优化建模与LINGO第11章

1、 优优 化化 建建 模模 第十一章第十一章 存贮论模型存贮论模型 1. 确定性模型，它不包含任何随机因素确定性模型，它不包含任何随机因素; 存贮论的数学模型一般分成两类：存贮论的数学模型一般分成两类： 2. 带有随机因素的随机存贮模型带有随机因素的随机存贮模型. 优化建模与优化建模与LINDO/LINGO软件软件 优优 化化 建建 模模 某电器公司的生产流水线需要某种零件，该零件需要某电器公司的生产流水线需要某种零件，该零件需要 靠订货得到为此，该公司考虑到了如下费用结构：靠订货得到为此，该公司考虑到了如下费用结构： (1) 批量订货的订货费批量订货的订货费12000 元次；元次； (2) 每

2、个零件的单位成本为每个零件的单位成本为 10 元件；元件； (3) 每个零件的存贮费用为每个零件的存贮费用为 0.3元元(件件 月月)； (4) 每个零件的缺货损失为每个零件的缺货损失为 1.1 元元(件件 月月)。 公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使 得全部费用最少？得全部费用最少？ 例例 11 . 1 （问题的引入）（问题的引入） 11. 1 存贮论模型简介存贮论模型简介 存贮论模型的基本概念存贮论模型的基本概念 输入输入( (供应供应) ) 储存储存 输出输出( (需求需求) ) 优优 化化 建建 模模 1 存贮模型的基本要素存贮

3、模型的基本要素 ( l ) 需求率需求率: 单位时间内对某种物品的需求量单位时间内对某种物品的需求量, 用用D表示表示 ( 2 ) 订货批量订货批量: 一次订货中一次订货中,包含某种货物的数量包含某种货物的数量, 用用Q表示表示. ( 3 ) 订货间隔期订货间隔期: 两次订货之间的时间间隔两次订货之间的时间间隔, 用用T表示表示. 2 存贮模型的基本费用存贮模型的基本费用 ( l ) 订货费订货费: 组织一次生产、订货或采购的费用，通常组织一次生产、订货或采购的费用，通常 认为与订购数量无关，记为认为与订购数量无关，记为 CD . ( 2 )存贮费存贮费: 用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的

4、用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的 多少和时间长短有关，记为多少和时间长短有关，记为Cp . ( 3 ) 短缺损失费短缺损失费: 由于物品短缺所产生的一切损失费用，由于物品短缺所产生的一切损失费用， 与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为 Cs . 优优 化化 建建 模模 11 . 2 经济订购批量存贮模型（经济订购批量存贮模型（EOQ） 模型定义：模型定义： 不允许缺货、货物生产不允许缺货、货物生产 (或补充或补充)的时间的时间 很短（通常近似为很短（通常近似为0）. 经济订购批量存贮模型（经济订购批量存贮模型（EOQ）有以下假设：）有以下假设

5、： ( l ) 短缺费为无穷，即短缺费为无穷，即 Cs s， ( 2 ) 当存贮降到零后，可以立即得到补充；当存贮降到零后，可以立即得到补充； ( 3 ) 需求是连续的、均匀的；需求是连续的、均匀的； ( 4 ) 每次的订货量不变，订购费不变；每次的订货量不变，订购费不变； ( 5 ) 单位存贮费不变。单位存贮费不变。 在一个周期内，最大的存贮量为在一个周期内，最大的存贮量为Q，最小的存贮，最小的存贮 量为量为0，且需求的连续均匀的，因此在一个周期内，且需求的连续均匀的，因此在一个周期内， 其平均存贮量为其平均存贮量为Q/ /2，存贮费用为，存贮费用为CpQ/ /2. 11 . 2 .1基本的

6、经济订购批量存贮模型（基本的经济订购批量存贮模型（EOQ） 优优 化化 建建 模模 一次订货费为一次订货费为 CD ，则在一个周期（，则在一个周期（T ) )内的平均内的平均 订货费为订货费为 CDT. 由于在最初时刻，订货量为由于在最初时刻，订货量为Q，在，在 T 时刻，存贮量为时刻，存贮量为0. 而且需求量为而且需求量为 D 且连续均匀变且连续均匀变 化，因此，订货量化，因此，订货量 Q，需求量，需求量 D 和订货周期和订货周期 T 之间之间 的关系为的关系为: T = Q/ /D. 优优 化化 建建 模模 一个周期内的总费用一个周期内的总费用( (一个单位时间内一个单位时间内 ( (如一

7、如一 年年) )的平均总费用）的平均总费用） 得费用最小的订货量得费用最小的订货量 * * 1 2. 2 D PDP C D TCC QC C D Q 1 , 2 D P C D TCC Q Q * 2 , D P C D Q C 2 1 0. 2 D P dTCC D C dQQ 令令 优优 化化 建建 模模 例例 11 . 2 （继例（继例 11.1 ) 设该零件的每月需求量为设该零件的每月需求量为800件件 （1）试求今年该公司对零件的最佳订货存贮策略及费用；）试求今年该公司对零件的最佳订货存贮策略及费用； （2）若明年对该零件的需求将提高一倍，则需零件的订）若明年对该零件的需求将提高一

