线性方程组直接解法迭代法-matlab实验6页

1、实 验 报 告实验名称（教师填写）求解线性方程组实验目的（教师填写）掌握求解线性方程组的直接法与迭代法。实验题目（教师填写）完成以下两题：（1） 用追赶法求Ax=b的解，其中（2） 用Jacobi方法求方程组Ax=b的解，要求（p=1或2或），其中实验报告要求（教师填写）1.在实验内容与步骤中，填写基本的公式推导，之后根据推导出的公式编写程序，填入此栏。2. 程序中应尽量写注释语言（中英文均可），例如：a = 0; 对a 附初值0for i = 1:100 %循环体从1到100，步长为1，开始循环 a = a+I; 执行从1+2+100的加法过程end3. 实验结果列出计算结果，或者作出图像。

2、可以自由讨论所观察到的现象，如有疑问也可提出4. 作业可已word文档发至scu_num_eng_experi，或者笔书后扫描成pdf文档发至上述邮箱。请在邮件标题上填好组长姓名、学号，在邮件正文中写组内所有成员的姓名、学号等，实验内容与步骤（学生填写）如果步骤较多，请自行加页（A4幅面）(1) .用追赶法求Ax=b的解，其中分析：Ax=b，其中A为三对角矩阵，A为严格对角占优矩阵，则Ax=b的解存在且唯一，所以对A进行LU分解，知L和U具有特殊形式，分别为L=，U=，令A=，a从a2开始为便于运算，为避免重复，使题目中的矩阵b为e，利用矩阵乘法及矩阵相等可得，其中n=4，于是对Ax=e的求解

3、转换为求解两个简单方程组，解Ly=e得，解Ux=y得程序：a=0,2,3,6; %定义三个向量，将三条对角线上的值分别赋给这三个向量，注意，为便于循环，将第一条对角线（最下一条）上的值赋给a向量时从第二个元素开始赋值，即令a（1）为0b=2,4,5,7;c=1,2,1;e=2,-1,3,2; %e向量为题设给出的常数向量，即题目中的bn=length(b); %取系数矩阵A主对角线元素个数 for i=1:1:n-1 %根据A=LU，求出矩阵L和U中的未知元素 d(i)=c(i);endu(1)=b(1);for i=2:1:n l(i)=a(i)/u(i-1); u(i)=b(i)-l(i)

4、*d(i-1);endy(1)=e(1); %根据Ly=e，Ux=y，求出向量x，即为方程的解for i=2:1:n y(i)=e(i)-l(i)*y(i-1);endx(n)=y(n)/u(n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(y(i)-d(i)*x(i+1)/u(i);endluyx (2). 用Jacobi方法求方程组Ax=b的解，要求（p=1或2或），其中 分析：根据Jacobi迭代法，将A分解为L,D,UA= (L+D+U)X=b；通过计算，此迭代收敛。我们选代入迭代式中，求得，计算判断，若是输出，否则，重新代入迭代式求解，直至求出满足条件的解为止程序：A=1 -2 2;-

5、1 1 -1;-2 -2 1;B=0 2 -2;1 0 1;2 2 0;g=3;-2;-3;x=0;0;0;k=0; %迭代次数变量while 1 X=B*x+g; %迭代公式 E=0;for i=1:3 E=E+abs(X(i)-x(i); %计算X与x的误差end x=X; %将X赋值给x达到可迭代的目的 k=k+1; %迭代次数的计算if(E=0.0005) %满足误差条件跳出循环，否则继续执行上述步骤 break; endendX k 实验结果与实验结论(1)实验结果： 实验结论分析：追赶法的巧妙之处就是利用矩阵A为三对角矩阵实现LU矩阵的追赶求解，对于一个n阶三对角矩阵A，LU直接分解法运算量，而追赶法仅需5n-4次运算，可见追赶法在解三对角矩阵的优越性是LU直接分解法不可比拟的。（2） 实验结果 实验结果与实验结论（学生填写） 实验结论分析： 1.当迭代系数矩阵B的谱半径小于1，对于所有初始矩阵X都收敛。 2.我们选初始矩阵X=0;0;0,迭代次数k=4，但选初始矩阵X=0;1;0，迭代次数k