整理实数实数的概念运算及大小比较

1、精品文档实数(实数的概念、运算、及大小比较)一. 教学内容：第一单元 实数(实数的概念、运算、及大小比较)二. 教学目标：1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念.(1) 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念， 了解数的绝对值的几何意义。(2) 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小(3) 画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数 轴比较大小。2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对 值、非负数的有关应用等。(1) 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运算法

2、则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、 减、乘、除、乘方和简单的混合运算。(2) 了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。(3) 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值)，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。(4) 了解计算器使用的基本过程。三. 教学重点和难点：1. 有理数、无理数、实数、非负数概念；2. 相反数、倒数、数的绝对值概念；3. 在已知中，以

3、非负数 a2、|a、(a0)之和为零作为条件，解决有关问题。4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。四. 课堂教学：(一)知识要点： 知识点1 :实数分类有理数实数疋整数整数零负整数无理数方法(1)正无理数 负无理数正实数正有理数正无理数正整数正分数负实数负有理数负整数，负分数方法（2）负无理数注：有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数是无理数 知识点2:实数的有关概念（1） 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意1： 上述规定的三要素缺一个不可，2 :实数与数轴上的点是对应的，3:数轴上任

4、一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数.）（2）相反数实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零）. 注意：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.（3）绝对值a（a 0）| dt |= * 0仏=0）-a（a G）注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离（4）倒数_实数a （0 ）的倒数是（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；注意：零没有倒数.知识点3:平方根、算术平方根、立方根若x2= a,则x叫做a的平方根。记作- 1 . I ,而正的平方根叫做算术平方根 知识点4：零指数、负整指数幕a = 1 （aM0;在卩（a0 知

5、识点5:科学记数法、近似数、有效数字把一个数写成aX10n （ K av 10, n是整数）的形式一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入得到的数从左边第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字知识点6:三种重要的非负数（绝对值、偶次方、算术平方根）知识点7:常见的几种无理数(开方开不尽的数、含圆周率的数、无限不循环的数) 知识点&实数的运算实数的运算法则(1) 加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值; 任何数与零相加等于原数。(2) 减法1-门(3) 乘法两数相乘，同

6、号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零即讣| b | (a, b同号) ab = 0，那么-1-二；如果x3 = a,那么：-:在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减有括号时，先算括号里面 的.实数的运算律：(1) 加法交换律 a+ b = b+ a(2)加法结合律(a+ b) + c= a+( b+ c)(3) 乘法交换律ab= ba.(4) 乘法结合律(ab) c= a (bc)(5)分配律a (b + c)= ab+ ac其中a、b、c表示任意实数运用运算律有时可使运算简便.知识点9：实数的大小比较(常见的方法-数轴比较法；差值比较法；商值比较法；绝对值比较法

7、)【典型例题】例1判断题：(1) 两有理数的和、差、积、商是有理数;(2) 有理数与无理数的积是无理数；(3) 有理数与无理数的和、差是无理数；(4) 小数都是有理数；（5）零是整数，是有理数，是实数，是自然数；（6）任何数的平方是正数；（7）实数与数轴上的点对应；（8）两无理数的和是无理数。解：（1 ）对（2）不对（3）对（4）不对（5）对（6）不对（7）对（8）不对例2选择题：（1）如果a是实数，下列四种说法: J和IM都是正数， |a|=-a，那么a定是负数, a的倒数是，一, a和一的两个数表示的点分别在原点的两侧, 其中正确的说法有（A ）C. 2D. 3A. 0B. 1（2）下列说

8、法中，正确的是（ B ）A. |m|与m互为相反数B.B. 1998.8用科学记数法表示为1.9988 X 102C. 0.4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0.50（3）近似数1.30所表示的准确数 A的范围是（C ）A. 1.25 A V 1.35B. 1.20 v A v 1.30C. 1.295 w A v 1.305D. 1.300 A v 1.305（4）2006年全年国内生产总值按可比价格计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元,136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为（B ）A.元B.元D丄一I .；元例3填空题：（1）下列各数中：I-,0，屏小

9、，1 , 1.101001-I -：i I ,有理数集合;正数集合整数集合；自然数集合.；.；分数集合;绝对值最小的数的集合无理数集合.;.;解：略（2）无理数a满足不等式1 a 4，请写出两个符合条件的无理数 3）观察下列数表：234第345第3 4第一行4 5第二行5 6第三行6 7第四行第第三四列列根据表中所反映的规律，猜想第 6行与第6列的交叉点上的数应为 为正整数）与第 n列的交叉点上的数应为_2n 1_.11 ，第n行（nb都是正整数），贝U a+ b的最小值是佃例4有条件化简:当1v av 2时，化简 a, b, c为三角形的三边，化简- 门一丫 如图，化简间川-佑疗4+blo解

10、：因为1 v av 2所以-J（a _=| 在-2 |= 2 a原式=-：一心一亠丄一I 一二.一 因为 |a+ b c|= a+ b c |a b c|= b + c a所以原式=a+ b c+ b + c a= 2b a + ” _ J + h + 二迄+0b）_（说 _b）_0+b）二 F一方例5无条件化简:化简 1+21+-3解：步骤找零点；分段；讨论。 当 mv 2时 I I 1= m 2 + 3 m= 2m + 1 当一2 m3时 |m+ 2|+|m- 3| = m+ 2+ m-3= 2m 1例6阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20042005和20052004的大小吗？为了

