中值定理及导数应用

1、第四章中值定理及导数应用在这一章，我们应用上一章所学的导数来研究函数以及曲线的某些形态，并利用这些知识来解决一些实际问题，为此，我们先要学习微分学的几个中值定理，它们是导数应用的理论基础。4.1中值定理我们先讲罗尔(Roll)定理，然后根据它推出拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西定理。3.1.1 罗尔定理首先，我们观察图3-1-1。设曲线弧AB是函数图 4-1-1y二f (x) (x a,b)的图形。这是一条连续的曲线弧，除端 点外处处有不垂直于 x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等， 即f (a)二f (b)。可以发现在曲线弧的最高点或最低点 C处,曲线有水平的切线。如果记C点的横坐标

2、为,那么就有)=0。现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就可得下面的罗尔定理。为了应用方便，先介绍费马引理。费马引理设函数f (x)在点x0的某邻域U (x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x U (x0),有f(X)一 f(X。)(或 f(X)一 f 化)那么 f (xj = 0。证 不妨设 x U (x0)时，f (x)乞f (x0)(如果f (x) _ f (x0)，可以类似地证明)。于是，对于x-x U (x0)，有f (xX)一 f (x)从而当 x 0时，f(X。. ：x) - f(X。)Ax-f (XoX) - f (Xo)0x-因f (x)存在，故极限lim-0f(

3、x0：x) - f (Xo)存在，且其左、右极限均都等于Xf (X0)。从而f (x) = f (X0)二f(X0X)- f(X0)Xf (Xo ：X) f (Xo)f (xo) = fj(xo) = lim0店 to -Ax所以, f (Xo) 0。证毕。通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点)。罗尔定理若函数f (X)满足： 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即f(a)二f(b),那么在(a,b)内至少存在一点(:：: b)，使得=o。证 由于f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理,f (x)

4、在闭区间a,b上必能取得最大值 M和最小值m,此时，又有二种情况：(1) M -m，即f (x)在闭区间a,b上取得最大值和最小值相等，从而知，此时f (x)为常数：f(x)二M二m，由此，-x(a,b),有f (x) = o,因此，任取- (a,b)内，都有f ()。(2) Mm。因为在区间端点处的函数值f (a)二f (b)，所以M和m这两个数必有一个不等于f (a)或f(b)，不妨设M =f(a)(对m=f(a)同理证明)，这时必然在开区间(a,b) 内存在一点，使得f ( ) = M。因此，即f(x)在点得最大值，即，-x a,b,有f (x) _ f),从而由费马引理可知 f ( J

5、 =o。定理证毕。我们再对罗尔定理的三个条件作如下几点说明：1. 定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。试看下例：(1)端点的值不等(图3-1-2)1f ( X)= Xa,b“o,1f (x) 7图3 T -2x非闭区间连续(图3-1-3)f (x)=1x = 0f (x)=10 1，而 呼：。类似地，两个无穷大的商的极限问题也是有的存在，有的XX不存在，对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商”这一法则。当XT a(或XT吆)时，两个函数f (X)与F(X)都趋向于 零或都趋向于 无穷大，那么，极限lim丄 可能存在，也可能不存在。通

6、常把这种极限叫做未定式，并分别简记为 0型或(X :畀 F (X)0Q0 型。O00旳4.1.1 基本类型的未定式一,一 型0 &定理1设(1)当x a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(3) lim 匸凶 存在(或无穷大), x 訐 F (x)则佃他=佃3xTF(x) xTF(X)这就是说，当 lim f (x)存在时，lim f (x)也存在且等于 lim f (x)；当lim f (x)为 JaF(x)7F(x)Tpx)JaF(x)无穷大时，lim f(x)也是无穷大。这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确XT F (x)定未定式的值的方法称为洛必达法则。证因为求极限lim

7、f(x)与函数值 f(a)、F(a)无关，那么我们可设 x a F(x)f (x)f(a)二F(a)=O,这并不会影响极限lim。由这一假设及条件 、(2)知，f(x)与T F (x)F(x)在点a的某个邻域内是连续的，设x是这邻域内的一点，那么在以x及a为端点的区间上，f(x)与F(x)全部地满足柯西中值定理的条件，因此有3=3迪=4(介于x与a之间)F(x) F(x)-F(a) F ()当x a时，. a，而由条件(3)知 lim 匸 = lim丄凶TF(-)Fx)故lim3=lim3。XT F (x) XT F (x)注：1、此定理用来处理 x a时的0型未定式极限问题。 02、如果极限

