同济大学线性代数课件PPT学习教案VIP

1、会计学1 同济大学线性代数课件同济大学线性代数课件 1. 二阶行列式 二元线性方程组 )2( )1( 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 第1页/共95页 21122211 211211 2 21122211 212221 1 , aaaa abba x aaaa baab x 当 0 21122211 aaaa 时，方程组有唯一解 用消元法 得 2222121 212221121122211 )( bxaxa baabxaaaa 1222 )2() 1(aa 第2页/共95页 记 21122211 2221 1211 aaaa aa aa 则有 221 111 2 222

2、 121 1 1 , 1 ba ba D x ab ab D x 2221 1211 aa aa D 其中其中 ., 221 111 211211 222 121 212221 ba ba abba ab ab baab 于是 第3页/共95页 为为称称 21122211 aaaa 二阶行列式，记作 也称为方程组的系数行列式。 2221 1211 aa aa 行标 列标 (1,2) 元 素 第4页/共95页 对角线法则: 2221 1211 aa aa 主对角线 副对角线 2112a a 2211a a 第5页/共95页 例. 解方程组 12 1223 21 21 xx xx 解： 07)4(

3、3 12 23 D 14 11 212 1 D21 12 123 2 D , 2 7 14 1 1 D D x3 7 21 2 2 D D x 第6页/共95页 2. 三阶行列式 类似地，讨论三元线性方程组 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 第7页/共95页 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 322311332112312213 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 为三阶行列式, 记作 称 第8页/共95页 对角线法则： 333231 232

4、221 131211 aaa aaa aaa 332211 aaa 312312 aaa 322113 aaa 312213 aaa 332112 aaa 322311 aaa 第9页/共95页 例： 381 141 102 4164824 8)1(2310)1()4(1 811)1()1(03)4(2 第10页/共95页 定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。 把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 321 = 6 第11页/共95页 例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有32

5、1 = 6种，即 一般地，Pn= n(n-1)321= n! P3 = 321 = 6 第12页/共95页 标准次序：标号由小到大的排列。 定义2： 在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。 第13页/共95页 一个排列的逆序数的计算方法： 设 p1 p2 pn 是 1，2，n 的一个排列， 用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 t = t1 + t2 + + tn pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为 第14页/共95页 例4：求排列 32514 的逆序数。 解

6、： 5 13010 54321 t ttttt 排列的逆序数排列的逆序数 , 第15页/共95页 逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。 例如：123 t = 0 为偶排列， 312 t = 2 为偶排列。 321 t = 3 为奇排列， 第16页/共95页 观察二、三阶行列式，得出下面结论： 1. 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积 。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性 所确定。 第17页/共95页 定义1： n! 项 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n nppp t

7、aaa 21 21 )1( 的和 n nppp t aaa 21 21 )1( 称为 n 阶行列式 (n1)，记作 第18页/共95页 例1：写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项。 42342311 aaaa 44322311 aaaa 第19页/共95页 例2：计算四阶行列式 hg fe dc ba D 00 00 00 00 D = acfh + bdeg adeh bcfg 第20页/共95页 重要结论： (1) 上三角形行列式 nn n n a aa aaa D 00 0 222 11211 nn aaa 2211 第21页/共95页 (2) 下三角形行列式 nn aaa 2

8、211 nnnn aaa aa a D 21 2221 11 0 00 第22页/共95页 (3) 对角行列式 nn a a a D 22 11 nn aaa 2211 第23页/共95页 (4) 副对角行列式 1 1, 2 1 n n n a a a D 11,21 2 )1( )1( nnn nn aaa 第24页/共95页 行列式的等价定义 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 n njjj t aaa 21 21 1)( niii t n aaa 21 21 1)( 第25页/共95页 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 1

9、1211 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22212 12111 T 称 DT 为 D 的转置行列式。 设则 D 经过“行列互换”变为 DT 第26页/共95页 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 113 102 011 110 101 321 第27页/共95页 证明：设 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 nnnn n n bbb bbb bbb D 21 22221 11211 T 则 jiij ab ), 2 , 1,(nji 由行列式定义 n njjj t bbbD 21 21 T 1)( Daaa njjj t n 21

10、 21 )1( 第28页/共95页 性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。 321 101 110 110 101 321 31 rr 互换 s、t 两行： ts rr 互换 s、t 两列： ts cc “运算性质” 第29页/共95页 推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为 0 。 0 321 101 321 321 101 321 31 rr 第30页/共95页 性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 110 101 642 2 1 2 110 101 321 1 r “运算性质” 用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列

11、： kri kci 第31页/共95页 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。 110 101 321 2 110 101 642 第32页/共95页 性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。 0 321 101 321 )2( )( 321 101 642 2 1 1 r 第33页/共95页 性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。 nnn ini n nnn ini n nnn ininii n aa cc aa aa bb aa aa cbcb aa 1 1 111 1 1 111 1 11 111 110 10

