2-5两个重要极限PPT学习教案

1、会计学1 2-5两个重要极限两个重要极限PPT课件课件 1.夹逼准则 准则I 如果数列 nn yx ,及 n z满足下列条件: 那末数列 n x的极限存在 , )3,2, 1()1( n = L nnn yxz )2(lim,lim, nn nn yaza = 且lim. n n xa = = 第1页/共31页 证因为 , nn ya za 所以 0, 12 0,0,NN 当 时恒有 2 nN , n za 使得取 12 max,NNN= = 上两式同时成立, 本准则可以推广到函数的极限. 即 , n aya, n aza 当 时, 恒有 nN , nnn ayxza 即 成立, n xa 所

2、以 lim. n n xa = = 当 时恒有 1 nN , n ya 第2页/共31页 且等于A. 那末 存在, 0 () lim( ) xx x f x 或或 准则 I和准则I 称为夹逼准则. 注意: 键是构造利用夹逼准则求极限关 ,与出 n y n z的极限是 易求的.与并且 n y n z 准则 如果当(或)时,有 0 0 ()xUx I I |xM (1)( )( )( )g xf xh x 00 ()() (2) lim( ), lim( ), xxxx xx g xAh xA = 或或或或 第3页/共31页 222 111 lim(). 12 n nnnn LL求求 解 22 1

3、1 1nnn LL 2 lim n n nn 又又 , 1= = 2 lim 1 n n n , 1= = 由夹逼定理得 . 1) 1 2 1 1 1 (lim 222 = = nnnn n L 例1 2 , 1 n n 2 n nn 1 lim 1 1 n n = = 2 1 lim 1 1 n n = = 第4页/共31页 x 1 x 2 x 3 x 1 n x n x 2.单调有界准则 满满足足条条件件如如果果数数列列 n x 121 , nn xxxx LLLL 单调增加 , 121 LL nn xxxx 单调减少 单调数列 几何解释: AM 准则II 单调有界数列必有极限. 第5页/

4、共31页 例2 .) (333 的极限存在式 重根证明数列nxn=L 证 , 1nn xx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的 n x , 33 1 = =x又又, 3 k x假定假定 kk xx = = 3 1 33 , 3 ;是是有有界界的的 n x .lim存存在在 n n x ,3 1nn xx = = ,3 2 1nn xx = = ),3(limlim 2 1n n n n xx = = ,3 2 AA = = 2 131 , 2 131 = = = =AA解解得得 (舍去) . 2 131 lim = = n n x 第6页/共31页 例3（2008010304） 设函数 在

5、内单调有界， ( )f x(,) n x 为 数列，下列命题正确的是（ B ）。 （A）若 收敛，则 收敛。 n x () n f x （C）若 收敛，则 收敛。 n x () n f x （B）若 单调，则 收敛。 n x () n f x （D）若 单调，则 收敛。 n x () n f x 第7页/共31页 sin, tan, xBC xAB xAD = = = = = 于于是是有有弧弧 .ADO ，得得作作单单位位圆圆的的切切线线 ,xOAB的的圆圆心心角角为为扇扇形形,BCOAB的高为的高为 0 11 sin ( )lim x x x = = 设单位圆圆心为 ,O 圆心角 ,AOBx

6、= (0). 2 x 第8页/共31页 第9页/共31页 .0 2 也也成成立立上上式式对对于于 x ,lim11 0 = = x . 1 sin lim 0 = = x x x 注意 公式 0 sin lim1 x x x = = 的特点是 0 0 型极限， sin “ ” 右边变量形式与分母上的 变量形式相同，且该变量趋于零. sintan ,xxx即即 sin cos1, x x x ,coslim1 0 = = x x 第10页/共31页 例4 求极限 x x x tan lim 0 解 0 tan lim x x x 例5 求 x x x arcsin lim 0 解令 .,arcs

7、in00= =txxt时时则则 所以 0 arcsin lim x x x 0 sin lim1 cos x x xx = 0 lim1 sin x t t = 解 2 2 0 2 sin2 lim x x x = =原原式式 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 x x x = = 2 0 ) 2 2 sin (lim 2 1 x x x = = 2 1 2 1 = =. 2 1 = = 例6 小结:利用三角函数恒等变形的技巧. 2 0 1cos lim. x x x 求 第11页/共31页 小结:利用加项、减项与三角函数恒等变形. 例7 求 2 0 1coscos2 lim

8、x xx x 解 原式 2 0 1coscoscoscos2 lim x xxxx x = = 2 0 1coscos (1cos2 ) lim x xxx x = = 22 2 0 2sincos2sin 2 lim x x xx x = = 2 2 22 0 2sin 2cossin 2 lim x x xx xx = 2 2 22 0 2sin 2cossin 2 lim 4 4 x x xx xx = 15 2 22 = 第12页/共31页 类似地, 1 lim(1) n n e n = 1 (2)lim(1), x x e x = 设 1 (1) n n x n = 2 1(1)1(

9、1)(1)1 1 1!2! n nn nn nnn nnnn = LL LL 111121 11(1)(1)(1)(1). 2! n nnnnn = = LLLL 1 11112 11(1)(1)(1) 2!1!12 1112 (1)(1)(1)(1). 1(1)!121 n x nnnn nn nnnnn = = LL LLLL 第13页/共31页 , 1nn xx 显显然然 ;是是单单调调递递增增的的 n x ! 1 ! 2 1 11 n xn L 1 2 1 2 1 11 n L 1 2 1 3 = = n , 3 ; n x是是有有界界的的 lim n n x 存在. 记为 )7182