8、倍，则需零件的订 货批量应比今年增加多少？订货次数以为多少？货批量应比今年增加多少？订货次数以为多少？ 解：解： 取一年为单位时间，由假设，订货费取一年为单位时间，由假设，订货费 CD 12000 元次，存贮费元次，存贮费 Cp= 3.6 元元(件件 年年)，需求率，需求率 D = 96000件年，代入相关的公式得到：件年，代入相关的公式得到： * 22120096000 25298() 3.6 D P C D Q C 件件 * * 25298 0.2635( 96000 Q T D 年年） * 223.6120009600091073() DP TCC C D元元 年年/ / 优优 化化 建

9、建 模模 编写编写 LINGO 程序（程序名：程序（程序名：exam1102a .lg4 ） MODEL: 1 C_D = 12000; 2 D = 96000; 3 C_P = 3.6; 4 Q = (2*C_D*D/C_P)0.5; 5 T = Q/D; 6 n = 1/T; 7 TC = 0.5*C_P*Q+C_D*D/Q; END 计算结果计算结果 Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value 例例 11 . 2 优优 化化 建建 模模 全年的订货次数为全年的订货次数为 n必须为正整数，必须为正整数， 比较比较n= 3 与

10、与n= 4 时全年的费用时全年的费用 继续用继续用 LINGO 程序计算程序计算( exam1102b . Lg4) MODEL: 1 sets: 2 times/1.2/: n, Q, TC; 3 endsets 4 data: 5 n = 3, 4; 6 C_D = 12000; 7 D = 96000; 8 C_P = 3.6; 9 enddata 10 for(times: 11 n = D/Q; 12 TC=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q; 13 ); END 例例 11 . 2 1 3.7947(). T 次次n =n = 优优 化化 建建 模模 Feasible soluti

11、on found at iteration: 0 Variable Value N(1) 得到结果得到结果 结果解释：全年组织结果解释：全年组织 4 次订货更好一些，每季度订货次订货更好一些，每季度订货 一次，每次订货一次，每次订货 24000件。件。 例例 11 . 2 优优 化化 建建 模模 ( 2 )若明年需求量增加一倍，则需零件的订货批量若明年需求量增加一倍，则需零件的订货批量 应比今年增加多少？订货次数以为多少？应比今年增加多少？订货次数以为多少？ 用用LINGO 软件，直接求出问题的整数解。软件，直接求出问题的整数解。 编写编写 LINGO 程序程序(exam1102c . lg4

12、 ) 例例 11 . 2 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1 sets: 2 order/1.99/: TC, EOQ; 3 endsets 4 5 for(order(i): 6 EOQ(i)=D/i; 7 TC(i)=0.5*C_P*EOQ(i)+C_D*D/EOQ(i); 8 ); 9 TC_min=min(order: TC); 10 Q=sum(order(i): EOQ(i)*(TC_min #eq# TC(i); 11 N=D/Q; 12 13 data: 14 C_D = 12000; 15 D = 96000; 16 C_P = 3.6; 17 enddata END

13、例例 11 . 2 程序解释：程序第程序解释：程序第 2行中的行中的 99 不是必须的，不是必须的， 通常取一个适当大的数就可以了通常取一个适当大的数就可以了;第第 6 行计算年行计算年 订货订货 1 , 2 ， ， 99 次的订货量，第次的订货量，第 7行计行计 算在这样的订货量下，年花费的平均总费用。第算在这样的订货量下，年花费的平均总费用。第 9行求出所有费用中费用最少的一个，第行求出所有费用中费用最少的一个，第 10 行求出最小费用对应的订货量，第行求出最小费用对应的订货量，第 11行求出相行求出相 应的订货次数应的订货次数 优优 化化 建建 模模 经计算得到经计算得到 Feasibl

14、e solution found at iteration: 0 Variable Value 结果解释：一年组织结果解释：一年组织 4 次订货（每季度次订货（每季度 1 次），每次次），每次 的订货量为的订货量为 24 000件，最优费用为件，最优费用为 91200 元。元。 模型评价：它在实际使用中的效果并不理想，其原因在模型评价：它在实际使用中的效果并不理想，其原因在 于：此模型没有考虑多产品、共同占用资金、库容等实于：此模型没有考虑多产品、共同占用资金、库容等实 际情况。际情况。 优优 化化 建建 模模 11 . 2 . 2 带有约束的经济订购批量存贮模型带有约束的经济订购批量存贮模型

15、 考虑多物品（设有考虑多物品（设有m种物品），带有约束的情况。种物品），带有约束的情况。 ( l ) Di, Qi, Ci（i = 1,2= 1,2，m）分别表示第）分别表示第i i种物品的种物品的 单位需求量、每次订货的批量和物品的单价；单位需求量、每次订货的批量和物品的单价； ( 2 ) CD 表示实施一次订货的订货费，即无论物品是表示实施一次订货的订货费，即无论物品是 否相同，订货费总是相同的；否相同，订货费总是相同的； ( 3 ) Cpi（i= 1,2, ,m）表示第）表示第 i 种产品的单位存贮费；种产品的单位存贮费； ( 4 ) J, WT分别表示每次订货可占用资金和库存总容量；分