8、lim匸凶 仍属于0型，且f (x)、F (x)又满足定理中的条件，则可 f (x)0以再使用洛必达法则。即limx af (x)F(x)二 limx jaf (x)F (x)二 limx jaf (x)F (x)3、如果lim f (x)不存在，不能断言XT F (x)lima 也不存在，只能说明该极限不适合x F(x)用洛必达法则来求。例如,极限2 1x sin-1limx = lim x sin 0 存在,x 0 x x 0x而使用洛必达法则例1求极限xe -d(1) limxxe -1 解lim7 x.1sinx二 limx_p 1x5-111、十卄亠岂四丽-cos)不存在。limx_

9、0COSX -1-COSX=limx.02上述定理仅是适合于 xa时的0型不定式；对于 x -0limcos2x )0x= limxo 2x时的0型不定式，0我们也有相应定理。定理2设(1)当x时，函数f(x) 及F(x)都趋向于零;f (x)及 F (x)当x X时存在，且F (X)式0，X是充分大的正数;limxF (x)或无穷大这一定理的证明略。定理1的注解对它同样适用，仅需将x a改成x-:即可。例2求极限(1)jiarcta nx limxr11 ln (1)lim xxr arccotx解limJIarcta nx2=limx11 x2丄2x= limx 1x2x2=lim1x：1

10、1 21xx1 ln(1 ) lim x lim xarccotx j：1 -x1一1x2/ 21 x二 lim 2x x1 4lim x1x =1 1x对于x； a (或x ：)时的型不定式，我们有如下相应的定理;Q0定理1的注解对它们仍适用，仅需作相应地改动。定理3设当x a时， 函数f (x)及F(x)都趋向于无穷大;f (x)及F (x)在a点的某去心邻域内存在，且F (x) = 0 ；f (x)存在(或无穷大)，limX 浮 F (x)lim少X a F(x)= lim3。X a F (x)定理4设当X 时,函数f (x)及F(x)都趋向于无穷大;f (x)及FX)在x X时存在，且

11、F (x) H 0 , X是充分大的正数;f (x)存在(或无穷大)，limx(x)= lim3。x F (x)求极限(1)lim空(n .0)x . xlimnlim x(n为正整数，& 0)x)二 e *= lim n(lnx)n_1x J :=limx J :n(n -1)(ln x)n 一2=limx:n(n -1)21(ln x)n! =lim 0limxnlimn严1X I n(n -1)x 门一2n(n -1)-21x= =limx，ne xn! 1 n!lim0 = 0n j x n/ e此例中的正整数n改为一般正实数：时，结论仍成立。同学们可以自行验证。这样,我们获得了一把函

12、数趋向于无穷大的快慢标尺 。(ln x) P? x。* ex慢鼻快ex-当 XT + 处时，xaT(ln x)卩4.1.2其它类型的未定式旳上述类型的未定式均可化归为型或一型的未定式。例5求lim (xt sin x(:_:型)O0解 lim x ： ln xx)0 （0 二型）lnx =lim - x_01(二 型)0x:二 limx=0 一（用洛必达法则）1 .alim+ x=乂 x 00结论可推广到一般lim x： (ln x) - = 0x0c ,-均为正实数）例 4 求 lim x ln x(、 0)(0 ：型)1x sin x =limxj x si n x1 -cosxsin x

13、 x cosxJ0 2 cosx - x sin x020-0（-型）0（用洛必达法则）（再用洛必达法则，已非未定式）（商的极限法则）x般是 幕指函数的极限，可采用对数求极限法。例 6 求 lim xx(00型)十oO .(型)QO解设y = xx取对数ln y -x lnx -1x对上式两端求极限，最后转化为对函数y的极限。lim In y 二 limx 0 x 1（洛必达法则）x2二 lim 一 x=0 xj 从而有lim y = lim eln yxOx=0 x=0lim ln yx 0 =e(1型)1例 7 求 lim (cosx sin x)x0丄令 y 二(cosx sin x)x