11、解决这个问题先把问题一般化，要比较nn+1和（n + 1） n的大小（的整数），先从分析n = 1,= 2,= 3, 这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。通过计算，比较下列一一各组中两个数的大小（在横线上填“ 、=、”号 1221 : 2332； 3443； 4554； 5665； 67_76； 7887（2） 对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn+1和（n+ 1） n的大小关系是 （3） 根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：2004200520052004解：(1) (2) 当 n 3时，nn+1 3时，nn+ 1(n + 1) n(3) 2OO42005 200

12、520041解：（1）原式=3 1 + 4X + I=4+ -（2） 0.3-1（ I ） 2+ 43 31+（ n 3） 0 + tg230凹 11 321=二-36 + 64匚 + 1+ 匚=?分析：本题运用方根的概念， 零指数幕的法则，负整数指数幕的法则， 特殊三角函数值, 分母有理化等知识加以计算。例8化简:分析：这道题隐含着av 0是解此题的关键，而 av 0时,|a|= a,这一点是该题错误的根本原因，另外，在化简J时，注意计算步骤要严谨。2解： 原式=a_ : a2x a)= a例9若|a= 3, 需二2 ,abv 0,贝U a b=分析：本题主要是运用绝对值的意义、二次根式成立

13、的条件等数学知识。解：因为|a|= 3 所以a= 3或a= 3- - -b = 4又因为abv 0所a= 3, b = 4所以a b= 7拓展：此类命题拓展的思路是将绝对值、方根、代数式的化简综合构建考题。如计算:(1) 当 _ L 一时，、I I广=。(2) 若血-1与” + 2|互为相反数，则a2006a2007 =。(1 +1)的例10已知:兀值72解：因为x =.所以x2=U)XXx-1 x+1例11给出下列算式:32 12= 8= 8X 152 32= 16 = 8 X 272 52= 24 = 8 X 392 72 = 32 = 8 X 4观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代

14、数式来表示这个规律。解：(2n+ 1) 2( 2n 1) 2= 8n( n 取正整数)预测：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性， 蕴含着一种数 学简洁的美。同时可考查观察能力和抽象概括能力， 渗透着从特殊到一般的辩证关系。 该题 是通过观察给出的运算， 找到反映其规律的表达式。 这是中考中的热点问题， 此类问题不仅 考查对知识的掌握，同时考查观察分析的能力。【模拟试题】(答题时间：30分钟) 二选择题1. 下列说法正确的是()A. 无限小数都是无理数B. 无理数都是无限小数C. 带根号的数都是无理数D. 不带根号的数一定不是无理数。2. 和数轴上的点对应的数是()A.整数

15、B.有理数数3. 若2a与1 a互为相反数，则 a等于(A. 1D.C.无理数D.实)B. 1C.4. 当=a时，实数a在数轴上对应的点在(A.原点右侧C. 原点或原点的右侧5代数式+ +的所有可能的值有()A. 2个B. 3个)B.原点左侧D.原点或原点的左侧C. 4个D.无数个6. 下列命题中：(1)几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负;(2)两数之积为1，那么这两数都是1或都是1 ;(3) 两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值较大;(4) 一个实数的偶次幕是正数，那么这个实数一定大于零，其中错误的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个.填

16、空题; ji 的绝对值7. 0的相反数是, 3沢的相反数是，小一的相反数是是, 0的绝对值是, f的倒数是8. 把下列语句译成式子：(1) a是负数(2) a、b两数异号(3) a、b互为相反数(4) a、b互为倒数 (5) x与y的平方和是非负数 (6) c、d两数中至少有一个为零 (7) a、b两数均不为 09. 数轴上点 A表示数1，若AB = 3，则点B所表示的数为 10. 2006年底国家统计局公布我国总人口129999万人，如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为亿人。11. 若(x 1) x+2= 1,贝V x 的值是。12. 我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率n方法的人，他

17、求出n的近似值是3.1416,如果取3.142是精确到位，它有个有效数字，分别是 。13. 我国的国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法表示为 平方千米。14. 若 n 为自然数时，（一1） 2n+1+（- 1） 2n=.15. 已知：| x| = 4, 丫2 =且 x0,yv 0,贝V x-y =。|4 - a3 |+7a+b n 2a + 3b=U 16. 若a, b满足-：，则 一 的值是 三.实验、操作题17. 数轴上作出表示 丄，门，出的点。四解答题18. 已知等腰三角形一边长为a, 边长为b,且（2a-b） 2+| 9-a 2 |= 0。求它的周长。19. 若3,m, 5为三角形三边，化简：-工一丄工一-广20. 已知x、y是实数屈+4+F -6y+9 = 0,若如七=”求实数a的值【试题答案】1. B 2. D 3. B4. D 5. A 6. C8.(1) av 0(2) abv 0(3) a+ b= 0(4) ab= 1(5)x3 + y30(6) cd= 09. 2