16、别表示每次订货可占用资金和库存总容量； ( 5 ) wi（i =1,2,m）表示第）表示第 i 种物品的单位库存占用种物品的单位库存占用 优优 化化 建建 模模 1 具有资金约束的具有资金约束的 EOQ 模型模型 对于第对于第i ( i = 1 , 2 ， ，m）种物品，当每次订货）种物品，当每次订货 的订货量为的订货量为Qi 时，年总平均费用为时，年总平均费用为 每种物品的单价为每种物品的单价为Ci，每次的订货量为，每次的订货量为Qi，则，则CiQi 是该种物品占用的资金是该种物品占用的资金. 因此，资金约束为因此，资金约束为 1 2 Di iPii i C D TCC Q Q 1 . m

17、ii i C QJ 综上所述综上所述 优优 化化 建建 模模 2 具有库容约束的具有库容约束的 EOQ 模型模型 具有资金约束的具有资金约束的 EOQ 模型为模型为 1 1 min , 2 m Di Pii i i C D C Q Q 1 . . , m ii i s tC QJ 1 1 min , 2 m Di Pii i i C D C Q Q 1 . . , m iiT i s twQW 0, 1,2,. i Qim 0, 1,2,. i Qim 优优 化化 建建 模模 3 兼有资金与库容约束的最佳批量模型兼有资金与库容约束的最佳批量模型 对于这三种模型，可以容易地用对于这三种模型，可以

18、容易地用 LINGO 软件进行求解软件进行求解 1 1 min , 2 m Di Pii i i C D C Q Q 1 . . , m ii i s tC QJ 1 , m iiT i wQW 0, 1,2,. i Qim 优优 化化 建建 模模 例例 11 . 3 某公司需要某公司需要5种物资，其供应与存贮模式为种物资，其供应与存贮模式为 确定型、周期利补充、均匀消耗和不允许缺货模型。确定型、周期利补充、均匀消耗和不允许缺货模型。 设该公司的最大库容量（设该公司的最大库容量（WT) )为为 1500 立方米，一立方米，一 次订货占用流动资金的上限次订货占用流动资金的上限( J )为为40万

19、元，订货费万元，订货费 （CD）为）为1000元，元，5种物资的年需求量种物资的年需求量Di, 物资单价物资单价 Ci, 物资的存贮费物资的存贮费Cpi, 单位占用库单位占用库wi如表如表11-1所示，所示， 试求各种物品的订货次数、订货量和总的存贮费用。试求各种物品的订货次数、订货量和总的存贮费用。 优优 化化 建建 模模 例例 11 . 3 物资物资 i 年需求量年需求量 Di 单价单价Ci ( 元件元件) 存贮费存贮费Cpi ( 元元(件件 年年) 单位占用库容单位占用库容wi (米米 3 件件) 1 160060030030060601.01.0 2 29009001000100020

20、02001.51.5 3 3240024005005001001000.50.5 4 412000120005005001001002.02.0 5 5180001800010010020201.01.0 优优 化化 建建 模模 解：解： 设设Ni是第是第i ( i= 1,2, 5)物品的年订货次数，物品的年订货次数， 相应的整数规划模型相应的整数规划模型 5 1 1 min , 2 Di Pii i i C D C Q Q 5 1 . . , ii i s tC QJ 5 1 , iiT i wQW /, 1,2,5. iii NDQi 0,0 , 1,2,5. ii QNi 且且取取整整数

21、 数 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1 sets: 2 kinds/1.5/: C_P, D, C, W, Q, N; 3 endsets 4 5 min=sum(kinds: 0.5*C_P*Q+C_D*D/Q); 6 sum(kinds: C*Q)=J; 7 sum(kinds: W*Q)=W_T; 8 for(kinds: N=D/Q; gin(N); 9 data: 10 C_D = 1000; 11 D = 600, 900, 2400, 12000, 18000; 12 C = 300, 1000, 500, 500, 100; 13 C_P = 60, 200, 100,

22、 100, 20; 14 W = 1.0, 1.5, 0.5, 2.0, 1.0; 15 J = 400000; 16 W_T = 1500; 17 enddata END exam1103 . lg4 优优 化化 建建 模模 计算结果如下：计算结果如下： Local optimal solution found at iteration: 5903 Variable Value Reduced Cost 优优 化化 建建 模模 优优 化化 建建 模模 Row Slack or Surplus Dual Price 结果解释结果解释: 总费用为总费用为 142272.8 元，订货资金还余元，订