14、ln(cos x sin x)%n X- y n moH XIn(cos x sinx) sin x cosxcosx sin x1（0型）（用洛必达法则，已非不定式）lim In y lim y = lim ex 0 e= eXrOXrOtan xlim 1(：0 型)x x小-.tan xy，则1In y = tanxtanx In x =xIn x 1 tanxlim Inx0 ln x10 .(型)odtan x（用洛必达法则1-lim x 0 - sec x tan2 x.2sin x=limx_. x.sin x=limlim sinXr0x Xlim In ylim y = li

15、m eln y = ex 0e = 1。x )0 0 利用几个工具极限、求极限四则运算法则，可帮助我们快速地求出许多较为复杂的极 限。1.当 X ； :时，(Inx)心x ex 八：:慢八快2. lim x： (Inx) =0(：均为正实数)xP -例9求极限 lim tan x In xx0 解已知极限lim x In x = 0十lim tanx In x =x0 0lim x In xx )0亠sinxx1cosxlim x 0 cosx=lim (x In x) lim sinxx0xp 亠 x= 011=0 4.3泰勒公式多项式是函数中最简单的一种，用多项式近似表达函数是近似计算中的

16、一个重要内容，在 2.6中，我们已见过：ex +x,sinxR=x(x充分小)等近似计算公式，就是多项式表示函数的一个特殊情形， 当然这种近似表示式还较粗糙 (尤其当x较大时)，从下图可看出。图 4-3-6上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。2、 任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。 将上述两个想法进一步地数学化：对复杂函数f (x)，想找多项式 Pn(x) 来近似表示匕。自然地，我们布望Pn(x)尽可能多地反映出函数 f (x)所具有的性态如：在某点处的值与导数值；我们还关心pn(x)的形式如何确定；Pn(X)近似

17、f(X)所产生的误差 Rn(X)= f(X)_Pn(X)。问题1设f (x)在含Xo的开区间内具有直到n 1阶的导数，能否找出一个关于(x -x0)的n次多项式Pn(x)二 a。ai(x -Xo) a2(x-冷)2a“(x- x)n(1)且 pnk)(Xof(k)(Xo)(O,1 , n)近似f (x) ?问题2若问题1的解存在，其误差 Rn(x)二f(X)- pn (x)的表达式是什么？4.3.1泰勒(Taylor)中值定理问题1的求解就是确定多项式的系数玄,厂,an。Pn(x)二a。a,x-Xo)a2(x-x。)2an(x)n-a。 = Pn(Xo)Pn(x)二 a2a2(x-x。)3a3

18、(x - x。)2nan(x - x。)a1 = Pn(x。)Pn(x) =2 1a 3 2 a (x -x。) 4 3a(X -X。)2 亠亠 n (n _1) a (x -冷严-2 1 a Pn(x。)Pn(x) =3 2 1 a? 4 3 2 a4 (xx。)5 4 3 氏(xx。)2n (n1) (n-2) q (乂一人严3 2 1 a pg上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：a。= Pn(Xo) = f (Xo)1 ai = Pn (Xo) = f (Xo)2 1 2 二 Pn(Xo) = f (Xo)3 2 1 3 二 Pn(Xo) = f (Xo)一般地，有k(k -1)(

19、k 一2)2 1 Gk 二 pnk)(Xo) = f (k)(Xo)从而，得到系数计算公式ak=f (Xo)f (Xo)f1!(Xo)2!f(Xo)3!a o aia 2as(k )f1( k 二 0,1,2,k!n)于是,所求的多项式为Pn(X)十)(X Xo) 牛(X“)kfX Xo)1!k!n!若函数f(X)在含有X)的某个开区间泰勒(Taylor)中值定理(a,b)内具有直到nT阶导数，则当x(a,b)时,f(X)可以表示成f(Xf(Xo) f(Xo)(X-Xo)今(X-X。)2f (Xo)n!(x-Xo)n Rn(X)f(n制其中Rn (X)(X-Xo)n1(介于Xo与X之间)(n

