两角和与差正弦

1、两角和与差正弦 () C sinsincoscos)cos( 复习回顾复习回顾 )( C 2、 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 1、 两角和的余弦公式两角和的余弦公式 cos() cos cossin sin 两角和与差正弦 n有了两角和与两角差的有了两角和与两角差的余弦余弦公式，自公式，自 然想得到两角和的正弦、正切公式，然想得到两角和的正弦、正切公式， 以及两角差的正弦、余弦、正切公式，以及两角差的正弦、余弦、正切公式， 对此，我们将逐个进行探究对此，我们将逐个进行探究. . 2 n今天先来研究两角和与差的今天先来研究两角和与差的正弦正弦 公式公式 两角和与差正弦3 1919 两角和、两

2、角差的正弦公式两角和、两角差的正弦公式 两角和与差正弦4 思考思考1 1、什么公式可以实现由什么公式可以实现由正弦正弦到到余弦余弦 的转化？的转化？ 诱导公式诱导公式 思考思考 () C )( C 新知识新知识 已学知识已学知识 思考思考2 2：结合结合 和和 ，你能推，你能推 导出导出sin(sin() ) ，sin(sin()分别等于分别等于 什么吗？什么吗？ 两角和与差正弦 练习、化简：练习、化简： 2 sin) 1 ( (4)cos 2 (5)cos 2 (6)cos 2 复习回顾复习回顾 (2)sin 2 (3)cos 2 sin() sin() 两角和与差正弦 )sin( 利用)

3、2 cos(sinxx 将正弦转化为余弦 )( 2 cos ) 2 cos( sin) 2 sin(cos) 2 cos( sincoscossin 探索新知探索新知 sin()问题问题1 如何利用 的正弦、余弦表示 、 sin() sin coscos sin 两角和与差正弦 探索新知探索新知 思考思考 如何利用 正弦、余弦表示、 )sin( )(sin sincos()cos sin()abab=-+- sin() sin() sin coscos sin sin coscos sinabab=- 两角和与差正弦 sin()sincoscossin 1、两角和的正弦公式，简记为、两角和的正

4、弦公式，简记为 )( S 2、两角差的正弦公式，简记为、两角差的正弦公式，简记为 )( S sin() sin coscos sin 两角和与差正弦 两角和两角和(差差)的余弦公式的余弦公式: c co os s( ( ) ) = = c co os s c co os s s si in n s si in n c co os s( ( ) ) = = c co os s c co os s s si in n s si in n 两角和两角和(差差)的正弦公式的正弦公式: s si in n( ( ) )= = s si in n c co os s c co os s s si in n

5、 s si in n( ( ) )= = s si in n c co os s c co os s s si in n 比较两组公式的特点比较两组公式的特点 1. 的取值范的取值范 围都是任意角围都是任意角. 、 2.余弦公式是余弦公式是同同 名名三角函数相乘三角函数相乘; 正弦公式是正弦公式是异异 名名三角函数相乘三角函数相乘. 3.余弦公式等号余弦公式等号 两边两边加减相反加减相反; 正弦公式等号正弦公式等号 两边两边加减一致加减一致. . 探索新知探索新知 两角和与差正弦 例例1 利用和(差)角公式,求下列各式的值： 15sin) 1 ( 75cos)2( (3) cos105(4)

6、sin( 315 ) 新知应用新知应用 两角和与差正弦 例例 利用和利用和(差差)角公式计算下列各式的值角公式计算下列各式的值: (1)sin72 cos42cos72 sin42 (2)cos20 cos70sin20 sin70 解解: (1)由公式 ,得() S 1 sin(7242 )sin30 2 原式 新知应用新知应用 )( C 解解:(2)由公式 ,得 090cos)7020cos( 原式 两角和与差正弦 例例3 3 求证：求证： . . si n(2)si n 2cos() si nsi n 求下列各式的值：求下列各式的值： （1 1）cos75cos75； （2 )sin20

7、2 )sin20cos50cos50-sin70-sin70cos40cos40； 两角和与差正弦 两角和与差正弦 4 sin, 52 5 cos, 13 cos(). 已知 是第三象限角 求的值 讲解范例讲解范例 例例2. 思考：思考： , 2 本题中没有呢？ 两角和与差正弦 n分析：本题主要考查三角函数的诱导公式和两 角和与差的余弦公式，同时也考查了化归的思 想方法 两角和与差正弦 两角和与差正弦 n规律技巧：注意公式的结构特征和符号规律， 对公式C，C可记为“同名相乘，符号相 反”；对于公式S，S可记为“异名相乘， 符号相同” 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 n例2：计算

8、： n(1)sin13cos17cos13sin17； n(2)sin(36)cos(54)cos(144 )sin(126)； n(3)sin()coscos()sin. n分析：本题主要考查两角和与差的正、余弦公 式，重点考查逆用公式的能力和运算技巧 两角和与差正弦 两角和与差正弦 n(3)解法1：原式sin()sin. n解法2：原式(sincoscossin)cos (coscossinsin)sin nsincos2cossincoscoscossin sinsin2 nsin(cos2sin2) nsin. 两角和与差正弦 n误区警示：本例的解答充分体现了两角和与差 公式使用的灵活

9、性以及三角恒等变形方法的多 样性(1)的解法、(2)的解法1、(3)的解法1从 整体上考虑，灵活地逆用两角和与差的正弦公 式，解法非常简单、快捷；而(3)的解法2从局 部的特征入手正用公式，方法就显得非常复杂、 艰难在进行三角变形时，务必要充分观察， 多从整体上考虑，切忌看到局部某一处可用哪 个公式就匆忙套用公式 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 n规律技巧：已知两个角的三角函数值求这两个 角的和、差的三角函数值的一般步骤为：先由 同角三角函数公式求出两角和与差公式中所需 要的其他三角函数值，再正用两角和与差公式 求出结果若已知角未

10、给定范围，则需分情况 讨论 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 两角和与差正弦 技能提升作业技能提升作业(二十五二十五) 两角和与差正弦 规律技巧：角的变换是使用两角和与差的余弦 公式求值中常见的方法，要掌握一些角的变换 技巧，如()，2()， 2()()等 两角和与差正弦 两角和与差正弦 规律技巧：两式平方相加的方法，是解决具有规律技巧：两式平方相加的方法，是解决具有 本题特征的题目的有效途径本题特征的题目的有效途径 两角和与差正弦 两角和与差正弦 课堂小结课堂小结 两角差的余弦公式：两角差的余弦公式： cos()c

11、oscossinsin (2)在化简在化简、求值问题中，要能灵活处理求值问题中，要能灵活处理 已、未知关系已、未知关系 (1)牢记公式牢记公式SSCCC )( 两角和与差正弦 13 cossin , 22 xx已知函数f(x)= （1）求f(x)的最小正周期及最大值； （2）求f(x)的单调递增区间。 解：（1）、由已知 (2)( )cos,2, 3 4 2,2; 333 4 ,2 33 xf xzkk kkkxk kk 、令z=,由的单调递增区间为2 由2x+解得2因此，f(x) 的单调递增区间为2. cossinsin 33 xx f(x)=coscos(), 3 x ( )2 ;f xT则的最小正周期为最大值为1. 两角和与差正弦 小结小结 1 1 、两角和与差的正弦、余弦公式两角和与差的正弦、余弦公式; ;