23、货资金还余 7271.694 元，库存余元，库存余 4.035621 立方米，立方米，(表表 11- 2 ). 优优 化化 建建 模模 物资物资 i订货次数订货次数订货量订货量Q*i ( (件件) ) 1 17 785.7142985.71429 2 2131369.2307769.23077 3 31414171.4286171.4286 4 44040300.0000300.0000 5 52929620.6897620.6897 表表 11-2 ：物资的订货次数与订货量：物资的订货次数与订货量 注意注意:LINGO作整数规划的计算较慢作整数规划的计算较慢. 优优 化化 建建 模模 11

24、. 2 . 3 允许缺货的经济订购批量存贮模型允许缺货的经济订购批量存贮模型 所谓允许缺货是指企业可以在存贮降至零后，还所谓允许缺货是指企业可以在存贮降至零后，还 可以再等一段时间然后订货，当顾客遇到缺货时不受可以再等一段时间然后订货，当顾客遇到缺货时不受 损失，或损失很小并假设顾客耐心等待直到新的货补损失，或损失很小并假设顾客耐心等待直到新的货补 充到来。充到来。 12 TTT T1不缺货时间 T2缺货时间 T周期 S为最大缺货量，为最大缺货量， CS 缺货损失的单价，缺货损失的单价，Q仍为每仍为每 次的最高订货量，则次的最高订货量，则Q - - S 为最高存贮量，因为每次为最高存贮量，因为

25、每次 得到订货量得到订货量Q后，立即支付给顾客最大缺货后，立即支付给顾客最大缺货S. 优优 化化 建建 模模 图图11-3 允许缺货模型的存贮曲线。允许缺货模型的存贮曲线。 一个周期内一个周期内 12 1 12 1 ()0 () 2 , 2 QS TT QS T TTT = =平均存贮量平均存贮量 1 () , QS T D 2 , S T D . Q T D 优优 化化 建建 模模 平均总费用平均总费用 2 1 ()() , 22 QS TQS TQ 平均存贮量平均存贮量 22 () . 22 sPD C SCQSC D TC QQQ 2 2 , 22 STS TQ 平均缺货量平均缺货量 优

26、优 化化 建建 模模 例例 11 . 4 ( 继例继例 11.2 ) 将问题改为允许缺货模型，且缺货损失费为每将问题改为允许缺货模型，且缺货损失费为每 年每件年每件 13.2元，其他条件不变。求全年的订货次元，其他条件不变。求全年的订货次 数、订货量以及最优存贮费用数、订货量以及最优存贮费用 解：解： 是一个整数规划问题是一个整数规划问题 22 () min . 22 sPD C SCQSC D QQQ . . , D s tn Q 0,0Qn 且取整数且取整数. 编写编写LINGO程序（程序（ exam1104a . lg4 ） 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1 min=0.5*C_

27、P*(Q- S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q; 2 N=D/Q; gin(N); 3 data: 4 C_D = 12000; 5 D = 96000; 6 C_P = 3.6; 7 C_S = 13.2; 8 enddata END exam1104a . lg4 计算结果计算结果 优优 化化 建建 模模 Local optimal solution found at iteration: 853 Variable Value Reduced Cost Row Slack or Surplus Dual Price 优优 化化 建建 模模 结果解释结果解释: 即全年组织即

28、全年组织 3 次订货，每次的订货量为次订货，每次的订货量为 32000件，最大缺货量为件，最大缺货量为 6857.141 件，最优费用为件，最优费用为 81257.14 元。请与例元。请与例 11.2 相比较。相比较。 如果只求最小费用的订货周期、最大订货量和最大如果只求最小费用的订货周期、最大订货量和最大 缺货量，只需对平均总费用求关于缺货量，只需对平均总费用求关于Q和和S的偏导数，求的偏导数，求 出其极小点出其极小点 22 * ()() , 22 sPD C SCQSC D TC QQQ . Q T D 2() , DPS PS C D CC Q C C , P PS C SQ CC 优优

29、 化化 建建 模模 MODEL: 1 sets: 2 order/1.99/: TC, EOQ, EOS; 3 endsets 4 5 for(order(i): 6 EOQ(i)=D/i; 7 EOS(i)=C_P/(C_p+C_S)*EOQ(i); 8 TC(i)=0.5*C_P*(EOQ(i)-EOS(i)2/EOQ(i)+C_D*D/EOQ(i) 9 +0.5*C_S*EOS(i)2/EOQ(i); 10 ); 11 TC_min=min(order: TC); 12 Q=sum(order(i): EOQ(i)*(TC_min #eq# TC(i); 13 S=sum(order(i

30、): EOS(i)*(TC_min #eq# TC(i); 不用求解整数规划，也可以很容易的求出整数解不用求解整数规划，也可以很容易的求出整数解 编写程序编写程序(exam1104b . Lg4) 优优 化化 建建 模模 14 N=D/Q; 15 16 data: 17 C_D = 12000; 18 D = 96000; 19 C_P = 3.6; 20 C_S = 13.2; 21 enddata END 优优 化化 建建 模模 Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value 计算结果计算结果 优优 化化 建建 模模 11 .