20、+1)!证令 Rn (x) = f (X) - Pn (X)，下证在Xo与X之间，使得:Rn(X)二f(n 1()(n 1)!(X1由于f(x)有直到(n 1)阶导数，Pn(x)为多项式，故R,(x)在(a,b)内有直到(n 1)frr, x阶导数，并且Rn(Xo)=Rn(Xo)=Rn(Xo)二Rn(Xo) = 0 。现对函数Rn(x)和(x -冷)*在以x0和x为端点的区间上应用 Cauchy中值定理，Rn(X)_RJX) - RJXo)_ 尺(1)(X-Xo)(X-Xo)(Xo Xo)(n T)( i Xo)(1在Xo与X之间)Rn( 1)_Rn( 1)-出(X。)_Rn ( 2)(n 1

21、)( -Xo)n(n 1)( i -Xo)n - (n - 1)(x - x)n (n 1)n( ； - x)n(2介于1与Xo之间)如此继续下去，经过(n 1)次后， 一个4介于n与xo之间，使得R(x)Rn(n d)( n-1)(X-Xo)n1 (n 1)!显然n 1介于Xo与X之间。般地，记号(n +)=Rn(X)R?)()(x-xo)n1 - (n 1)!又因为Rn(X)二 f(X)-沿)而Pn(x)为n次多项式,故当Pn(n1)(xro二Rn(n 1)(x)十 (x)-Rn(X)f(n 1()(n +1)!(X-Xo)1或Rn(X (n 1)!(n 4)/f Q(X-Xo)n1(介于

22、 Xo 与X之间)。n f(k)(x )(n 1) /注:1、f(X)f(F1此式称为函数f (x)按(x-x。)的幕展开的n阶泰勒公式；或者称之为函数 f(x)在点Xo处的n阶泰勒展开式。当n =0时，泰勒公式变为(0 1)f(X)二 f(Xo)(0 彳(xFlfg + fK)这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项(n 1)T (n 1)!()(X-Xo)n1为拉格朗日型余项。2、对固定的 n，若 f(n*)(x)兰 M,acxcb” ,IM |n +有Rn(X)W时XXo此式可用作误差界的估计。R(x)兰 M(x-Xo)n 一(n +1)!X Xo T 0(x X0)

23、故Rn(x) =o(x -X3)n,(x x0)。即误差R(x)是当X x0时较无穷小，这一余项表达式称之为佩亚诺型余项。3、若x0 = 0，则在0与X之间，它表示成形式-x (0 : V泰勒公式有较简单的形式一一麦克劳林(Maclourin)公式f(X) = f (0)f (0)x1!f 70)2 匕 +2)(0) n + fE 但，X)2!n!(n 1)!xn1(0近似公式f (x)误差估计式f(0)空2x4x21! 2!f ”1)Rn(x)-(n 1)!n -1。4、麦克劳林展开式是一种特殊形式的泰勒展开式，容易求。因此求函数点X = X0处的泰勒展开式时，可通过变量替换X - X0 =

24、t化归到这一情况。令则f (x) = f (t - X0) = F(t)，对函数F(t)作麦克劳林展开。(X - x0)n 高阶:1)，1)f (x)在任意X - X。=t，432几个初等函数的麦克劳林公式例1求f (x) =ex的麦克劳林公式。解 f (k)(x) = ex(k = 0,1,2, ,n)f (0) = f (0) = f (0)仝、二(n)(0)=e“，f(n1) x)n-+n! (n 1)!2nAxx x x e + +卡+1! 2!xn1(0 厂:：:1)有近似公式xx2+ +1! 2!xnn!其误差的界为Rn(x)e1 1(一1严亦Ex)(0 :：: 1)sin)x (

25、2m1)其中：R2m(X)二2 x2m (2m+1)!函数y二sinx的一些近似表达式并给出它们的图象(见图 4-3-7)33!5!7!(1) y : x y ： x -1X3 (3) y X -丄 X36 6 120图 4-3-7242m同理有沁亠务务（-1）m（h R2m1（X），其中：RM。%/，/）。例3求（1的麦克劳林公式(1 X)： =1: X 卫 X22!:r -i)r -2)x3zv3!十g(g _i)(a -2) (a _ n +1)xnXn!Rn(X)其中：3 （T（：21）!（-n亠，（。1）例4求ln(1 - x)的麦克劳林公式。23n解 ln(1 X)=X -仝 x

