高数高斯公式[教学内容]

1、高高 斯斯 ( G a u s s ) 公公 式式 1 1优学课堂 一一. 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式 定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 所围成 , 的方向取外侧 , 在 上具有连续的一阶偏导数 , 则有公式 dxdydz z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz dSRQP coscoscos 高斯 ( Gauss ) 公式 dxdydz z R Rdxdy 只证 函数 P( x, y, z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z ) 2优学课堂 ),(: ),(: 22 11 yxzz yxzz 证明证明: 设 yx Dyxyxz

2、yxzyxz),(, ),(),(),(: 21 XY型区域 z y x yx D 2 3 1 321 dxdydz z R dz z R yxz yxz ),( ),( 2 1 yx D dxdyyxRyxR) ,() ,(),( 2 yxz ),( 1 yxz Rdxdy yx D dxdyyxR) ,(),( 2 yxz),( 1 yxz yx D dxdyyxRyxR ) ,() ,(),( 2 yxz),( 1 yxz 又 所以 dxdydz z R Rdxdy yx D dxdy yx D dxdyyxR) ,( Rdxdy 312 3优学课堂 类似可证类似可证 dxdydz z

3、R Rdxdy dxdydz y Q RdxdyQdzdxPdydz dxdydz z R y Q x P dzdxQ dxdydz x P dydzP 三式相加，即得所证Gauss公式： 若不是XY型区域 ,则可引进辅助面将其分割成若干 个XY型区域，在在辅助面正反两侧曲面积分正负抵消辅助面正反两侧曲面积分正负抵消 , 故仍有 4优学课堂 GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系. .)coscoscos( dSRQP 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的

4、关系知 RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P )( 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式5 5优学课堂 二、简单的应用 例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分 xdydzzydxdyyx)()( 其中为柱面其中为柱面1 22 yx及平及平 面面3, 0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭 区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧. . x o z y 1 1 3 解解 , , 0,)( yxR QxzyP 6优学课堂 , 0, 0, z R y Q zy x P dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin( . 2 9 (利用柱面坐标得利用柱面坐标

5、得) x o z y 1 1 3 dzzrrdrd 3 0 1 0 2 0 )sin( 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式7 7优学课堂 使用使用Guass公式时应注意公式时应注意: 1.1.RQP,是对什么变量求偏导数是对什么变量求偏导数; ; 2.2.是否满足高斯公式的条件是否满足高斯公式的条件; ; 3.3.是取闭曲面的外侧是取闭曲面的外侧. . 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式8 8优学课堂 2例例 dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()( 2232 3 1 .上半球的下侧上半球的下侧是是 2222 Rzyx :解解 . )( 1 222 0 的上侧的上侧 加一

6、平面加一平面Ryxz 11 11 1 dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()( 2232 3 1 1 dxdydzyy )(1 223 3 4 2 1 R 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式9 9优学课堂 1 dxdyyxzdzdxxydydzzxy)()()( 2232 1 3 1 dxdyyx xy D 22 drrrd R 0 2 0 3 3 2 R 11 3 3 4 2 1 R 3 3 2 R 3 3 4 R 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式10 10优学课堂 x y z o 例例 3 3 计算曲面积分计算曲面积分 dszyx)coscoscos( 222 ,

7、 ,其中其中为为 锥面锥面 222 zyx 介于平面介于平面 0 z及及)0( hhz 之间的部分的下侧之间的部分的下侧, , cos,cos,cos 是是在在),(zyx处处 的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. . h 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式11 11优学课堂 xy D x y z o h 1 解解 空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoy xy D )(: 222 1 hyxhz 补充补充 曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用 高斯公式高斯公式 取上侧，取上侧， 1 构成封闭曲面，构成封闭曲面， 1 . 1 围成空间区域围成空间区域 ,上

8、上使使用用高高斯斯公公式式在在 11 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式12 12优学课堂 dvzyx)(2 xy D h yx dzzyxdxdy 22 ,)(2 .| ),( 222 hyxyxDxy 其中其中 xy D h yx dzyxdxdy 22 , 0)( 1 222 dSzyx)coscoscos( . 2 1 4 h x y z o h 1 xy D dszyx 1 222 )coscoscos( 1 222 dxdyzdzdxydydzx xy D dxdyyxh)( 222 xy D h yx zdzdxdy 22 2, 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式13

9、13优学课堂 11 2222 )coscoscos(dSzdSzyx xy D dxdyh2 . 4 h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos( 222 4 2 1 h 4 h . 2 1 4 h x y z o h 1 xy D 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式14 14优学课堂 :问题问题 dxdy yx e ydzdxxdydzI z 22 .,所截部分外侧所截部分外侧被被为为21 22 zzyxz ?公式公式能否加减两平面用高斯能否加减两平面用高斯 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式15 15优学课堂 三、通量与散度 例中例中在第二类曲面积分的引在第二类曲

10、面积分的引 流量的概念流量的概念设向量场设向量场 kzyxRjzyxQizyxPzyxv ),(),(),(),( 是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, , 单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . . dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),(),(),( SdV ,RQPV 其中其中 ,dxdydzdxdydzSd .称为有向曲面元称为有向曲面元 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式 18 16优学课堂 1、通量的定义 设设有有向向量量场场 kzyxRjzyxQizyxPzyxA ),(),(),(),( 沿沿场场中中某某一一有有向向

11、曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为 RdxdyQdzdxPdydzSdA 称称为为向向量量场场),(zyxA 向向正正侧侧穿穿过过曲曲面面的的通通量量. . 的电通量的电通量单位时间通过单位时间通过为电场强度为电场强度如如,E SdEI 的磁通量的磁通量单位时间通过单位时间通过为磁感应强度为磁感应强度,B SdBI 17优学课堂 极限极限 V SdA MV lim存在存在, , 2. 2. 散度的定义散度的定义: : Adiv = = V SdA MV lim 处的通量强度处的通量强度反映了在点反映了在点),(zyx 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式20 18优学课堂 散度在

12、直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 SdAdv z R y Q x P )( SdA V dv z R y Q x P V 11 )( SdA Vz R y Q x P 1 ),( )( SdA Vz R y Q x P M 1 lim 积分中值定理积分中值定理, 两边取极限两边取极限, z R y Q x P Adiv 高斯高斯 ( Gauss ) 公式公式21 19优学课堂 :说明说明 、散度是一数值。、散度是一数值。1 ),(zyxfu 、梯度：、梯度：2 k z f j y f i x f zyxgradf ),( 向量向量 5例例kxzjxyieA xy )sin()cos(

13、 2 Adiv 求求 :解解 z R y Q x P Adiv )cos()sin( 2 2xzxzxyxye xy 高斯高斯 ( Gauss ) 公公 式式22 20优学课堂 思考与练习思考与练习 1. 设 为球面 2222 Rzyx的外侧, 为 所围立 体, 222 zyxr判断下列演算是否正确 ? (1)dxdy r z dzdx r y dydz r x 3 3 3 3 3 3 dv R 3 R4 (2)dxdy r z dzdx r y dydz r x 3 3 3 3 3 3 dv r z z r y y r x x 3 3 3 3 3 3 3 1 R dxdyzdzdxydydzx 3