31、2 . 4 带有约束允许缺货模型带有约束允许缺货模型 允许缺货模型。考虑多种类、带有资金和库容约束允许缺货模型。考虑多种类、带有资金和库容约束 的数学模型。设的数学模型。设Si， CSi 分别为第分别为第 i 种物品的最大缺货种物品的最大缺货 量、缺货损失单价，其他符号的意义不变量、缺货损失单价，其他符号的意义不变. 由于由于Qi是第是第i 种物品的最大订货量，则种物品的最大订货量，则CiQi是第是第 i 种物品占用资金数，种物品占用资金数， QiSi是第是第 i 种物品的最大存贮量。种物品的最大存贮量。 22 1 () min . 22 n P iiiSii Di i iii CQSC S

32、C D QQQ 1 . . , n ii i s tC QJ 0, 1,2, . i Qin 1 (), n iiiT i w QSW 优优 化化 建建 模模 例例 11 . 5 （继例（继例 11.3） 假设缺货损失费假设缺货损失费（CSi Si) )是 是物品的存贮费物品的存贮费( (CPi Pi) )的 的2倍，倍， 其他参数不变，试求出各种物品的订货次数、订货量其他参数不变，试求出各种物品的订货次数、订货量 和总的存贮费用。和总的存贮费用。 解：解： 设设 Ni 是第是第 i 物品的年订货次数，物品的年订货次数， 22 5 1 () min . 22 P iiiSii Di i iii

33、 CQSC S C D QQQ 5 1 . . , ii i s tC QJ 5 1 (), iiiT i w QSW 0, 0, , 1,2,5. ii QNi 且且取取整整数数 /, 1,2,5, iii NDQi 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1sets: 2 kinds/1.5/: C_P, D, C, W, C_S, Q, S, N; 3endsets 4 5min=sum(kinds: 0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q); 6sum(kinds: C*Q)=J; 7sum(kinds: W*(Q-S)=W_T; 8for(kinds

34、: N=D/Q; gin(N); 9data: 10 C_D = 1000; 11 D = 600, 900, 2400, 12000, 18000; 12 C = 300, 1000, 500, 500, 100; 13 C_P = 60, 200, 100, 100, 20; 14 C_S = 120, 400, 200, 200, 40; 15 W = 1.0, 1.5, 0.5, 2.0, 1.0; 16 J = 400000; 17 W_T = 1500; 18enddata END 计算结果计算结果 编写编写LINGO程序（）程序（） 优优 化化 建建 模模 Local optim

35、al solution found at iteration: 1557 Variable Value Reduced Cost 优优 化化 建建 模模 优优 化化 建建 模模 Row Slack or Surplus Dual Price 优优 化化 建建 模模 结论：总费用为结论：总费用为 124660.8 元，订货资金还余元，订货资金还余 88.46 元，库存余元，库存余 343.317 立方米立方米(表表11-3). 物资物资 i订货次数订货次数订货量订货量Qi ( (件件) )最大缺货量最大缺货量Si (件件) 1 17 785.7142985.7142928.5714228.571

36、42 2 2151560.0000060.0000019.9999919.99999 3 31717141.1765141.176547.0588147.05881 4 43838315.7895315.7895105.2631105.2631 5 52121857.1429857.1429285.7142285.7142 表表11-3 允许缺货的物资的订货次数与订货量允许缺货的物资的订货次数与订货量 优优 化化 建建 模模 11 . 2 . 5 经济订购批量折扣模型经济订购批量折扣模型 经济订购批量折扣模型中商品的价格是不固定的，经济订购批量折扣模型中商品的价格是不固定的， 是随着订货量的多

37、少而改变的物品订购的越多，物是随着订货量的多少而改变的物品订购的越多，物 品的单价也就越低。品的单价也就越低。 1 ()() 2 D p C D TCQCQDC Q Q 一年的总一年的总 费用费用 年平均存年平均存 贮费贮费 年平均订年平均订 货费货费 商品的购商品的购 买费用买费用 11 212 1 , 0, , , () , , mmm CQQ CQQQ C Q CQQQ 其中其中 其中其中 是单调递增的，而是单调递增的，而 是单调递减的是单调递减的 1 kk m Q 1 kk m C 优优 化化 建建 模模 物品的存贮费物品的存贮费Cp( Q )与物品的价格有关，通常与物品的价格有关，通

38、常 是价格是价格 C(Q)的的r（0 r D ，生产的产品一部分，生产的产品一部分 满足需求，剩余部分才作为存贮。满足需求，剩余部分才作为存贮。 11 . 3 .1 基本的经济生产批量存贮模型基本的经济生产批量存贮模型 优优 化化 建建 模模 设生产批量为设生产批量为Q，生产时间为，生产时间为 t，则生产时间与生，则生产时间与生 产率之间的关系为产率之间的关系为 . Q t P 优优 化化 建建 模模 平均存贮量是最平均存贮量是最 高存贮量的一半高存贮量的一半 平均固定生产费平均固定生产费(与经济订购与经济订购 模型中的平均订货费相同模型中的平均订货费相同) 平均总平均总 费用费用 1 1.