26、(_1)n0 - fRn(x)2 3n十1)n（壮厂例5求f（x）二tanx的麦克劳林展开式的前四项，并给出佩亚诺型余项。cos4 xcos3 x3(tanx) =2 C0SX C0S X-sin x 3cos2 x (_sin x)6cos x2cos2 x 6sin2 x4cos x1(tan x) 2 cos x八2cosx (-sinx) 2sinx(ta n x)tanxtan x = x 2x3 o(x3)3!二 0,(tan x) x 卫二 1,(tan x)心二 O,(tanx) x 卫=2133tan x = x x o(x ),3133sin x = x x o(x )6t

27、anx - sinx = x=(x x)gx31331x3 o(x3) x - x3361333x ) (o(x ) -o(x )6o(x3)133=1x o(x)13/ 3、13x o(x )xQ93厶3= limx7 xT x注：现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处limtanx；sinx“imx0x3JOlim 叽1x0因为 tanx x sin x(x 0)，从而tan x sin x lim0x x=lim 3 lim 0 = 0 x_0 x3x_0当x 0时,tan x - sin x 厂 x - x 二 0，应为tan x -sin1 33=一 x o(x )2并估计误差

28、。解：18 =18 -180 10例6三阶泰勒公式求 sin18的近似值,3xsin x = x (-1)故：sin10 10sinr x 3 425x5!(一)3 : 0.30942510利用泰勒展开式求函数的极限， 可求许多其它方法难以处理的极限。可以说是求极限方法中的“终极武器”，使用这一方法例6利用泰勒展开式再求极限tan xsin x lim厂x刃x3曰 疋4.4导数的应用4.4.1函数的单调性JIR4(i01 二 5-5!気)55510- : 2.55 10-。120从图4-4-7可观察到函数y=eX-X-1与它的导函数 y=eX-1在-1,1上的图象：图 4-4-7-1函数y =

29、eX -x-1在-1,0）上是单调减少，在（0,1上是单调增加;其导函数y=eX-1在-1,0）上小于零，在（0,1上大于零。函数的单调性是否与导函数的符号有关呢？图 4 4 8我们从图4-4-8可观察到函数y二f（x）在a,b上单调增加（减少），则它的图形是一条沿x轴正向上升（下降）的曲线，曲线上各点处的切线之斜率均为正的（负的），即：y = f (x)0 ( y = f (x) ： 0)这表明：函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此，可以利用导数的符号来判定 函数的单调性，下面我们用拉格朗日中值定理来讨论这个问题。设函数y = f(x)在a,b上连续,在(a,b)上可导，任意xi，x a

30、,b(为：x2)，则f(X2)- f (Xi) = f ( ) (X2 - Xi)(x ： X2)若在(a,b)内 f (x) .0，则 f ( ) . 0， 从而 f(X2 ) f (Xi )；即函数y=f(x)在a,b上单调增加；若在(a,b)内 f (x) ：0，则 f ( ) ：0,从而 f%) ： f(xi)，即函数y=f(x)在a,b上单调减少。我们讲上述讨论归纳为如下定理：定理1 (函数单调性判别法)设函数y = f(x)在a,b上连续，在(a,b)上可导，(1) 若在(a,b)内f (x)0，则y = f(x)在a,b上单调增加；(2) 、若在(a,b)内f (x) ：0 ,则

31、y二f(x)在a,b上单调减少。注：1、判别法中的闭区间若换成其它各种区间(包括无穷区间)，结论仍成立。2、 如果在(a,b)内f (x) 一0(岂0)，且等号仅在个别点处成立，则y二f(x)在a,b上单调增加(减少)。(见例4)3、以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。例1讨论函数y = ex -X -1的单调性。解函数的定义域为(=,：)，且y = eX-1当(y，,0)时，y0,故函数在(-兀,0)上单调减少；当x(0, ：)时，y：0，故函数在(0：)上单调增加(见图 4-4-7 )。我们注意到，x = 0是函数单调减少区间（- ,0）与单调增加（0：）的分界点，且函数在分解点的导

32、数为零，即y(0)一仁0例2讨论函数y =:x的单调性。解函数的定义域为(8 , +处)，当 xwC-ooQ)时，y = x，八-1 c0.故函数在（亠,0）上单减;当x e （0,址）时，y =x ，r0，故函数在（0,垃）上单增。我们看到，函数在单调减少区间（-o,0）与单调增加（0,母）的分界点为x = 0 ,且函数在分解点不可导，即 y（0）不存在。一般讲，f （x）在定义域内未必单调，但可用适当的一些点把定义域分为若干个区间，便得f （x）在每一个区间上都是单调函数。而这些分点主要有两大类：其一是导数等于0的点，即f （x） =0的根；其二是导数不存在的点。事实上，只要f （x）在定

