同济六版高等数学第八章第三节课件PPT学习教案

1、会计学1 同济六版高等数学第八章第三节课件同济六版高等数学第八章第三节课件 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 那么, 方程F(x, y, z)0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程F(x, y, z)0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x, y, z)0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)0, v曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)0 有下述关系: 下页 第1页/共31页 例1 建立球心在点M0(x0, y0, z0)、半径为R的球面的方程. 解 设M(x, y, z)是球面上的任一点, 那么 |M0M|

2、R, 或 (xx0)2(yy0)2(zz0)2R2. 因为球面上的点的坐标一定满足上述方程, 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程, 所以上述方程就是所求的球面的方程. 下页 即 Rzzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()(, 第2页/共31页 例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2, 1, 4), 求线段AB的垂直平分面的方程. 由题意知道, 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹. 设M(x, y, z)为所求平面上的任一点, 则有 |AM|BM|, 等式两边平方, 然后化简得 2x6y2z70. 这就是所求的平面的方程. 下页 解 即 222222 )4() 1()2()

3、 3()2() 1(zyxzyx. 第3页/共31页 (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时, 建立这曲面的方程; (2)已知坐标x、y和z间的一个方程时, 研究这方程所表示的曲面的形状. v研究曲面的两个基本问题 通过配方, 原方程可以改写成 (x1)2(y2)2z25. 一般地, 三元二次方程 Ax2Ay2Az2DxEyFzG0 的图形就是一个球面. 首页 例3 方程x2y2z22x4y0表示怎样的曲面？ 解 这是一个球面方程, 球心在点)0 , 2 , 1 ( 0 M、半径为5R. 第4页/共31页 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的

4、轴. 下页 例如例如 : 第5页/共31页 故旋转曲面方程为 , ),(zyxM 当绕 z 轴旋转时 , 0),( 11 zyf ,), 0( 111 CzyM若点 给定 yoz 面上曲线 C: ), 0( 111 zyM ),(zyxM 1 22 1, yyxzz 则有 0),( 22 zyxf 则有 该点转到 0),(zyf o z y x C 第6页/共31页 下页 提问: 曲线f(y, z)0绕y轴旋转所成的旋转曲面 的方程是什么？ 0),(:zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 第7页/共31页 将方程 zycot中的 y 改成 22 yx , 得 例4 试建立顶点在坐

5、标原点O, 旋转轴为z轴, 半顶角为的圆锥面的方程. 解 在坐标面yOz内, 与z轴夹角为的直线的方程为 zycot, 或 z2a2(x2y2), 这就是所求的圆锥面的方程, 其中acot . 下页 曲线f(y, z)0绕 z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程为 0) ,( 22 zyxf. cot 22 yxz, 第8页/共31页 绕 x 轴和 z 轴旋转所在的旋转曲面的方程分别为 解 旋转双叶双曲面旋转单叶双曲面 首页 例 5 将 zOx 坐标面上的双曲线1 2 2 2 2 c z a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程. 例5 1 2 22 2 2 c zy a

6、 x , 1 2 22 2 2 c zy a x 1 2 2 2 22 c z a yx . 第9页/共31页 在空间直角坐标系中, 过xOy面上的圆x2y2R2作平行于z轴的直线l, 则直线l上的点都满足方程x2y2R2, 这说明直线l 一定在x2y2R2表示的曲面上. 例6 方程x2y2R2表示怎样的曲面？ 因此这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy面上的圆x2y2R2叫做它的准线, 这平行于z轴的直线l叫做它的母线. 下页 解 第10页/共31页 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面, 定曲线C叫做柱

7、面的准线, 动直线L叫做柱面的母线. v柱面 上面我们看到, 不含z的方程x2y2R2在空间直角坐标系中表示圆柱面, 它的母线平行于z轴, 它的准线是xOy面上的圆x2y2R2. 一般地, 只含x、y而缺z的方程F(x, y)0, 在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy面上的曲线C: F(x, y)0. 下页 第11页/共31页 方程y22x表示母线平行于z轴的柱面, 它的准线是xOy面上的抛物线y22x, 该柱面叫做抛物柱面. 方程xy0表示母线平行于z轴的柱面, 其准线是xOy面的直线xy0, 所以它是过z轴的平面. v柱面举例 下页 第12页/共31页 在空间直角坐

8、标系中, 方程G(x, z)0和方程H(y, z)0分别表示什么柱面？ 方程 xz0表示什么柱面？ 讨论 方程G(x, z)0表示母线平行于y轴的柱面. 方程H(y, z)0表示母线平行于x轴的柱面. 方程xz0表示母线平行于y轴的柱面, 其准线是zOx面上的直线xz0. 所以它是过y轴的平面. 提示 首页 第13页/共31页 x z y 2 l 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴 ; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴 ; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 表示方程0),(yxF 表示

9、方程0),(zyG 表示方程0),(xzH x y z 3 l x y z 1 l 第14页/共31页 下页 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法，伸缩法截痕法，伸缩法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx 222 0JIzHyGx (二次项系数不全为 0 ) 第15页/共31页 了解曲面的形状的方法之一是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的立体形状. 这种方法叫做截痕法.

