数列极限习题讲解

1、1 数列的极限 2 )4() 3()2() 1 ( .) 3()2() 1 ( .)4() 3()2(.)2() 1 (. . 3 2 )4( .3 2 3 3) 3( .0 2 1)2( .31) 1 ( )(.2 )( ., ) (),(,lim.1 DCBA n a AAAa n n n nn n n n 没有极限数列 的极限为数列 的极限为数列没有极限数列 下列命题正确的是 无穷项或有限项填 的项数为数列小的正的常数 为任意外则在区间已知 3 3 2 . 2 1 . 3 2 . 2 1 . )( 13 12 lim.5 1. 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 . )(,2 1 2

2、lim.4 . . )(limlim,lim.3 2 2 DCBA n nn rDrCrBrA r r r DC BA BAbaBbAa n n n nn n n n n n 的值为 的取值范围是则 既不充分又不必要条件必要不充分条件 充分不必要条件充分必要条件 的是 4 .),(, lim)2( .) 1 (: .lim .,0,0 :.1 之内对应的点全部落在区间时当 的几何意义是有关与注意 记作 恒成立时当存在任给 的极限定义数列 AAaNn AaN Aa AaNnN a n n n n n n n )0,0(lim) 3( lim)2(lim) 1 ( .lim,lim:.2 Bb B

3、 A b a ABbaBAba BbAa n n n n nn n nn n n n n n 则如果数列极限的运算法则 5 )1( .0lim) 3(0lim)2(lim) 1 ( :.3 qq n C CC n nnn 几个常用的极限 )( )( )(0 lim)2( 11 11 10 lim) 1 ( :.4 0 0 1 1 10 1 1 10 ts ts b a ts bnbnbnb ananana aa a a a ss ss tt tt n n n 不存在 或不存在 两种类型极限 6 222 9189 lim)1( n n nn n 2222 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1

4、1lim)2( n n 1 312314 32 lim)3( n nn n nn nn nn nn n sincos sincos lim)4( 2 , 0 例1. 求下列极限: 7 2)对无穷多项的和(或积)求极限一般采用先求 和(或积)后求极限. 3)分式的极限通常是分子分母同除以趋向 较快的项. 1)四则运算法则只对任意有限个数列可进行四 则运算，(1)小题数列个数是无限的，不适用 于四则运算法则，因此应先求和后求极限. 评析：评析： 4)求解含参数式子的极限时，应注意对参数进 行分类讨论. 8 例2. 已知 ，求实数 a , b的值. 0 1 1 lim 2 ban n n n 评析：

5、评析：这是一个求待定常数的极限逆向问题， 一般都是从求极限入手建立关于a, b的 方程组求解 9 .lim. , ) 2 0(,1.3 21 1 21 n n n n n nn n Sb bbSaaab Sina 求 又的等比数列 公比为是首项为数列例 评析：评析：求一个数列前n项和的极限主要是确定和 的表达式.本题解题关键是先确定 为等比数列，然后求和Sn的表达式， 再求极限. n b 10 归纳小结，提高认识：归纳小结，提高认识： 只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限. 运用数列极限的运算法则求数列极限应注意 法则适应的前提条件.（参与运算的数列都 有极限，运算法则适应有限个数列情形）

6、 求数列极限最后往往转化为 或 型的极限. Nm n m 1 1qq n 11 求极限的常用方法： 分子、分母同时除以 或 . 求和（或积）的极限一般先求和（或积） 再求极限. 利用已知数列极限 （如 等）. 含参数问题应对参数进行分类讨论求极限. m n n a 0 1 lim,10lim n qq n n n 12 的值为 的值为 等于则 的公比为已知等比数列 n n n n n n n n DCBA n n nn DqCqBqA aaa aaa qa 3 1 9 1 3 1 1 2 1 4 1 2 1 1 lim.3 2 3 . 2 1 . 4 3 . 6 5 . )( 1374 lim.2 1. )(lim ,1.1 222 55 76 21 13 的大小关系为则 设公比的等比数列 为为首项以是以已知 则若 DCBA aaaaD aaaaC aaaaB aaaaA qqaaa ba ba ba n n n n n n n n n n n nn nn n n , lim lim lim lim , )01()0(.6 lim,0,0.5 2 1 1 4 1 1 3 1 1lim.4 2642 12531 2321 321 14 )97