高等数学-定积分在几何物理上的应用广义积分

1、高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 O y xx x x x x xabx 设yf (x)0 (xa，b) A(x) f (t)dt x a A(x) f (t)dt是以a, x为底的曲边梯形的面积 x a A= f(x)dx 是以a, b为底的曲边梯形的面积 b a 5.4 定积分在几何问题中的应用举例 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 曲边梯形面积A(x)的微分为dA(x)f (x)dx， 点x处，高为f (x) 、宽为dx的矩形的面积为：f (x)dx O y xx+dxab DAf (x)dx，且DAf (x)dxo(dx) f (x)dx称为曲边梯形的面积元素

2、x 以dx为宽的曲边梯形面积为：DA dttf dxx x )( 以a，b为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f (x)dx为 被积表达式，以a，b为积分区间的定积分： A(x) f (t)dt x a A f (x)dx b a 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 一般情况下，为求某一量U (不一定就是面积，即使是面积 也不一定是曲边梯形的面积)，先将此量看成是某区间a，b上的 函数U(x)，再求这一量在a，b上的元素 d U(x)， 设d U(x)u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以a，b为积分区 间求定积分即得 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法) U

3、u(x)dx b a 注注：量U的特点： 1：与区间a,b有关； 2：具有可加性。 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 微元法的步骤：微元法的步骤： 1：取积分变量并决定其变化区间a,b； 2：在区间a,b上找一小区间x,x+x,得微元 Uf(x)dx=dU，且UdU=o(dx) 3: 在区间a,b上相加(在a,b上做定积分)得 ( ). bb aa UdUf x dx 主要思想主要思想：以直代曲；以不变代变。 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 二、平面图形的面积 O y xab y=f 上(x) y=f 下(x) x x+dx 求由曲线y=f 上(x)、 y=f 下(x

4、)及直线x=a、 x=b所围成的图形 的面积 面积元素为： 所求图形的面积为： f 上(x)f 下(x)dx A= f 上(x)f 下(x)dx b a 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 讨论：下图形的面积元素是什么？面积公式是什么？ ab y=f 上(x) y=f 下(x) O y xA1 O y x ab y=f 上(x) y=f 下(x) A2 O x y c d x=f 左( y) x=f 右( y) A3 A1=A2= f 上(x)f 下(x)dx b a 3 ( )( ) d c Afyfydy 右左 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 O y xab 求由曲

5、线y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直线x=a、 x=b所围成的图形的 面积，也可以按如下方法求面积： 所求的图形的面积可以看成是两个曲边梯形面积的差 y=f 上(x) y=f 下(x) y=f 下(x) A= f 上(x)dx b a f 下(x)dx b a 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 例1 计算由两条抛物线：y2x、yx 2 所围成的图形的面积 解 在区间0, 1上过x点且垂直于x 轴的直线左侧的面积记 为A(x)， 于是面积元素为 得所求的图形面积 以0, 1为积分区间求定积分 01 1 x y x x+dx 直线平移dx 后所产生的面积的改变量近似为 A(x)

6、y2x yx 2 DA ( x 2)dx ，x 以( x 2)dx为被积表达式，x dA = ( x 2)dx ，x A 1 0 (xx 2)dx x 2)dx 3 2 x 3/2 3 1 x3 1 0 3 1 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积 解 02468x 4 2 -2 y 2=2x y=x4 (8, 4) (2, -2) 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 例2 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的面积 解求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4) 将图形向 y 轴投影得区间2，4 A(y)为区间2

7、，4上过y点且垂直于 y轴的直线下侧的面积 直线平移dy 后所产生的面积的改变量近似为 于是面积元素为 所求的图形面积为 DA (y 4 y2)dy ， 2 1 dA = (y 4 y2)dy ， 2 1 A 4 2 (y 4 2 1 y2)dy y2)dy 2 1 y 24y 6 1 y 3 4 2 18 02468x 4 2 -2 y 2=2x y=x4 (8, 4) (2, -2) 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 解 设椭圆在第一象限的面积为A1，则椭圆的面积为A4A1 第一象限的部分椭圆在x 轴上的投影区间为0，a 因为面积元素为ydx， 于是 A 4A1 a b 椭圆的

8、参数方程为: yb sin t ， xa cos t ， y x O 1 2 2 2 2 b y a x a b y dx 所以 a 0 A1 ydx ， A1 a 0 ydx b sin t d (a cos t) a b 0 2 sin 2t d t ydx 0 2 b sin t d (a cos t) a b 2 1 a b 2 0 (1cos 2t )d t 2 1 (1cos 2t )d t 2 1 a b 2 4 1 a b 例 3 求椭圆1 2 2 2 2 b y a x 所围成的图形面积 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 2. 极坐标的情形 曲边扇形及曲边扇形的面

