高中数学必修一章知识点总结第一章 集合与函数概念

1、高中数学必修一章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合相关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：、元素的确定性； 、元素的互异性； 、元素的无序性说明：、对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。、任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。、集合中的元素是平等的，没有先后顺序，所以判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。、集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 、用

2、拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）：N；正整数集：或；整数集：Z；有理数集：Q；实数集：R;、集合的表示方法：列举法 描述法 韦恩图示法 区间法、列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。例太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋、描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。、语言描述法：例：不是直角三角形的三角形、我校的篮球队员、数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是或、韦恩图示法：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法。、区间法：用来表示诸如

3、定义域、值域、方程或不等式的解集的方法。4、元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 ，相反，a不属于集合A 记作 。5、集合的分类：、按元素的属性分类、数集 元素是数的集合、点集 元素是点的集合、序数对 元素是有序实数对的集合、按集合中元素的个数分类、有限集 含有有限个元素的集合、无限集 含有无限个元素的集合、空集 不含任何元素的集合 例：二、集合间的基本关系1、“包含”关系子集 结论：对于两个集合A、B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A是集合B的子集，即。注意： 有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B

4、是同一集合。反之： 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作。2、“相等”关系(55，且55，则5=5)例：设集合与集合B=-1,1的“元素相同”，所以A=B。结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B。3、“真包含”关系真子集结论：对于两个集合A、B，如果集合且我们就说集合A是集合B的真子集，即。4、性质：、任何一个集合是它本身的子集，即。、如果那么。、如果那么。、空集是任何集合的子集，即。、空集是任何非空集合的真子集，即（非空集合）。、如果集合A有n个元素，则A有个子集，个真子

5、集，个非空真子集。三、集合的运算1、交集的定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集。 记作(读作”A交B”)，即。2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作： (读作”A并B”)，即。3、交集与并集的性质：、。、。、。、。4、全集与补集、补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作：。、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就能够看作一个全集，通常用U来表示。、性质：、； 、； 、；、； ；二、函数的相关概念1

6、函数的概念：设是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数记作： 。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合。、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。、集合为非空数集。 、集合中元素不可剩余，集合元素可剩余。、任意性对于集合中任意一个数来说； 唯一性、确定性在集合中有唯一确定的数和相对应。方向性表示从集合到集合的函数。2、定义域：能使

7、函数式有意义的实数的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：、分式的分母不等于零； 、偶次方根的被开方数不小于零； 、对数式的真数必须大于零；、指数、对数式的底必须大于零且不等于1.、如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的的值组成的集合；、指数为零底不能够等于零、实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)3、构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域、构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这

8、两个函数相等（或为同一函数）、两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)4、值域：函数的函数值构成的集合。、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。5、 函数图象知识归纳：、定义：在平面直角坐标系中，以函数,中的为横坐标，函数值为纵坐标的点的集合C，叫做函数,的图象。、C上每一点的坐标均满足函数关系，反过来，以满足的每一组有序实数对为坐标的点，均在C上

9、。 即记为。、图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。、画法：、描点法：根据函数解析式和定义域，求出的一些对应值并列表，以为坐标在坐标系内描出相对应的点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。、图象变换法：由已知函数的图像经过变换得到所求函数图像的方法。常用变换方法有四种，即平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。、函数图象的作用：、 直观的看出函数的性质。、 利用数形结合的方法分析解题的思路，提升解题的速度，发现解题中的错误。6、区间的概念：一些特殊集合的符号表示。、区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间。、无穷区间。

10、、区间的数轴表示。7、映射的定义：一般地，设是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个映射。记作。8、象与原象：给定一个集合到的映射，如果,且元素和元素对应，那么，我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。9、函数与映射的关系：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应。、集合、及对应法则是确定的。、对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的。、对于映射来说，则应满足：、集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。、集合A中不同的元素，在

11、集合B中对应的象能够是同一个。、不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。10、常用的函数表示法及各自的优点：、解析法：必须注明函数的定义域；优点：便于算出函数值。、图象法：描点法作图要注意的是：确定函数的定义域、化简函数的解析式、观察函数的特征；优点：便于量出函数值。、列表法：选择的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；优点：便于查出函数值。11、分段函数定义：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。、在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相对应的表达式。、分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值

12、情况。、分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数。、分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。12、复合函数的定义：如果函数则函数称为 的复合函数。例：函数是由函数复合而成。13、函数单调性、增函数与减函数的定义：设函数的定义域为，、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数。区间称为的单调增区间。、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。区间称为的单调减区间。注意：、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。、必须是对于区间内的任意两个自变量、，当时

13、，总有或。、不能取特殊值。、单调函数图象的特点：如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这个区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。、函数单调区间与单调性的判定方法、 定义法：利用单调函数的定义判断函数的单调性；、任取，且；、作差；、变形（通常是因式分解和配方）；、定号（即判断差的正负）；、下结论（指出函数在给定的区间上的单调性）、图象法：从图象上看升降；、复合函数的单调性：复合函数的单调性与构成它的函数的单调性密切相关，其规律如下：“同增异减”函数函数的单调性增函数增函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数减函数

14、增函数注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。、函数单调性的一些常用结论：、若函数均为某个区间上的单调增（减）函数，则函数在这个区间上也为增（减）函数；、若函数为增（减）函数，则为减（增）函数；、若得单调性相同，则函数是增函数；若得单调性不同，则函数是减函数；、函数单调性的作用：、比较大小； 、求值域； 、求最值； 、解不等式； 、证不等式； 、作函数图象；14、函数的奇偶性：、偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数。、奇函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有)，那么f(x)就叫做奇函数。注意：、函数是奇函

