：先看如下两个例子： 例例1 随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格随着养鸡工业化程度的提高，肉鸡价格 (用用 表示表示) 会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降会不断下降。现估计明年肉鸡价格将下降 5%

4、, B P 五班第一小组委员会监制五班第一小组委员会监制 且猪肉需求量且猪肉需求量 (用用 表示表示) 对肉鸡价格的交叉弹性为对肉鸡价格的交叉弹性为 0.85，问明年猪肉的需求量将如何变化，问明年猪肉的需求量将如何变化? A Q 将导致猪肉需求量的下降。将导致猪肉需求量的下降。 解解 由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格的下降由于鸡肉与猪肉互为替代品，故肉鸡价格的下降 依题意，猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为依题意，猪肉需求量对肉鸡价格的交叉弹性为 ,85. 0 B P 而肉鸡价格将下降而肉鸡价格将下降 ,%5 B B P P 于是猪肉的需求量将下降于是猪肉的需求量将下降 .%25. 4 B

5、B P A A P P Q Q B 五班第一小组委员会监制五班第一小组委员会监制 例例2 某种数码相机的销售量某种数码相机的销售量 , 除与它自身的价格除与它自身的价格 有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格 有关，具有关，具 体为体为 A Q A P B P ,10 250 120 2 BB A A PP P Q 求求 时时 , (1) 对对 的弹性的弹性 ;5,50 BA PP A Q A P (2) 对对 的交叉弹性。的交叉弹性。 A Q B P 解解 (1) 对对 的弹性为的弹性为 A Q A P A A A A A A Q P P Q EP EQ 22 10

6、250120 250 BBA A A PPP P P , )10(250120 250 2 BBAA PPPP 五班第一小组委员会监制五班第一小组委员会监制 当当 时，时， 5,50 BA PP ; 10 1 )5510(5025050120 250 2 A A EP EQ (2) 对对 的弹性为的弹性为 A Q B P A B B A B A Q P P Q EP EQ , 10250120 )210( 2 BBA B B PPP P P 当当 时，时， 5,50 BA PP ;2 25505120 5 20 B A EP EQ 五班第一小组委员会监制五班第一小组委员会监制 由以上两例可知，

7、不同交叉弹性的值，能反映两种由以上两例可知，不同交叉弹性的值，能反映两种 商品间的相关性，具体就是：商品间的相关性，具体就是： 当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品； 当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品； 当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。 一般地，我们对一般地，我们对函数函数 z = f ( x , y ) 给出如下定义：给出如下定义： 定义定义 设函数设函数 z = f ( x , y ) 在在 ( x , y ) 处偏导数存在，函处偏导数存在，函 数对数对 x

8、的相对改变量的相对改变量 ),( ),(),( yxf yxfyxxf z z x 与自变量与自变量 x 的相对改变量的相对改变量 之比之比 x x x x z z x 五班第一小组委员会监制五班第一小组委员会监制 称为函数称为函数 z = f ( x , y ) 对对 x 从从 x 到到 x + x 两点间的弹性两点间的弹性 . . 当当 x 0 时，时， x x z z x 的极限称为的极限称为 f ( x , y ) 在在 ( x , y ) 处对处对 x 的的弹性弹性，记作，记作 或或 x Ex Ez 即即 Ex Ez x ;lim 0 z x x z x x z z x x 类似可定义类似可定义 f ( x , y ) 在在 ( x , y ) 对对 y 的弹性的弹性 Ey Ez y ;lim 0 z y y z y y z z y y 特别地，如果特别地，如果 z = f ( x , y )中中 z 表示需求量，表示需求量， x