33、义域内连续，且只在有限个点处导数不存在，则可用分点将区间分为若干个小区间，使得f（x）在各小区间上，保持有相同的符号，即恒正或恒负，这样f （x）在每个小区间上为增函数或减函数，各小区间则相对地称为单增区间或单减区间。8例3试确定函数 y =2x 的单调区间。x解：当x =0时，函数无定义，故函数在x = 0处不可导；当x = 0时,2x2 -82x2(x 2)(x-2)2x令 y =0 得：X = 2于是,点x=-2,0,2将函数定义域（x = 0）分划成四个区间（0,2）、（2,：），列表讨论如下:x(-00,-2)(-2,0)(0,2)（2严）f (x)+y = f (x)/禾U用函数的

34、单调性可以证明较为复杂的函数不等式。例5试证明：当x 4时，有2x x2。证作辅助函数 f(x)=2x-x24：)，f(x)=2xl n2-2x，f (x) =2x (In 2)2 -2=2 2心(ln4)2 -1，当 x 4,：)时，2心 _2 ，(In4)2 1，故 f (x) 0,x 4, ：)， f (x)在4, ：)上单调增加，从而有 f (x) f (4)，而 f (4) =24 In2-2 4=16 In 2-8=8 (In4-1)0,于是f (x)0， f (x)在4,：)上也单调增加。从而有 f(x) f(4) =24 - 42 =16-16 = 0，即2x x2x 4,：)

35、。该证明方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助此法。例6求方程In x =ax (其中a . 0)有几个实根？一 1解设 f(x)=ln x - ax x ：=(0, ：) f (x) ax11 11令f(x)=0,则x ，用x点将其定义域(0：)分为(0, )和(，；)二个区aaa a间，且111当0 ： x 时，f(x) 0，所以f (x)在(0,)是单增的，故当x 时，aaa1f(x) ： f( ) oa111当1 ：x ： :时，f (x) :：: 0，所以f (x)在I ；)上为单减的，故当x 时，aaa1f(x) ： f(-) o a11由以上讨论知，当 x 时，f(

36、x) ： f( ) - -(1 In a)aa即对(0, ：), f (x) _-(1 Ina),下面来讨论In x = ax有几个实根：1(a) 若(1 In a) 0 ,即a 时，f (x) ： 0 ,即方程无解。e11(b) 若(1 In a) = 0 , 即卩 a 时，f (x)三 0，且仅在 x = a 时，有 f (x) = 0 ,ee此时，方程有唯一的解。111(c)若(1 In a) :：: 0，即 0 ： a ：时，f (一) 0，又在(0,)上，f (x)单增，且 eaa咯 f(x) =亠，1即方程的根，又故在(0,)上，函数f (x)与x轴有一个且只一个交点,a1 1在_

37、：)上，f (x)单减，且Iim f(x)-：,故在_：)上，f (x)与x轴有一个且只 axa有一个交点，即方程的根，合起来，此时方程有二个实根。442函数的极值及其求法定义 设函数f (x)在区间(a,b)内有定义，点X。是(a,b)内的一点。若存在点 心的一个邻域，对于该邻域内任何异于怡的点x，不等式f（X）： f（x。） （ f（x）f （x。）成立，称f(Xo)是函数f (X)的一个极大值(极小值)；称点X。是函数f (X)的极大值点(极 小值点)。函数的极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点统称为极值点。1函数的极值概念是一个局部概念。X。的一个局部范围来说f(X。)是f (x0)就不一定是最大值了。如果f(x。)是函数f (x)的一个极大值，那只是对f(x)的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说,对于极小值也是类似的。2、极小值有可能较极大值更大。图4-4-9 的函数f (x)有两个极大值f (x2)、f (x5), f (x7)，三个极小值f(xj、f(X4)、f(X6),其中 f(X2)： f (X6)( f(X2)是极大值,而 f (x6)是极小值)从图中可看出，在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线(当切线存在时)或者没有切线，如曲线在 X =X7处，但有水