10、 v研究曲面的一种方法截痕法 第16页/共31页 v研究曲面的一种方法伸缩变形法 设S是一个曲面, 其方程为F(x, y, z)0, S是将曲面S沿x轴方向伸缩倍所得的曲面. 显然, 若(x, y, z) S, 则(x, y, z)S; 若(x, y, z)S, 则 Szyx) , , 1 ( . 这就是曲面S的方程为. 因此, 对于任意的(x, y, z)S, 有 0) , , 1 (zyxF , 第17页/共31页 ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x 倍轴方向伸缩再把旋转椭球面沿 a b y , 倍轴方向伸缩沿把球面 a c zazyx 2222 , 得

11、旋转椭球面 1 2 2 2 22 c z a yx , 得椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x . 椭球面的形成 第18页/共31页 z y x ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x (1)范围： czbyax, (2)与坐标面的交线：椭圆 , 0 1 2 2 2 2 z b y a x , 0 1 2 2 2 2 x c z b y 0 1 2 2 2 2 y c z a x 第19页/共31页 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 与)( 11 czzz的交线为椭圆： 1 zz (4) 当 ab 时为旋转椭球面; 同样

12、)( 11 byyy的截痕）（axxx 11 及 也为椭圆 . 当abc 时为球面 . (3) 截痕: 1 )()( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 zc y zc x c b c a cba,(为正数) z 第20页/共31页 z q y p x 22 22 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) z y x 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. 把 zOx 面上的抛物线z a x 2 2 绕 z 轴旋转, 得旋转抛物面 z a yx 2 22 , 倍轴方向伸缩再把旋转抛物面沿 a b y , 得椭圆抛物面 z b y a x 2 2 2 2 . 伸缩 第2

13、1页/共31页 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 22 22 xy z pq ( p , q 同号) 双曲抛物面与平面xt的截痕 l 为平面xt上的抛物线 截痕 2 2 2 2 a t z b y , 当 t 变化时, l 的形状不变, 位置只作平移, 而 l 的顶点的轨迹L为平面y0上的抛物线 2 2 a x z. 第22页/共31页 (1)(1)单叶双曲面单叶双曲面 by 1 ) 1 上的截痕为平面 1 zz 椭圆椭圆. 时, 截痕 为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于x 轴 ； 虚轴平行于z 轴 ） 1 yy z x y ),(1 2 2 2 2 2 2

14、 为正数cba c z b y a x 1 yy 平面 上的截痕情况: 双曲线: 第23页/共31页 虚轴平行于x 轴 ） by 1 )2时, 截痕 为 0 c z a x )(bby或 by 1 )3时, 截痕为 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x (实轴平行于z 轴; 1 yy z x y z x y 相交直线: 双曲线: 0 第24页/共31页 ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x 上的截痕为平面 1 yy 双曲线 上的截痕为平面 1 xx 上的截痕为平面)( 11 czzz椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 z x y

15、 o 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 单叶双曲面1 1双叶双曲面 图形图形 第25页/共31页 ),( 2 2 2 2 2 为正数baz b y a x 截痕 1 )()( 2 2 2 2 bt y at x . 倍即得椭圆锥面轴方向伸缩沿把圆锥面 a b yz a yx 2 2 22 . 当t0时, 截痕为平面zt上的椭圆 当t0时, 截痕为一点(0, 0, 0); 椭圆锥面与平面zt的截痕: 椭圆锥面的形成 第26页/共31页 1. 空间曲面 三元方程0),(zyxF 球面 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 旋转曲面 如, 曲线 0 0),( x zyf 绕 z 轴的旋转曲面: 0),( 22 zyxf 柱面 如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱 面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 . 第27页/共31页 三元二次方程 ),(同号qp 椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 抛物面 : 椭圆抛物面双曲抛物面 z q y p x 22 22 z q y p x 22 22 双曲面: 单叶双曲面 2 2 2