10、8. 2(L= =e 1 lim(1). n n e n = 1,xxx1x 时， ,e= = 1 lim (1) 1 x x x 11 11 11 11 lim()lim() x xx xx = = ,e= = 11 lim(1)lim(1) x xx xx = 1 (1) 1 x x 1 11 11 ()(), xx xx 1 1 lim(1) x x x 1 lim (1). x x e x = 第14页/共31页 11 lim (1)lim(1) xt xt xt = 1 lim() t t t t = = 1 lim() t t t t = = 1 lim(1) 1 t t t =

11、1 0 lim(1) x x xe = 1 11 lim(1)(1) 11 t t tt = . e= = 1 lim(1) x x e x = 令 1 ,t x = = 1 0 1 lim(1)lim(1) t x xt x t =. e= = ,tx= = 令 第15页/共31页 的特点是 型, 1 函数形式为幂指函数, 注意: 1 lim(1) x x e x = 或 1 0 lim(1) x x xe = 指数趋于 , 底数由两 部分构成,第一项为1, 第二项趋于零, 与括号外的指数互为倒数. 且第二项 则不能用此公式. 若所求极限不具备 上述特点, 第16页/共31页 解 例8 求

12、1 lim(1) . x x x 原式 1 1 lim(1) x x x = 1 lim 1 (1) x x x = = 1 . e = = 解 例8 求 2 3 lim(). 2 x x x x 原式 2 24 11 lim(1) (1) 22 x x xx = 2 .e= = 2 1 lim(1) 2 x x x = 第17页/共31页 例9 求极限 x a x x 1 0 lim 解 令 且 0 x 时, . 0t1, x at= 则 log (1), a xt= 所以 0 1 lim x x a x 0 lim log (1) t a t t = = 特殊地 1 1 0 = = x e

13、 x x lim 0 1 1 1 lim log () t a t t = = 1 0 1 1 lim log () t t a t = = 1 ln loga a e = 第18页/共31页 例 10 求极限 ),(,lim00 ba ax bb ax ax 解 原式 (1) lim ax a xa bb xa = = 解 原式= 2 2 2 2 2 sin 2 1 limlim2 2 1 1 xx x x x x x x = (0503,0504) 极限 _ 1 2 sinlim 2 = = x x x x 例 11 ln a bb= = 2 2 2 2 sin 2 1 lim 2 1 1

14、 x x x x x x x x 第19页/共31页 解 由题设及 有 0sinlim 0 = = x x 0)(lim 0 = = ae x x 又因为 0 sin lim(cos) x x x xb ea 1= =a 故 0 lim(cos) x xb 所以 (0404) 若 , 则 5)(cos sin lim 0 = = bx ae x x x _,= = =ba 例12 0 sin lim(cos) x x xb x = 5= = 15b=4b= = )(cos sin limbx e x x x x x = = 1 0 第20页/共31页 解: 1 4 0 2sin lim | 1

15、 x x x ex x e 1 4 0 2sin lim1 1 x x x ex x e = 1 4 0 2sin lim | 1 x x x ex x e 又 43 4 0 2sin lim1 1 xx x x eex x e = 1= = 原式 (000105) 1 4 0 2sin lim | 1 x x x ex x e 求 例 13 第21页/共31页 练习(1)求 解 1 = = = = x x x x xx )sin( lim sin lim x x x sin lim (2) 求极限 )(),(lim01 aan n n 解 令 , )(log , na n n x nxa =

16、 = = 1 1 1则则 n 时, . 0 n x 所以 )(log lim)(lim na n n n n x x an = = 1 1 a e a ln log = = = 1 第22页/共31页 2. 两个重要极限 1. 夹逼准则 0 sin 1 lim1; = = 某过程 1 0 2 lim(1). e = 某过程 设 为某过程（例如， 、 等）中的无穷小. 0 xx x 第23页/共31页 求极限 x xx x 1 93lim 思考题解答 x xx x 1 93lim x x x x x 1 1 1 3 1 9lim = = x x x x x = = 3 1 3 3 1 1lim9

17、99 0 = = = =e 第24页/共31页 0lim ( )( ) x g xx =)(limxf x ( ), 则 , 总有 设对任意的 , 且 )()()(xgxfx , x (A) 存在且等于零 (B)存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在 解 由极限的四则运算和夹逼定理知 选 D )0004,9903( 第25页/共31页 解 _ )21( 12 lnlim= = n n an nan 2 1 a 设常数 , 则 用重要极限 a an n n n anan nan 21 1 )21( )21( 1 1lim )21( 12 lnlim = = a e a 21 1

18、 ln 21 1 = = = 练习 (0304) _)1ln(1lim 2 0 = = x x x 2 e (0003, 0204) 第26页/共31页 ._3cotlim4 0 = = xx x 、 一、填空题: ._ sin lim1 0 = = x x x 、._ 3sin 2sin lim2 0 = = x x x 、 ._ 2 sin lim5= = x x x 、 ._)1(lim6 1 0 = = x x x、 ._ cot lim3 0 = = x xarc x 、 第27页/共31页 x x x 2tan 4 )(tanlim2 、 ._) 1 (lim7 2 = = x x x x 、._) 1 1(lim8= = x x x 、 xx x x sin 2cos1 lim1 0 、 x x ax ax )(lim3 、 n n n n ) 1 1 (lim4 2 、 二、求下列