15、数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。、具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于轴对称；奇函数的图象关于原点对称。、利用定义判断函数奇偶性的步骤：、首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；、确定与的关系；、作出相对应结论：若或，则是偶函数；若 或 ，则是奇函数。注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数

16、是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定；(2)有时判定比较困难，可考虑根据是否有或来判定；(3)利用定理，或借助函数的图象判定 。、函数奇偶性的常用结论：、如果以奇函数在处有定义，则；如果一个函数既是奇函数又是偶函数，则 （反之不成立）。、两个奇函数（偶函数）的和（或差）为奇（偶）函数；两个奇函数（偶函数）的积（或商）为偶函数。、一个奇函数与一个偶函数的的积（或商）为奇函数。、两个函数复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。、若函数的定义域关于原点对称，则能够表示成，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。15

17、、函数的单调性与奇偶性的关系：、奇函数在对称区间上的单调性相同； 、偶函数在对称区间上的单调性相反；16、函数的解析表达式：、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域。、求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、凑配法、解方程组消参、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；、已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；、当已知表达式较简单时，也可用凑配法；、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出。17、求函数最大（小）值的方法：、 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

18、、利用图象求函数的最大（小）值；、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则函数在处有最大值；如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则函数在处有最小值)；第二章 基本初等函数一、指数与指数函数（一）指数与指数幂的运算1、根式的概念：一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数 叫做的次方根.即：。2、方根的性质：、当是奇数时：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；注意：、的次方根用符号表示；、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数；、当是偶数时：正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数没有偶次方根；注意：、正数的正的偶次方根用符号

19、表示；、正数的负的偶次方根用符号表示；、正数的负的偶次方根与正数的正的偶次方根能够合并成用符号表示；、0的任何次方根都是0；3、根式的运算性质：、【据定义】； 、4、分数指数幂的意义： 、 正数的正分数指数幂的意义，规定；、 正数的负分数指数幂的意义，规定；、 0的正分数指数幂等于0；、 0的负分数指数幂没有意义；注：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幕的运算性质也同样能够推广到有理数指数幂。5、实数指数幂的运算性质：（1）、；(2)、 ；（3）、；注：（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，形如的函数叫做指数函数，其中是自变量，叫做底数

20、。解析式的结构特征：（1）、自变量在指数位置上，且；（2）、底数；（3）、的系数为1；（4）、为单项式；2、指数函数的图像：函数与函数关于轴对称3、指数函数的性质：图像性质函数性质向轴正负方向无限延伸函数的定义域为图像关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为函数图象都过定点自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降在上是增函数在上是减函数在第一象限内的图像纵坐标都大于1在第一象限内的图像纵坐标都小于1在第二象限内的图像纵坐标都小于1在第二象限内的图像纵坐标都大于14、函数图象的平移与对称变换：函数时，向左平移个单位；时，向右平移个单位。时，向上平移个单位；时，向下平移个单

21、位。与的图像关于轴对称。与的图像关于轴对称与的图像关于原点对称二、对数与对数函数(一)对数1、对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：其中叫做对数的底数，叫做对数的真数，式子叫做对数式。注意：（1）、底数； （2）、真数； （3）、对数；2、两个重要对数： （1）、常用对数：以10为底的对数，记作； （2）、自然对数：以无理数为底的对数，记作；为无理数3、对数式与指数式的互化：名称式子名称指数式底数指数幂值对数式底数对数真数4、对数的性质： （1）、负数和零没有对数； （2）、1的对数等于零，即：； （3）、底数的对数等于1，即：；5、对数恒等式： （1）、； （2）、；6、对

22、数的运算性质： （1）、；（2）、；（3）、注：； 7、对数换底公式及其推论：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；（7）、；（8）、二、对数函数（一）对数1、对数的概念：一般地形如，其中x是自变量，叫做底数。解析式的结构特征：（1） 自变量在真数的位置上，且；（2） 底数；（3） 的系数为1；（4） 为单项式；2、对数函数的图像对数函数的图像对数函数的图像函数与函数关于轴对称3、对数函数的性质：图像性质函数性质函数图像都在轴右侧函数的定义域为图像关于原点和轴不对称非奇非偶函数向轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数都过定点（1,0）图像逐渐上升图像逐渐下降增函数减函数第一

23、象限的图像在直线的右边第一象限的图像在直线的左边第二象限的图像在直线的左边第二象限的图像在直线的右边4、指数函数与对数函数比较；指数函数与对数函数互为反函数， 互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。表1指数函数对数数函数定义域值域图象性质过定点过定点减函数增函数减函数增函数5、利用对数函数的单调性比较两个对数大小的方法步骤：（1）、确定要考查的对数函数；（2）、根据对数底数判断对数函数增减性；（3）、比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小；（4）、当不能直接比较时，可借助中间量1或0等，间接比较两个对数的大小，当对数函数的底数与1的大小关系不确定是，需要对底数实行讨论。三、幂与幂函数（一）幂的相关概念1、正整数指数幂;2、零指数幂；3、负整数指数幂；4、正分数指数幂；5、负分数指数幂；6、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。（二）幂函数的图像及其性质：1、幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数。（1）、幂函数中的为任意实数。（2）、形如等形式的函数都不是幂函数。2、典型幂函数的性质：表1定义域RR