一元二次方程单元复习精品完整版

1、 一、与一元二次方程定义有关的题目：一、与一元二次方程定义有关的题目： 1、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？、下列方程中，哪些属于一元二次方程，为什么？ （1）4x - x + 2 =0 （2）3x - y -1=0 （3）ax +x+c=0 （a、b、c 为常数）为常数） （4）x + =0 2、已知关于、已知关于x的方程的方程 （m-1）x+（m-2）x-2m+1=0， 当当m 时是一元二次方程，时是一元二次方程， 当当m=时是一元一次方程。时是一元一次方程。 x 1 3、把方程（、把方程（1-x x)(2-x x)=3-x x2 化为一化为一 般形式是：般形式是：_, 其二次项

2、其二次项 系数是系数是_,一次项系数是一次项系数是_,常数常数 项是项是_. 4、方程（、方程（m-2)x x|m| +3mx x-4=0是关于是关于 x的一元二次方程，则的一元二次方程，则 （ ） A.m=2 B.m=2 C.m=-2 D.m 2 2x2-3x-1=0 2 -3 -1 C 解一元二次方程的方法有几种解一元二次方程的方法有几种? 例例:解下列方程解下列方程 、用直接开平方法、用直接开平方法：(x+2)2= 2、用配方法解方程、用配方法解方程4x2-8x-5=0 解解:两边开平方两边开平方,得得: x+2= 3 x=-23 x1=1, x2=-5 右边开平方右边开平方 后，根号前

3、后，根号前 取取“”。 两边加上相等项两边加上相等项“1”。 二次项系数化为二次项系数化为1； 移常数项到右边；移常数项到右边； 两边同时加上一次项系数一半的平方；两边同时加上一次项系数一半的平方； 化直接开平方形式化直接开平方形式; 解方程。解方程。 步骤归纳步骤归纳 解解:移项移项,得得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 b2-4ac=(-4)2-43(-7)=1000 x1= x2 = 解解:原方程化为原方程化为 （y+2) 2 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或或 y-1=0 y1=-2 y2=1 41002 5

4、63 x = 先变为一般先变为一般 形式，代入形式，代入 时注意符号。时注意符号。 把把y+2看作一个看作一个 未知数，变成未知数，变成 (ax+b)(cx+d)=0 形式。形式。 3、用公式法解方程、用公式法解方程 3x2=4x+7 4、用分解因式法解方程：（、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2） 3 7 -1 先化为一般形式；先化为一般形式； 再确定再确定a、b、c,求求b2-4ac； 当当 b2-4ac 0时时,代入公式代入公式: 2 4 2 bbac x a - = 步骤归纳步骤归纳 若若b2-4ac0,方程方程 没有实数根。没有实数根。 04, 0 2 acba 右边化为右

5、边化为0,左边化成两个因式左边化成两个因式 的积；的积； 分别令两个因式为分别令两个因式为0，求解。，求解。 步骤归纳步骤归纳 选用适当方法解下列一元二次方程选用适当方法解下列一元二次方程 1、 (2x+1)2=64 ( 法法） 2、 (x-2)2-(x+)2=0 ( 法法） 3、(x-)2 -(4-x)= ( 法法） 4、 x - x-10= ( 法法） 5、 x - x-= ( 法法） 6、 x x-1=0 ( 法法） 7、 x -x- = ( 法法） 8、 y2- y-1=0 ( 法法） 2 小结：选择方法的顺序是：小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法直接开平方法 分解因式法分解因式法

6、 配方法配方法 公式法公式法 分解因式分解因式 分解因式分解因式 配方配方 公式公式 配方配方 公式公式 公式公式 直接开平方直接开平方 练习三练习三 典型例题：典型例题： (1)x2-10 x+24=0; (2)x2-8x+15=0; (3)x2+2x-99=0; (4)y2+5y+2=0; (5)3x2-1=4x; (6)2x2+2x-30=0; (7)x2+px+q=0 (p2-4q0)； v解方程解方程: (x+1)(x+2)=6 2. 已知已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10 求求a2+b2 的值。的值。 中考直击中考直击 思考思考 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判

7、别式 acb4 2 00 2 acbxax 04 2 acb 0 0 0 两不相等实根两不相等实根 两相等实根两相等实根 无实根无实根 一元二次方程 一元二次方程 根的判式是: 00 2 acbxax 判别式的情况 根的情况定理与逆定理 04 2 acb 04 2 acb 两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解) 二二、 例例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况 （1）0432 2 xx （3） 0715 2 xx （2）yy24916 2 04142434 22 acb解：（解：（1） = 判别式的应用判别式的应用:

8、所以，原方程有两个不相等的实根。所以，原方程有两个不相等的实根。 说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出 ，然后对，然后对进行计算，使进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号明朗化，进而说明的的 符号情况，得出结论。符号情况，得出结论。 1、不解方程，判别方程的根的情况、不解方程，判别方程的根的情况 例例2：当：当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x的方程：的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（）方程有两个相等的实根；（3） 方程无实根；方程无实根； 01214