39、2 D P PC D TCC Q DQ 最高存贮量最高存贮量= ()()1. QD PD tPDQ PP 推导，得推导，得 2 , (1) D P C D Q D C P 2 1 1, D P D C D DP Q PC 2 1. PD D TCC C D P 优优 化化 建建 模模 有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种有一个生产和销售图书设备的公司，经营一种 图书专用书架，基于以往的销售记录和今后市场预测。图书专用书架，基于以往的销售记录和今后市场预测。 估计今后一年的需求量为估计今后一年的需求量为4900个，由于占用资金的利息个，由于占用资金的利息 以及存贮库房和其他人力物力的费用，存

40、贮一个书架一以及存贮库房和其他人力物力的费用，存贮一个书架一 年要花费年要花费 1000 元元. 这种书架是该公司自己生产的，每年这种书架是该公司自己生产的，每年 的生产量的生产量9800 个，而组织一次生产要花费设备调试等个，而组织一次生产要花费设备调试等 生产准备费生产准备费500元元. 该公司为了把成本降到最低，应如何该公司为了把成本降到最低，应如何 组织生产？要求出全年的生产次数，每次的最优生产量，组织生产？要求出全年的生产次数，每次的最优生产量， 以及最少的年总费用以及最少的年总费用. 例例 11 . 7 解：解： D = 4900 , CP= 1000 , P = 9800 , C

41、D = 500 ，代入公式代入公式 优优 化化 建建 模模 22 1000 4900 98.99495, 4900 (1)1000(1) 9800 D P C D Q D C P 4900 2 12 11000 500 4900 9800 49497.47. PD D TCC C D P 4900 49.49747, 98.99495 D N Q LINGO 程序程序(程序名：程序名： exam1107a.lg4 ) 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1 C_D = 500; 2 D = 4900; 3 C_P = 1000; 4 P = 9800; 5 Q2 = 2*C_D*D/C_P/

42、(1-D/P); 6 N = D/Q; 7 TC2=2*(1-D/P)*C_D*C_P*D; END 计算得到计算得到N 为小数，因此比较为小数，因此比较 N = 49 与与 N =50. LINGO 程序（程序名：程序（程序名： ） 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1 sets: 2 times/1.2/: N, Q, TC; 3 endsets 4 data: 5 N = 49, 50; 6 C_D = 500; 7 D = 4900; 8 C_P = 1000; 9 P = 9800; 10 enddata 11 for(times: 12 N = D/Q; 13 TC = 0.5

43、*(1-D/P)*C_P*Q+C_D*D/Q; 14 ); END 优优 化化 建建 模模 Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value Row Slack or Surplus 计算结果计算结果 结果说明结果说明: 无论是取无论是取 N = 49 ，还是取，还是取 N =50，其年总费用是，其年总费用是 相同的相同的,都是都是 49500元元. 优优 化化 建建 模模 某公司生产并销售某公司生产并销售 A 、 B 、C三种商品根三种商品根 据市场预测，三种商品每天需求量分别是据市场预测，三种商品每天需求量分别是400 , 300

44、 , 300 （件），三种商品每天的生产量分别是（件），三种商品每天的生产量分别是1300 , 1100 , 900 （件）（件）. 每安排一次生产每安排一次生产, 其固定费用其固定费用(与生产量无关与生产量无关)分别分别 为为 10000 ,12000, 13000（元）（元）, 生产费用每件分别为生产费用每件分别为 1.0 , 1.1 , 1.4（元）（元）. 商品的生产速率、需求率和最大生商品的生产速率、需求率和最大生 产量满足如下约束：产量满足如下约束： 11 . 3 . 2 带有约束的经济生产批量存贮模型带有约束的经济生产批量存贮模型 例例 11 . 8 求每种产品的最优的生产叶间与

45、存贮时间，以及总的最优求每种产品的最优的生产叶间与存贮时间，以及总的最优 存贮费用存贮费用. 3 1 1.5 1. ii i ii DD PQ 解：建立最优生产批量存贮模型解：建立最优生产批量存贮模型 优优 化化 建建 模模 LINGO 程序程序(程序名：程序名： ) 3 1 1 min (1), 2 iDii P ii i ii DC D C Q PQ 3 1 1.5 . . 1, ii i ii DD s t PQ , 1,2,3, i i i Q Ti D 0,0, 1,2,3. ii TQi 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1 sets: 2 kinds/1.3/: C_P, P

46、, C_D, D, Q, T, T_p; 3 endsets 4 5 min=sum(kinds: 0.5*C_P*Q*(1-D/P)+C_D*D/Q); 6 sum(kinds: D/P+1.5*D/Q) D ) , V 是最大存贮量是最大存贮量 T为一个生产、存贮周期为一个生产、存贮周期 t4 为为T中缺货量减少的时期中缺货量减少的时期 t1为为 T 中的生产时期中的生产时期 (存贮增加的时期存贮增加的时期) t2 为为 T 中的存贮时期中的存贮时期 (存贮减少的时期存贮减少的时期) t3为为T中缺货量增加中缺货量增加 的时期的时期 1234. Ttttt 优优 化化 建建 模模 设设 S