12、1 210 110 101 111 110 101 211101 第34页/共95页 性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。 用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上： 用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上： ts krr ts kcc 110 420 321 110 101 321 12 rr “运算性质” 第35页/共95页 利用行列式性质计算： （化为三角形行列式） 例1：计算 2221 1642 1411 2111 1 )( 3351 1102 4315 2113 2 )( 第36页/共95页 2221 1642

13、1411 2111 D 0310 3420 3500 2111 2 14 13 12 rr rr rr 3500 3420 0310 2111 42 rr 3500 31000 0510 2111 2 23 rr 第37页/共95页 45 9000 3500 0510 2111 2 31000 3500 0510 2111 3443 rrrr 第38页/共95页 1353 2101 5314 3112 3351 1102 4315 2113 41 cc D 1000 25105 5182419 3101611 3 5 3 14 13 12 cc cc cc 1000 2500 518121 3

14、1041 第39页/共95页 40 1000 2500 51810 31018 1000 2500 518112 31014 第40页/共95页 例2：计算 3111 1311 1131 1113 D “行等和”行列式 第41页/共95页 3111 1311 1131 1111 6 3116 1316 1136 1116 3111 1311 1131 1113 各各列列加加到到第第一一列列 48 2000 0200 0020 1111 6 各行减去第一行各行减去第一行 第42页/共95页 例10：设 kkk k kkk k bb bb D aa aa D 1 111 2 1 111 1 证明：

15、 21D DD nnnnkn nk kkk k bbcc bbcc aa aa D 11 111111 1 111 0 第43页/共95页 证明：利用行的运算性质 r 把 1 D 化成下三角形， kk kkk pp pp p r D 11 1 11 1 再利用列的运算性质 c 把 2 D 化成下三角形， nn nnn qq qq q c D 11 1 11 2 第44页/共95页 对 D 的前 k 行作运算 r，后 n 列作运算 c, 则有 nnnnkn k kkk qqcc qcc pp p c r D 11 11111 1 11 211111 DDqqpp nnkk 第45页/共95页 4

16、3741 21511 00301 00021 00111 D 例 301 021 111 43 21 2 第46页/共95页 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 aa aa a aa aa a aa aa a 问题：一个 n 阶行列式是否可以转化为若干个 n1 阶行列式来计算？ 对于三阶行列式，容易验证： 第47页/共95页 定义1：在 n 阶行列式中，把元素 ij a 所在的第 i 行 和第 j 列划去后，余下的 n1 阶行列式叫 ij a 的余子式, 记为 ij M ij ji ij

17、 MA 1 称为 (i, j)元素 的代数余子式。 做 (i, j) 元素 ij a , 同时 第48页/共95页 例如： 444241 343231 141211 23 aaa aaa aaa M 2323 32 23 1MMA 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 考虑( 2, 3) 元素 ( 2, 3)元素的余子式( 2, 3)元素的代数余子式 第49页/共95页 定理3：行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 ),(niAaAaAaD niniiiii 21 2211 ),(nj

18、AaAaAaD njnjjjjj 21 2211 第50页/共95页 2 10 21 )1()1( 11 32 )1(1 )1(01 2 110 101 321 3212 232221 AAAD 行展开行展开按第按第 第51页/共95页 证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。 (1) nnnn n aaa aaa a D 21 22221 11 00 利用上一节例10的结论有 111111 11 111111 1AaMaMaD )( 第52页/共95页 (2)设 D 的第 i 行除了 ij a nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 把 D 转化为 (1) 的情

19、形 外都是 0 。 第53页/共95页 先把 D 的第 i 行依次与第 i 1行, 第 i 2行, , 第 1 行交换, 经过 i 1次行交换后得 nnnjni nijii nijii nj ij i aaa aaa aaa aaa a D , , )( 1111 1111 1111 1 00 1 第54页/共95页 再把 第 j 列依次与第 j1列, 第 j2列, , 第 1 列交换, 经过 j1次列交换后得 nnjnjnnjn nijijiiji nijijiiji njjj ji ji aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa a D 111 11111111 11111111 1

20、1111111 11 0000 11 , , )()( jijiji ji ji AaMa )( 1 第55页/共95页 (3) 一般情形, 考虑第 i 行 nnnn inii n aaa aaa aaa D 21 21 11211 000000 第56页/共95页 nnnn i n aaa a aaa 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa 21 2 11211 00 nnnn in n aaa a aaa 21 11211 00 niAaAaAa ininiiii , 21 2211 第57页/共95页 例 232221 101 2 110 101 321 AAA