9、积元素： 由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积为 x O r () +d 曲边扇形的面积元素： dA () 2d 2 1 2 1 A () 2d 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 例4 计算阿基米德螺线ra (a 0)上相应于从0变到2 的 一段弧与极轴所围成的图形的面积 解 O x 2a ra d 2 0 2 1 A a 2 d a 2 3 a 2 3 3 1 2 0 3 4 dA= 2 1 a 2 d 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 A2 0 2 1 a(1cos ) 2d 例5 计算心形线ra(1cos ) (a0) 所围成的图形的面积

10、 解 O x ra(1cos ) 2a ) d dA = 2 1 a(1cos ) 2d a 2 2 3 2sin 4 1 sin2 0 2 3 a 2 a 2 0 ( 2 1 2cos 2 1 cos 2 ) d 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 三、体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周 而成的立体这直线叫做旋转轴 常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、 xb及x 轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体 Oxba y yf (x) 高等数学-定积分在几何物理

11、上的 应用广义积分 aOxb y yf (x) 设过区间a，b内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的 体积为V (x)， 旋转体的体积为 dV f (x)2dx ， 于是体积元素为 DVf (x)2dx ， 当平面右平移dx后，体积的增量近似为 V (x) dx f (x) V f (x)2dx b a x 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 例1 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x 轴围 成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h 的圆锥体计算这圆锥体的体积 体积元素为 解 过原点O及点P(h，r)的直线方程为 x h r y dV ( )2dxx

12、 h r h r x y O x h r y 所求圆锥体的体积为 V ( )2dxx h r h 0 x 3 h r 2 h 0 2 2 h r 3 1 3 1 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 旋转体(旋转椭球体)的体积 体积元素为 于是所求旋转椭球体的体积为 a b x y O dV y 2dx ， 例2 计算由椭圆 所成的图形绕x轴旋转而成的1 2 2 2 2 b y a x 解 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22 xa a b y V y 2dx a a (a 2x 2)dx a a 2 2 a b a 2x x 3 2 2 a

13、 b 3 1 a a a b 2 3 4 a b 22 xa a b y 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 22 2 1sin 2 xdx 2 2 1 cos2 22 x dx 222 244 2 x y 1 o V 解： 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 2. 平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在x轴的投影区间为a，b， x y O ba dx 则体积元素为A(x)dx ， 立体的体积为 面与立体相截，已知截面面积为A(x)， V A(x)dx b a A(x) 过点x 且垂直于x轴的平 x 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 例4 一平面经过半径为R的

14、圆柱体的底圆中心，并与底面 交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积 解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心 且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 于是所求的立体体积为 ) y x O ) R Rx 2 y 2R 2 截面积为A(x) (R 2x 2)tan a ， 2 1 V (R 2x 2) tan a dx 2 1 R R tan a R 2x x 3 R R 2 1 3 1 R 3tan a 3 2 22 xR tan a 22 xR 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 四、平面曲线的弧长 定理 光滑曲线弧是可求长的 设A，B 是曲线弧的两

15、个端点 在弧AB上任取分点 ) AM0，M1，M2， ，Mi1，Mi， ，Mn1，MnB ， 并依次连接相邻的分点得一内接折线当分点的数目无限增加 极限存在， 且每个小段Mi1Mi都缩向一点时， 是可求长的 则称此极限为曲线弧AB的弧长， M0 Mn A B M1M2 Mn1 如果此折线的长 |Mi1Mi|的 n i 1 ) 并称此曲线弧AB 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 1. 直角坐标的情形 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出，其中f(x)在区间a，b上具有一阶连续导数 曲线yf(x)上相应于 x 点的弧长增量近似为， 弧长元素(即弧微分)为 已知曲线的弧长

16、为 Ds M x dx dy M x+dx Ds M0 x0 x y O yf(x) 22 )()(dydxdxy 2 1， ds，dxy 2 1 s b a dxy 2 1 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 讨论： (2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在，上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？ (1)设曲线弧由参数方程 (t)、(t)在，上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各 是什么？ ( t )给出，其中 )( ),( ty tx 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间a，b上具有一阶连续导

