信号与系统第6章 系统的频域分析(6学时)

1、 - (j )e( )d j Hh (j )H zs(j ) (j ) (j )YXH ( )(t)(t)y txh j ( ) zs(j ) (j )=(j ) e (j ) Y HH X 若若h(t)是实信号时，则是实信号时，则|H(j )|是是 的偶函数，的偶函数， j j( )是是 的奇函数。的奇函数。 已知某的为 h(t) = (e-te-2t) u(t)，求系统的。 解：解： 利用H(j)与h(t)的关系 )()j (thFH 2j 1 1j 1 2)j (3)j ( 1 2 已知某的输入信号为f(t) = e-t u(t) ， 输出信号为y(t) = (e-te-2t) u(t)

2、 ，求该系统的频率 响应和h(t)。 解：解： 利用H(j)与F(j) 、Y(j)的关系 112j3 (j )+= j1j2j1j2 Y 1 (j ) j1 F (j )2j31 (j )=2- (j )j2j2 Y H F 2 ( )2 (t)e(t) t h tu n阶连续阶连续LTI系统的数学模型用微分方程描述如下：系统的数学模型用微分方程描述如下： ( )(1)( )(1) 1010 ( )( )( )( )( )( ) nnmm nnmm a yta ytaytb xtb xtbxt 01 1 1 01 1 1zs )j ()j ()j ( )j ()j ()j ( )j ( )j

3、( )j ( aaaa bbbb X Y H n n n n m m m m 利用时域微分特性可得利用时域微分特性可得 11 10zs10 (j )(j ) (j ) (j )(j )(j ) nnmm nnmm aaa Ybbb X 解：解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的 频域表示式为 )j ()j (2)j (j3)()j ( zszszs 2 XYYjY 由定义可求得 )j ( )j ( )j ( zs X Y H 2)j (3)j ( 1 2 例例3 3 已知描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = x(t)， 求系统的频率响应H(j)。

4、 例例3 3 已知描述某LTI系统的微分方程为 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3x (t)+4x(t)，系统的输入激 励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。 解：解： 由于输入激励x(t)的频谱函数为 3j 1 )j ( X 系统的频率响应由微分方程可得 )2j)(1j ( 4)j ( 3 2)j ( 3)j ( 4)j ( 3 )j ( 2 H 故系统的零状态响应yzs (t)的频谱函数Yzs (j)为 ) 3j)(2j)(1j ( 4)j ( 3 )j ()j ()j ( zs HXY )(e 2 5 e2e 2 1 )j ()( 32 zs

5、 1 zs tuYFty ttt 例4 图示RC电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压 y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。 求系统的频率响应H(j)和冲激响应h(t)。 由由Fourier反变换，得系统的反变换，得系统的冲激响应冲激响应h(t)为为 ( ) ( )( ) dy t RCy tx t dt 由电路的基本原理有 (j )11 / (j )= (j )（j ）+1j1 / YRC H XRCRC )(e 1 )( )/1 ( tu RC th tRC 1/RC 0 j 2/RC3/RC4/RC0 随着频率的增加，系统的幅度响应随着频率的增加，系统的幅度响应|H

6、(j )|不断减小，说明不断减小，说明 信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。 由于由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把，所以把 c=1/RC称为该系统的称为该系统的3db截频截频。 低通滤波器低通滤波器 () (t)R(t)()R() () R RRRRR R Vj viVjIjZR Ij 建立基本元件的频域模型，得到基本元件的广义阻抗，建立基本元件的频域模型，得到基本元件的广义阻抗， 利用电路基本原理求解频域响应。利用电路基本原理求解频域响应。 (t)() (t)()() () LL LLLL L diV j vLV jjLI

7、jZjL dtIj (t)()1 (t)()() () CC CCCC C dvV j iCIjjCV jZ dtIjjC 例3 图示RC电路系统，激励电压源为x(t)，输出电压 y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。 求系统的频率响应H(j)和冲激响应h(t)。 RC电路的频域(相量)模型如图， )j ( )j ( )j ( X Y H C R C j 1 j 1 RC RC /1j /1 由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为 )(e 1 )( )/1 ( tu RC th tRC 由电路的基本原理有 其对应的输出响应如下：其对应的输出响应如下： j ( )e

8、(j ) t y tH j j （ - ）j-jj - ( )e( ) =e( ) de( ) ede(j) t ttt y th t hhH j 当输入信号为虚指数信号 ( )e 时 t f t 0 系统输入信号为( )sin,LTIx ttt 由Euler公式可得 )ee ( j2 1 )( )( j)( j 00 tt tx 利用利用虚指数信号虚指数信号ej t响应的特点及系统的响应的特点及系统的线性特性线性特性，得，得 00 0000 (j)(j) 00 j () (j)-j ()(j) 00 000 1 零状态响应 ( )(j) e( j) e 2j 1 = (j) ee( j) e