21、)( 行展开行展开按第按第 或者 110 101 321 101 232221 AAA)( 那么 ? 233222211 AbAbAb 110 321 321 bbb 第58页/共95页 推论：行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即 jiAaAaAa njnijiji , 0 2211 jiAaAaAa jninjiji , 0 2211 第59页/共95页 综上，得公式 ji jiD AaAaAa njnijiji ，0 2211 , ji jiD AaAaAa jninjiji ，0 2211 , ji n k kjki DAa 1 或或 ji

22、n k jkik DAa 1 或或 第60页/共95页 例12: 证明范德蒙德( Vandermonde )行列式 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 jin ji n n nn n n n xx xxx xxx xxx D)( )1( 第61页/共95页 证明：用数学归纳法 12 21 2 11 xx xx D, )( 12 ji ji xx (1) 当 n = 2 时, 第62页/共95页 (2) 设 n1 阶范德蒙德行列式成立, 则 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 n n nn n n n xxx xxx xxx D 1 nnn rxr 21 nnn

23、rxr 12 rxr n 0 0 0 1111 1 2 12 2 21 2 1 112211 121 )()()( )()()( nn n nn n n n nnnnn nnnn xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxx 第63页/共95页 )( nj xxjn列列的的公公因因子子列列展展开开，再再提提出出第第按按第第 2 1 2 2 2 1 121 121 1 111 1 n n nn n nnnn n xxx xxx xxxxxx )()()( = )()()( j jin innnn xxxxxxxx 11 121 )( j jin i xx 1 第64页/共95页 1jin

24、 jin xxD)( )()( 1221 nnnnnn xxxxxxxx )()( 212111 nnnn xxxxxx )( )( 12 2313 xx xxxx 有 2 1)( nn 个因子! 第65页/共95页 例： 27881 9441 3221 1111 D 4 1 5 ( 1) ( 4) 3 240 第66页/共95页 例： 27881 9441 3221 1111 D 设 求 14131211 AAAA 第67页/共95页 解: 27881 9441 3221 1111 14131211 AAAA 4 1 5 ( 1) ( 4) 3 240 第68页/共95页 例： 4444 2

25、222 1111 dcba dcba dcba D 第69页/共95页 0 0 0 1111 222222222 )()()( )()()( dccdbbdaa dccdbbdaa dcdbda D 3 2 4 rdr 23 drr 12 drr )()()( )()()( dccdbbdaa cbadcdbda 222 41 111 1 按第4列展开，然后各列的提出公因子 = 第70页/共95页 222333 111111 cba cbad cba cbadcdbda)()( )()()()()()(dcbadcdbcbdacaba 第71页/共95页 例： n D 001 0301 002

26、1 1111 第72页/共95页 n c n cc 1 2 1 21 n i n i 000 0300 0020 111 1 1 2 )( ! n i i n 2 1 1 D 第73页/共95页 例： baaaa abaaa aabaa aaaba D n n n n 321 321 321 321 第74页/共95页 1 13 12 rr rr rr n bb bb bb aaaba n 00 00 00 321 D 第75页/共95页 b b b aaaba n n i i 000 000 000 32 1 1 21 )()( n n bbaaa n ccc 21 第76页/共95页 Cr

27、amer法则：如果线性方程组 )(11 2211 22222121 11212111 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 的系数行列式不等于零， 第77页/共95页 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 0 即 ., D D x D D x D D x n n 2 2 1 1 则线性方程组(11)有唯一解， 第78页/共95页 其中 nnjnnjnn njj j aabaa aabaa D 111 11111111 , , ),(njAbAbAbD jnnjjj 21 2211 第79页/共95页 证明： njnnjn

28、nnnn jjnn jjnn AbAxaxaxa AbAxaxaxa AbAxaxaxa )( )( )( 2211 2222222121 1111212111 得得个个方方程程的的依依次次乘乘方方程程组组 列列元元素素的的代代数数余余子子式式的的第第用用 ,)( , n AAAjD jnjj 11 21 第80页/共95页 再把 n 个方程依次相加，得 n k jkk n n k jknkj n k jkjk n k jkk Ab xAaxAaxAa 1 11 1 1 1 第81页/共95页 D D x D D x D D x n n , 2 2 1 1 当 D0 时,方程组(1)也即(11

29、)有唯一的解 于是 )(,121njDDx jj 第82页/共95页 例1：用 Cramer 法则解线性方程组。 0674 522 963 852 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 第83页/共95页 解： 6741 2120 6031 1512 D 21 2rr 24 rr 12770 2120 6031 13570 1277 212 1357 21 2cc 23 2cc 277 010 353 27 33 27 第84页/共95页 6740 2125 6039 1518 1 D81 6701 2150 6091 1582 2 D 108 6041 2520 6931 1812 3 D27 0741 5120 9031 8512 4 D 27 ,3 27 81 1 1 D D x所所以以, 4 2 x, 1 3 x. 1 4 x 第85页/共95页 定理4： 定理4： Cramer 法则也可以叙述为 定理 4 的逆否命题是 第86页/共95页 nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa b