人船模型的建立及其应用

1、人船模型”的建立及其应用山东省高青一中 于正和动量守恒是高中的重点内容之一，也是高考考查的主要内容在动量守恒问题中常见到这样一类问题：初态时系统总 动量为零，在物体发生相对运动时，系统某一方向的动量守恒（如水平方向） 对于这类问题我们可以借用“人船模型”很 方便的解决建模 如图 1 所示，长为 、质量为 的小船停在静水中，质量为 的人从 静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人对地面的位移各为多少？解析：以人和船组成的系统为研究对象，在人由船头走到船尾的过程中，系 统在水平方向不受外力作用，所以整个系统在水平方向动量守恒当人起步加速 前进时，船同时向后做加速运动；人匀速运动，则船匀速运动

2、；当人停下来时， 船也停下来 设某时刻人对地的速度为 v，船对地的速度为 V，取人行进的方向为 正方向，根据动量守恒定律有： mv MV=0即 V mvM因为人由船头走到船尾的过程中，每一时刻都满足动量守恒定律，所以每一人船时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量之比成反比因此人由船头走到船尾的过程中，人的平均速度均速度 V 也与它们的质量成反比，即们的质量成反比，即 s船 m s人 M图1v 与船的平V m 而人的位移 s人=v t ，船的位移 s 船=V t ，所以船的位移与人的位移也与它 vM式是“人船模型”的位移与质量的关系，此式的适用条件：原来处于静止状态的系统，在系统发生相对运动

3、的过程中，某一个方向的动量守恒由图可以看出： s 船 s 人 = 由 两式解得 s人M Ls船m LM m M m应用模型解题例 如图所示，斜面长为 L，倾角为 、质量为 M 的斜面顶端上，有一质量为 m、边 长为 l 的正方形小物块由静止开始下滑，若不计一切摩擦，求小物块由顶端刚滑到底端过程中 斜面在水平面上滑行的位移解析：设末状态物块和斜面对地的速度分别为v、V，以斜面的运动方向为正方向，由动量守恒得： MV mv =0由“人船模型”知：Ms1 ms2 =0由图知： s1+s2=（ Ll ）costt图2由以上两式解得s1=mMm(L l)cos例 2 如图所示，质量为 m、半径为 R的小

4、球，放在半径为 2R、质量为 2m的大空心球内大球开始静止在光滑的水平面上，当小球从图示位置无初速度沿大球内壁滚到最低点时，大球移动的距离是 解析：设大球运动的位移为 s，由图 3 知小球运动的位移为 （R s） 由“人船模型”知两球在水平方向动量守恒，因此有m（Rs） 2ms解得： s R3R-ss图3例 3如图所示，光滑水平面上有一小车，小车上固定一杆，总质量为M；杆顶系一长为 L 的轻绳，轻绳另一端系质量为 m的小球绳被水平拉直处于静止状态 （ 小球处于最左端 ） 将小球由静止释放，小球从最左端摆下并继续摆至最右 端的过程中，小车运动的距离是多少？解析：该题立意新颖，但仔细分析与“人船模型”有相似之处，都是研究两个物体相互作用的过程，都具有水平方向 合外力为零的特征，从而水平的动量守恒，初始状态球和车都处于静止状态，因此可借助“人船模型”来处理设某时刻小球速度的水平分量为 v（方向向右 ），小车的速度为 V（方向向左 ） ，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律有： MVmv =0即vVms1与小车的位移 s2 与它们的质量成反比即因为小球在摆动过程中，系统综动量在每时刻都等于零，所以每一时刻小球速度的水平分量与小车的速度都跟它们的 质量成反比；从而可知小球从最左端摆至最右端的过程中，小球的