9、e 2j (j) sin() tt tt y tHH HH Ht j j j )(sin()j ()sin( 0000 tHtT 同理可得同理可得)(cos()j ()cos( 0000 tHtT 结论：结论： （1）正、余弦信号作用于）正、余弦信号作用于LTI系统时，其输出的零系统时，其输出的零 状态响应状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。仍为同频率的正、余弦信号。 （2）输出信号的幅度）输出信号的幅度y(t)由系统的幅度响应由系统的幅度响应|H(j 0)| 确定确定 （3）输出信号的相位相对于输入信号偏移了）输出信号的相位相对于输入信号偏移了 ( 例例1 1 已知一连续时间系统的频率

10、响应如图所示， 输入信号时， 试求该系统的稳态响应y(t)。 系统频率响应是正的实函数，所以 1 033 )j (H 利用余弦信号作用在系统上的零状态响应的特点，即 )(cos()j ()cos( 0000 tHtT 可以求出信号x(t)作用在系统上的稳态响应为 tHtHHtxT4cos)4 j (2cos)2 j (3)0 j (5)( t 2cos5 t tttx4cos2cos35)(t 0 ()0j 0 1 (j)-+1 3 H )/2(e)( 00 j 0 TCtx tn n n 利用利用虚指数信号虚指数信号ej t作用在系统上响应的特点及作用在系统上响应的特点及 线性特性线性特性可

11、得系统的零状态响应为可得系统的零状态响应为 n tn n enHC 0 j 0) j ( e)( 0 jtn n n TCty 将周期为将周期为T0的周期信号的周期信号 用用Fourier级数展开为级数展开为 )( tx 例例2 2 求图示周期方波信号通过LTI系统 H(j) = 1/(a+j) 的响应y(t)。 解：解： 对于周期方波信号，其Fourier系数为 2 Sa 0 0 n T A Cn 可得系统响应 00 jj -1 00 -1 00 ee ( )Sa+Sa 2j2j n tn t nn nnAAA yt TTnTn aaa n tn n nHCty 0 j 0 e )j ()(

12、 求解方法：求解方法： 1、由描述、由描述LTI系统的微分方程直接计算；系统的微分方程直接计算； 2、由、由LTI系统的冲激响应的傅里叶变换计算；系统的冲激响应的傅里叶变换计算； 3、对电路系统，可由电路的零状态频域等效电路模型计算。、对电路系统，可由电路的零状态频域等效电路模型计算。 优点：优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号 通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形 的差异，物理概念清楚。的差异，物理概念清楚。 不足：不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应）只能求

13、解系统的零状态响应，系统的零输入响应 仍需按时域方法求解。仍需按时域方法求解。 （2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域 分析法。分析法。 （3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。 解决方法：解决方法：采用采用拉普拉斯变换拉普拉斯变换 若输入信号为若输入信号为x(t)，则无失真传输系统的输出，则无失真传输系统的输出 信号信号y(t)应为应为 )()( d ttxKty K为为正常数正常数 td是延迟时间是延迟时间 系统的冲激响应为：系统的冲激响应为：)()( d ttKth 系统的频域响应为：系统的频域

14、响应为： d j e)j ( t KH 幅度响应| (j )|HK d 相位响应 ( )tj 1、定义、定义 d t)( |H(j)| 应满足两个条件：应满足两个条件： 系统的幅度响应系统的幅度响应|H(j )|在整个频率范围内应为常数在整个频率范围内应为常数K， 即系统的带宽为无穷大；即系统的带宽为无穷大； 系统的相位响应系统的相位响应 ( )在整个频率范围内应与在整个频率范围内应与 成成正比正比。 KH | )j (| d )(t 例例1 1 已知一LTI系统的频率响应为 j1 j1 )j ( H (1) 求系统的幅度响应|H(j)|和相位响应()， 并判断系统是否为无失真传输系统。 解：

15、解：(1) 因为 所以系统的幅度响应和相位响应分别为 )arctan(2)(1)j (H 系统的幅度响应|H(j)|为常数，但相位响应()不是的 线性函数，所以系统不是无失真传输系统。 22 22 1j（1j ）1-2 (j )=- 1j（1j ）（1j ） 1+1+ Hj 系统的幅度响应系统的幅度响应|H(j )|不为常数，称为幅度失真；不为常数，称为幅度失真； 系统的相位响应系统的相位响应 ( )不是不是 的线性函数，称为相位失真；的线性函数，称为相位失真； |H LP(j)| c c |H HP(j)| c c |H BP(j)| 1 2 1 2 |H BS(j)| 1 212 滤波器是

16、指能使信号的一部分频率通过，而使滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使 另一部分频率通过很少的系统。另一部分频率通过很少的系统。 理想低通 理想高通 理想带通 理想带阻 d d t t epH j 2 c c j )( |0 |e )j ( c |H(j)| 1 cc 0 截止角频率 幅度响应幅度响应|H(j )|在通带内恒为在通带内恒为1，在通带之外为，在通带之外为0。 相位响应相位响应 ( )在通带内与在通带内与 成线性关系。成线性关系。 tHth t de )j ( 2 1 )( j t ttd dee 2 1 jj c c )(Sa )( c c d ttth 1) ) h(t)的波

17、形是一个抽样函数，不同于输入信号的波形是一个抽样函数，不同于输入信号 (t) 的波形，有失真且主瓣宽度越大，失真越大。的波形，有失真且主瓣宽度越大，失真越大。 原因：原因：理想低通滤波器理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信是一个带限系统，而冲激信 号号 (t)的频带宽度为无穷大。的频带宽度为无穷大。 减小失真方法：减小失真方法：增大理想低通截频增大理想低通截频 c，此时，主，此时，主 瓣宽度（瓣宽度（2p p/ c）减小，失真减小。当）减小，失真减小。当 c 时，理时，理 想低通变为想低通变为无失真传输系统无失真传输系统， h(t)也变为冲激函数。也变为冲激函数。 2) ) h(t)主峰出现

18、时刻主峰出现时刻 t = td 比输入信号比输入信号 t 作用作用 时刻时刻t = 0延迟了一段时间延迟了一段时间td 。td是理想低通是理想低通 滤波器相位响应的斜率。滤波器相位响应的斜率。 3) ) h(t)在在 t0 的区间也存在输出，可见理想低的区间也存在输出，可见理想低 通滤波器是一个非因果系统，通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个因而它是一个 物理不可实现的系统。物理不可实现的系统。 g(t) t td c d t c d t 1 0.5 t hthtgd)()()( ) 1( d)(Sa dc c t t xxtg tt )d(Sa 1 2 1 )( )( 0 dc 1) 阶跃

19、响应阶跃响应g(t)比输入阶跃信号比输入阶跃信号u(t)延迟一段时间。延迟一段时间。 td=td 时时， ，g(t)=0.5, td是理想低通滤波器相位响应的斜率 是理想低通滤波器相位响应的斜率。 2) ) 阶跃响应的建立需要一段时间。从最小值上升阶跃响应的建立需要一段时间。从最小值上升 到最大值的时间称为阶跃响应的到最大值的时间称为阶跃响应的上升时间上升时间tr =2p p/ c 。 c越大，上升时间就越短，当越大，上升时间就越短，当 c 时，时，tr 0。 3) ) Gibbs现象在频域也存在现象在频域也存在 即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的最大峰值即在间断点的前后出现了振荡，其振荡的

20、最大峰值 约为阶跃突变值的约为阶跃突变值的9%左右，且不随滤波器带宽左右，且不随滤波器带宽 的增加而减小。的增加而减小。 g(t) t td c d t c d t 1 0.5 1. 输出响应的输出响应的延迟时间延迟时间取决于取决于理想低通滤波器理想低通滤波器 的相位响应的斜率。的相位响应的斜率。 3. 理想低通滤波器理想低通滤波器的通带宽度与输入信号的带的通带宽度与输入信号的带 宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度宽不相匹配时，输出就会失真。系统的通带宽度 越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真越大于信号的带宽，则失真越小，反之，则失真 越大。越大。 2. 输入信号在通过输入信号在

21、通过理想低通滤波器理想低通滤波器后，输出响后，输出响 应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的应在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的 波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的通 频带宽度成反比。频带宽度成反比。 例例2 2 求带通信号x(t)=Sa(t)cos2t， t ，通过 线性相位理想低通滤波器 的响应。 d c j 2 )()j ( t epH 解：解： 因为)()(Sa 2 pt F 利用Fourier变换的频移特性，可得 )2()2( 2 )j ( 22 ppX |H(j)| cc )2()2( 2 e )()j ()j ()j ( 22 j 2 d c pppXHY t )2()2( 2 )j ( 22 j d ppeY t y(t)= x(t td) = Sa(t td)cos2( t td) ， t 当当 c 1时时，输入信号的所有频率分量都不能通过输入信号的所有频率分量都不能通过 系统，即系统，即 0)j (Yy(t)=0， t m各处为零；各处为零； ( (2)