47、 是最大缺货量，则是最大缺货量，则 设设Q是总生产量，则是总生产量，则Q中的中的D/P部分满足当时的需求，部分满足当时的需求， (1-D/P)部分用于偿还缺货和存贮，由此得到最大存贮、部分用于偿还缺货和存贮，由此得到最大存贮、 最大缺货与生产、需求之间的关系最大缺货与生产、需求之间的关系: 1 , V t PD 2 . V t D 3 , S t D 4 . S t PD 1. D VSQ P 平均存贮量在不缺货期间平均存贮量在不缺货期间 为为 V/ 2, 而在缺货期间而在缺货期间 的存贮量为的存贮量为0，因此一个周期内的平均存贮量为，因此一个周期内的平均存贮量为 12 ()tt 34 ()t

48、t 优优 化化 建建 模模 平均存贮量平均存贮量 1234 1234 12 1234 1 1()0 () 2 1() 2() D QStttt P tttt D QStt P tttt 进一步代入进一步代入 计算，有计算，有 平均存贮量平均存贮量 2 1() 2() 11 2() 2 (1) DVV QS PPDD VVS PDDDPD DD QSVQS PP D VS Q P S S 优优 化化 建建 模模 在不缺货期间在不缺货期间 内，缺货量为内，缺货量为0，而在缺货，而在缺货 期间期间 的存贮量为的存贮量为S/2，因此一个周期内的，因此一个周期内的 平均缺货量为平均缺货量为 12 ()t

49、t 34 ()tt 进一步代入进一步代入 计算，有计算，有 平均缺货量平均缺货量 1234 34 12341234 1 0 ()() () 2 2() ttS tt S tt tttttttt 平均缺货量平均缺货量 2() 2() 2() SS S S DPD VVSS VS PDDDPD 2 2 (1) S D Q P 优优 化化 建建 模模 一年中的总费用一年中的总费用 允许缺货的经济生产批量存贮模型，就是求变量允许缺货的经济生产批量存贮模型，就是求变量Q， S 使目标函数使目标函数TC 达到极小。达到极小。 例例 11 . 9 （继例（继例 11.7 ) 假设在例假设在例 11.7 中，

50、生产与销售图书馆设备公司中，生产与销售图书馆设备公司 允许缺货，但缺货费为每年每件允许缺货，但缺货费为每年每件2000 元，其他参数元，其他参数 不变。在允许缺货情况下，试求出其的生产、存贮周不变。在允许缺货情况下，试求出其的生产、存贮周 期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费用。期，每个周期的最优生产量，以及最少的年总费用。 D= 4900 ，CP=1000 , P = 9800， CD = 500 和 CS = 2000 。 解：解： TC=存贮费生产准备费缺货费存贮费生产准备费缺货费 2 2 (1) 2 (1)2 (1) P SD D CQS C SC DP DD Q QQ PP 优

51、优 化化 建建 模模 编写编写LINGO 程序程序( exam1109a. lg4 ) MODEL: 1 min = 0.5*C_P*(Q*(1-D/P)-S)2/(Q*(1-D/P) 2 + C_D*D/Q + 0.5*C_S*S2/(Q*(1-D/P); 3 T1 = (Q*(1-D/P)-S)/(P-D)*365; 4 T2 = (Q*(1-D/P)-S)/D*365; 5 T3 = S/D*365; 6 T4 = S/(P-D)*365; 7 T=T1+T2+T3+T4; 8 data: 9 C_D = 500; 10 D = 4900; 11 C_P = 1000; 12 P = 9

52、800; 13 C_S = 2000; 14 enddata END 注：程序中的第注：程序中的第 3 6 行中都乘上行中都乘上 365 ，表示每，表示每 年按年按 365 天计算，这样得天计算，这样得 到的结果以天计算。到的结果以天计算。 优优 化化 建建 模模 计算结果计算结果 Local optimal solution found at iteration: 35 Variable Value Reduced Cost 结果解释：每个周结果解释：每个周 期为期为 9 天，其中天，其中 9 天中有天中有 4.5 天在生天在生 产，每次的生产量产，每次的生产量 为为 121 件，而且缺件，

53、而且缺 货的时间有货的时间有 3 天。天。 总的费用总的费用(包括存贮包括存贮 费、订货费和缺货费、订货费和缺货 费费)为为 40414.52元元 优优 化化 建建 模模 本例也有目标函数的极小值的解析解：本例也有目标函数的极小值的解析解： 再解例再解例 11.9 ，编写，编写LINGO 程序（程序（ exam1109b. lg4 ) (1), P PS CD SQ CCP 1/2 2() . (1) DPS PS C D CC Q D C C P 优优 化化 建建 模模 MODEL: 1 S = C_P/(C_P+C_S)*(1-D/P)*Q; 2 Q2 = (2*C_D*D*(C_P+C_