9、2 22 kxkx 解：解：= 98 8161816 122414 22 2 2 k kkk kk (1).当当0 ，方程有两个不相等的实根，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即即 8 9 k (2).当当 = 0 ，方程有两个相等的实根，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即即 8 9 k (3).当当 0 ，方程有没有实数根方程有没有实数根, 8k+9 x2)，则，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由根与系数的关系得由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2= 2 1k 2 3k 1 2 3 4 2 ) 2 1 ( kk 解得k1=9,k

10、2= -3 当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。 2、设设x1，x2是方程是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数的两个实数 根，且根，且x12+x22=4，求，求k的值。的值。 解：由方程有两个实数根，得解：由方程有两个实数根，得 04) 1(4 22 kk 即-8k+40 2 1 k 由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4 经检验， k2=4不合题意，舍去。 k=0 例题回顾：例题回顾： 例例

11、1：如果如果 是方程是方程2X2+mX+3=0的一的一 个根，求它的另一个根及个根，求它的另一个根及m的值的值. 2 1 013 2 xx 21,x x 21 xx 21x x 根与系数的关系根与系数的关系练习练习 一、填空： 1、已知方程、已知方程 的两根是的两根是 ,则则 ， = 。 02 2 kxx 2、已知方程、已知方程 的一个根是的一个根是1，则另一个根是，则另一个根是 ，k 的的 值是值是 . . 3、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程 x2+px+q=0的两根互为相反数，则的两根互为相反数，则 p=_;若两根互为倒数，则若两根互为倒数，则q=_ 4、已知一元二次方程、已

12、知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是的两个根是 1 、3 ，则，则 b= ，c= . 3 1 -2 1 0 1 -4-6 5.已知方程已知方程3x2+2x-6 = 0 ,则它的两根的倒数和则它的两根的倒数和 为为 . 6.已知方程已知方程x2-bx+22=0的一根为的一根为5- , 则另一根则另一根 为为 ,b= . 3 返回返回 3 1 3510 二、选择 1、若方程、若方程 中有一个根为零，另一个根非零，则中有一个根为零，另一个根非零，则 的值为的值为 ( ) A B C D 0 2 nmxx nm, 0, 0nm0, 0nm 0, 0nm0mn 2、两根均为负数

13、的一元二次方程是、两根均为负数的一元二次方程是() A.4x2+2x+5=0 B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x+8=0 A D 三、解答题：三、解答题： 1、已知关于、已知关于x的方程的方程 ( a2 3 ) x2 ( a + 1 ) x + 1 = 0的两个的两个 实数根互为倒数，求实数根互为倒数，求a的值的值. 2、在解方程、在解方程x2+px+q=0时，小张看错了时，小张看错了p，解得方程的根，解得方程的根 为为1与与3；小王看错了；小王看错了q，解得方程的根为，解得方程的根为4与与2。这个。这个 方程的根应该是什么方程的根应该是什么? 1. 审清

14、题意，弄清题中的已知量和 未知量找出题中的等量关系。 2. 恰当地设出未知数，用未知数的 代数式表示未知量。 3. 根据题中的等量关系列出方程。 4. 解方程得出方程的解。 5. 检验看方程的解是否符合题意。 6. 作答注意单位。 列方程解应用题的解题过程。列方程解应用题的解题过程。 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 数字 一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多 1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得 的两位数比原数大27，求原两位数。 解:设十位上的数位X,则个位上的数为 一二三四五六一二三四五六日日 X-1XX+1 X-7 X X+7 X+7 X+8 XX+1 X X+7

15、X-7X-8X-6 X-1X+1 X+8X+6 例例1.(中考）中考） 某工厂计划在两年内把产某工厂计划在两年内把产 量翻一番，如果每年比上年提高的百量翻一番，如果每年比上年提高的百 分数相同，求这个百分数（精确到分数相同，求这个百分数（精确到1%） 增长率问题 解：设这个百分数为x,根据题意得 21 2 x 解答略解答略 典型题典型题: 某林场原有森林木材存量为某林场原有森林木材存量为a，木材每年以，木材每年以25的的 增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量是增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量是x，则经，则经 过一年木材存量达到过一年木材存量达到 ，经过两年木材存量，经过两年木材存量 达到达

16、到 . 返回返回 利润问题利润问题 某水果批发商场经销一种高档水果某水果批发商场经销一种高档水果,如果如果 每千克盈利每千克盈利10元元,每天可售出每天可售出500千克千克,经市场经市场 调查发现调查发现,在进货价不变的情况下在进货价不变的情况下,若每千克涨若每千克涨 价价1元元,日销售量减少日销售量减少20千克千克,现该商场要保证现该商场要保证 每天盈利每天盈利6000元元,同时又要使顾客得到实惠同时又要使顾客得到实惠,那那 么每千克应涨价多少元么每千克应涨价多少元? 分析：个利润分析：个利润销售量销售量=总利润总利润 解:设每千克水果应涨价x元, 依题意得: (500-20 x)(10+x

