二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题精编版

1、 上页下页铃结束返回首页 提示 =Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex =Q(x)+2Q(x)+2Q(x)expQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex 一、 f(x)=Pm(x)ex 型 y*=Q(x)ex 设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为 下页 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) () 则得 =Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex y*py*qy* 上页下页铃结束返回首页 提示 此时2pq0 要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)=b0 xmb1xm1 bm1xbm (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex

2、下页 一、 f(x)=Pm(x)ex 型 y*=Q(x)ex 设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) () 则得 上页下页铃结束返回首页 提示 此时2pq=0 但2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)=xQm(x) 其中Qm(x)=b0 xm b1xm1 bm1xbm (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则y*=xQm(x)ex 下页 (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex 一、 f(x)=Pm(x)ex 型 y*=Q(x)ex 设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为 Q

3、(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)=Pm(x) () 则得 上页下页铃结束返回首页 提示 此时2pq=0 2p=0 要使()式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)=x2Qm(x) 其中Qm(x)=b0 xmb1xm1 bm1xbm (3)如果是特征方程r2prq=0的重根 则y*=x2Qm(x)ex 下页 (2)如果是特征方程r2prq=0的单根 则y*=xQm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq=0的根 则 y*=Qm(x)ex 一、 f(x)=Pm(x)ex 型 y*=Q(x)ex 设方程ypyqy=Pm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)

4、=Pm(x) () 则得 上页下页铃结束返回首页 v结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqy=Pm(x)ex 有形如 y*=xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2 下页 上页下页铃结束返回首页 提示 因为f(x)=Pm(x)ex=3x1 =0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*=b0 xb1 把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y2y3y=3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y=0的特征方程为r22r3=0 比较两端 x 同次幂的系数 得 b0=1 因此所给

5、方程的特解为 3 1 *= xy b0 xb12b0 xb13b0 xb1 =3b0 x2b03b1 =2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b1=3x1 提示 3b0=3 2b03b1=1 x 同次幂的系数 得 b0=1 3 1 1= b 特解形式 上页下页铃结束返回首页 例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0 其根为r1=2 r2=3 提示 齐次方程y5y6y=0的通解为Y=C1e2xC2e3x 因为f(x)=Pm(x)ex=xe2x =2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0 xb1)e2x 把它代入所

6、给方程 得 2b0 x2b0b1=x 比较系数 得 b1=1 故 x exxy 2 ) 1 2 1 (*= 系数 得 2 1 0 =b b1=1 故 提示 2b0=1 2b0b1=0 特解形式 上页下页铃结束返回首页首页 例2 求微分方程y5y6y=xe2x的通解 解 齐次方程y5y6y=0的特征方程为r25r 6=0 其根为r1=2 r2=3 2b0 x2b0b1=x 比较系数 得 2 1 0 =b b1=1 故 b1=1 故 x exxy 2 ) 1 2 1 (*= 因此所给方程的通解为 xxx exxeCeCy 223 2 2 1 )2( 2 1 = 因为f(x)=Pm(x)ex=xe2

7、x =2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得 特解形式 上页下页铃结束返回首页 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqy=exPl(x)cosxPn(x)sinx 有形如 y*=xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 m=maxl n 而k 按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 二、f(x)=exPl(x)cosxPn(x)sinx型 下页 v结论 上页下页铃结束返回首页 解 结束特解形式 例3 求微分方程yy=xcos2x的一个特解 因为f(x)=exPl(x)cosxPn(x)sinx=xcos2x i=2i不是 特征方程的根 所以所给方程的特解应设为 齐次方程yy=0的特征方程为r21=0 把它代入所给方程 得 y*=(axb)cos2x(cxd)sin2x (3