54、S)/(C_P*C_S*(1-D/P); 3 T1 = (Q*(1-D/P)-S)/(P-D)*365; 4 T2 = (Q*(1-D/P)-S)/D*365; 5 T3 = S/D*365; 6 T4 = S/(P-D)*365; 7 T = T1+T2+T3+T4; 8 data: 9 C_D = 500; 10 D = 4900; 11 C_P = 1000; 12 P = 9800; 13 C_S = 2000; 14 enddata END 优优 化化 建建 模模 计算结果计算结果 Feasible solution found at iteration: 0 Variable Va

55、lue T 9.031408 两种方法计算结果相同。两种方法计算结果相同。 优优 化化 建建 模模 11 . 3 . 4 带有约束的允许缺货模型带有约束的允许缺货模型 这类问题的本质就是根据存贮模型的特点，列出相这类问题的本质就是根据存贮模型的特点，列出相 应的约束问题，再根据这些问题，利用应的约束问题，再根据这些问题，利用 LINGO 软件软件 得到问题的最优解。得到问题的最优解。 优优 化化 建建 模模 11 . 4 单周期随机库存模型单周期随机库存模型 在许多情形中需求量是随机的在许多情形中需求量是随机的 11 . 4 . 1单周期随机库存模型的基本假设单周期随机库存模型的基本假设 (1

56、) (1)在整个需求期内只订购一次货物，订购量为在整个需求期内只订购一次货物，订购量为Q，订，订 购费和初始库存均为购费和初始库存均为0，每单位产品的购价（成本）为，每单位产品的购价（成本）为 C ; (2) (2)需求量需求量 D 为一连续的随机变量，且为一连续的随机变量，且 D=x 的概率密的概率密 度为度为 f (x)，当货物出售时，每单位产品的价格为，当货物出售时，每单位产品的价格为 U ; (3) (3) 需求期结束时，没有卖出的货物不存贮而是折价需求期结束时，没有卖出的货物不存贮而是折价 卖出，单位价格为卖出，单位价格为 V. 优优 化化 建建 模模 11 . 4 . 2 模型的推

57、导模型的推导 问题是求订购量问题是求订购量Q为多少时，使得总利润最大为多少时，使得总利润最大. , xxQ QQ = = ，xx 当当 当当 出售量出售量 当需求量当需求量 时，时，Dx 利润利润 一个周期的总利润应该是一个周期的总利润应该是G(Q)的期望值，的期望值， (), , () , . UxV QxCQxQ G Q UQCQxQ 当当 当当 0 ()() ( ) () ( ) Q Q E G QUxV QxCQ f x dx UQCQ f x dx 0 ()()() ( ) Q UC QUVQx f x dx 优优 化化 建建 模模 两端对两端对Q求导数，求导数， 注意到二阶导数小于

58、注意到二阶导数小于0 , 满足满足 的的Q一定是一定是 E(Q)的极大值点。的极大值点。 对于销售价对于销售价 U 、成本价、成本价 C 和折扣价和折扣价 V ，应满足，应满足 U C V. 0 ( ). Q UC f x dx UV 0 () ()()( ), Q d E G Q UCUVf x dx dQ 2 2 () () ()0, d E G Q UV f Q dQ 优优 化化 建建 模模 令令k= U - C 是物品出售后的利润，是物品出售后的利润， 令令 h = C - V是物品折扣出售的损失，是物品折扣出售的损失， 将总利润将总利润G(Q)的公式改写为的公式改写为 0 ( ).

59、Q UCk f x dx UCCVkh ( )()()()()() ( ) Q E G QUC QUV QUVxQ f x dx ()()() ( ) Q UCQV QUVxQ f x dx ()()() ( ) Q kh QkhxQ f x dx 优优 化化 建建 模模 总利润总利润 期望值期望值 总收入总收入 期望值期望值 成本成本 折扣收入折扣收入 期望值期望值 缺货损失缺货损失 期望值期望值 11 . 4 . 3 模型的求解模型的求解 例例 11 . 10 （报童问题）（报童问题） 在街中有一报亭，平均每天出售报纸在街中有一报亭，平均每天出售报纸500 份，出售份，出售 报纸的数量，与

60、来往的人流有关，假设服从报纸的数量，与来往的人流有关，假设服从 Poisson 分布，每卖出一份报纸能盈利分布，每卖出一份报纸能盈利0.15元元. 如果卖不出去如果卖不出去, 只能作为费纸处理，每份报纸亏损只能作为费纸处理，每份报纸亏损0.40元元. 问：报亭应问：报亭应 如何安排报纸的订购量，使得报亭的利润最大？如何安排报纸的订购量，使得报亭的利润最大？ 积分积分 相当于当相当于当xQ时的损失函数，时的损失函数，-( ) Q x Q f x dx ()() 优优 化化 建建 模模 对于对于 Poisson 分布，积分分布，积分 可可 由由 LINGO中的函数中的函数pps 计算计算. 0 (