17、)=6000 整理得: x2-15x+50=0 解这个方程得:x1=5 x2=10 （舍去） 要使顾客得到实惠应取x=5 答:每千克水果应涨价 5元. 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果, 平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克. 经市场调查,若将该种水果价格调低至 元/千 克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之 间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 y x 7x 2000y 5x 4000y （1）求与之间的函数关系式；）求与之间的函数关系式； x 某水果经销商上月份销售一种新上市的水果, 平均售价为10元/千克,月销售量为1000千克. 经市场调查,若将该种水果价格

18、调低至 元/千 克,则本月份销售量 (千克)与 (元/千克)之 间满足一次函数关系.且当 时 ； 当 时 y x 7x2000y 5x 4000y （2）已知该种水果上月份的成本价为）已知该种水果上月份的成本价为5元千克，元千克， 本月份的成本价为本月份的成本价为4元千克元千克，要使本月份销售该种要使本月份销售该种 水果所获利润比上月份增加水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客，同时又要让顾客 得到实惠，得到实惠，那么该种水果价格每千克应那么该种水果价格每千克应调低调低至多少至多少 元？元？ x 面积问题 有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布 的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面

19、上时，各边垂下 的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到 0.1尺） 提醒：一般从面积或体积找等量关系提醒：一般从面积或体积找等量关系 解：设这个台布的长为x尺,根据题意得 （6+2x）（3+2x）=632 解答略 一元二次方程与其他知识结合一元二次方程与其他知识结合 1.一元二次方程与分式结合一元二次方程与分式结合 2 23 |3| xx x 典型题典型题:若分式若分式 的值为零的值为零, 则则x的值是的值是 . 一元二次方程与几何图形结合一元二次方程与几何图形结合 典型题典型题:若一元二次方程若一元二次方程x2-11x+28=0的两根恰的两根恰 好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长

20、好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长 是是 . 在三角形在三角形ABC中，中，B=60，BA=24cm， BC=16cm现有动点现有动点P从点从点A出发，沿射线出发，沿射线AB向点向点B方向方向 运动，动点运动，动点Q从点从点C出发，沿射线出发，沿射线CB也向点也向点B方向运方向运 动如果点动如果点P的速度是的速度是4cm/秒，点秒，点Q的速度是的速度是2cm/秒，它秒，它 们同时出发，求：们同时出发，求： （1）几秒钟后，）几秒钟后，PBQ的面积是的面积是ABC面积的一半？面积的一半？ （2）在第（）在第（1）问的前提下，）问的前提下，P，Q两点之间的距离是多少？两点之间的距离是多少？

21、B AC 动态几何动态几何 P Q P A B C Q 效果检测效果检测 1.方程方程x2= 7x 的解是的解是 . 2.对于任意的实数对于任意的实数x,代数式代数式x25x10的值是一个的值是一个( ) A.非负数非负数 B.正数正数 C.整数整数 D.不能确定的数不能确定的数 3.能使分式能使分式 的值为零的所有的值是的值为零的所有的值是( ) A、1 B、 -1 C、 1或或 -1 D、2或或 -1 4.方程方程2x2-2x-1=0的解是的解是 5.若关于的方程若关于的方程x2-3x+q=0的一个根的一个根x1的值是的值是2 则另一根则另一根x2及及q的值分别是（的值分别是（ ） A.x

22、2 =1,q=2 B. x2 = -1,q =2 C. x2 =1,q = -2 D. x2 = -1,q = -2 12 1 2 xx x 返回返回 效果检测效果检测 6.把方程把方程x2+3mx=8的左边配成一个完全平方式的左边配成一个完全平方式, 在方程的两边需同时加上的式子是在方程的两边需同时加上的式子是 A. 9m2 B. 9m2x2 C. D. 7.已知已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则则m2+n2的值的值 是是 A.3 B.3或或-2 C.2或或-3 D. 2 22 4 9 xm 2 4 9 m 返回返回 8.下面是张潇同学在测验中解答的填空题，其中答对下面是张潇同学在测验中解答的填空题，其中答对 的是的是 A若若x2=4，则，则x=2 B方程方程x(2x-1)=2x-1的解为的解为x=1 C方程方程x2+2x+2=0实数根的个数为实数根的个数为0个个 D方程方程x2-2x-1=0有有两个相等两个相等的实数根的实数根 9.已知两数的和是已知两数的和是4,积是积是1，则此两数为，则此两数为 . 效果检测效果检测 返回