17、数，则 ds，dxy 2 1s b a dxy 2 1 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 dx y dy M N P O ) ,sMOMPD ) 22 ,dsMPdxdy ) 2 2 11. dy dsdxydx dx ) ) ) 22 22 .dsdxdyx ty tdt ) ) ) 22 22 .dsdxdyrrd ),yf x ) ),xx tyy t ),rr 直角坐标系下 参数方程下 极坐标 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 解 因此，所求弧长为 yx 1/2， 从而弧长元素 例1 计算曲线 上相应于x从a到b的一段弧的长度 2/3 3 2 xy dsdxy

18、2 1dxx 22/1 )(1，dxx1 s dxx b a 1 b a x 2/3 )1 ( 3 2 ，)1 ()1( 3 2 2/32/3 ab 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 课堂练习课堂练习 ln38yxx求曲线对应于的一段弧长？ 解： 1 ,y x 2 8 3 1 1sdx x 2 8 3 1x dx x 22 2 1,1, 1 t xtxtdxdt t 令 3 222 11 tt sdt tt 2 3 3 2 2 2 1113 1ln1ln . 12122 tt dt tt 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 2. 参数曲线的情形 设曲线弧由参数方程 其中(

19、t)、(t)在，上 具有连续导数如图 dx(t)d t ，所以弧长元素为 所求弧长为 ( t ) )( ),( ty tx dx dy 因为 )( )( t t ， (t)d tds )( )( 1 2 2 t t ，dttt)()( 22 st dtt )()( 22 dx y dy M N P O 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 解 所求弧长为 8a a2 a 2a x y O 弧长元素为 x ( )a (1cos )，y ( )a sin 例3 计算摆线的一拱(0 2 )的长度 )cos1 ( ),sin( ay ax dsdyx)()( 22 daa 2222 sin)c

20、os1 ( da 2 sin2 s 2 0 2 sin2da 2 0 2 cos22 a 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 3. 极坐标的情形 设曲线弧由极坐标方程 给出，其中r()在，上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 r = r() ( ) 于是得弧长元素为 从而所求弧长为 ,sin)( ,cos)( ry rx ds，drr)()( 22 s drr)()( 22 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 解 ds 于是所求弧长为 例4 求阿基米德螺线ra (a0)相应于 从0到2 一段的弧 长 s 弧长元素为r( ) a O x 2a ra drr)()( 2

21、2 daa 222 ， da 2 1 2 0 2 1da)412ln(412 2 22 a 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 (1cos )ra求心形线的全长？ 课堂练习课堂练习 解： ) ) 22 dsrrd) 22 (1cos )asad 2(1 cos )2cos 2 aad 0 4cos 2 ad ) ) 22 0 2srrd 0 8 sin8 . 2 aa 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 作业：p301 9,13 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 5.5 定积分在物理中的应用举例 解 于是所求的功为 W q1 O rabr r+dr 1 例1 把

22、一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它 产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知 道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地 方，那么电场对它的作用力的大小为 当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(aa 如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a，)上的广义积分， 即 dxxf a )( 如果上述极限不存在，函数f(x)在无穷区间a，)上的广义 b limdxxf b a )( dxxf a )( 记作 ， b limdxxf b a )( ， 积分 就没有意义，dxxf a )( 此时称广义积分 发散dxxf a )( 这时也称广义积分

23、收敛；dxxf a )( 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 类似地，设函数f(x)在区间(，b 上连续，取a0) 1 limlimlim0 pb pbpb bbb b be epe 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 定理1：设F(x)为f(x)在区间a,+上的一个原函数，则 )lim( )( ) a x f x dxF xF a ) ).FF a ) )f x dxF x 设F(x)为f(x)在区间,+上的一个原函数，则 ).FF 2 arctan. 1 dx x x 0 pt te dt 0 1 pt tde p 00 11 ptpt teedt pp 2 0 1 p

24、t e p 2 1 . p 例1： 例2： 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 例 2 计算广义积分dtte pt 0 (p 是常数，且 p0) 0 00 0 2 11 () 111 () ptptptpt pt tedttd eteedt pp te ppp 1 11 lim()limlim0 pt ptpt ttt t p te pepe 高等数学-定积分在几何物理上的 应用广义积分 发散 当p1时，这广义积分发散 1 1 p a p 因此，当p1时，这广义积分收敛，其值为 ； 例3 证明广义积分 (a0)当p1时收敛，当p1时dx x p a 1 证 当p1时， dx x p a 1 dx x a 1 ln a xdx x p a 1 dx x a 1 ln a xdx x p a 1 dx x a 1 ln a x 当p1时，dx x p a 1 1 1 1 a p x p1 1 p a p dx x p a 1 1 1 1 a p x p1 1 p a p 高等数学