1 不定积分定义[上课课堂]

1、第四章第四章 积分及其应用积分及其应用 4.14.1不定积分概念与性质不定积分概念与性质 【学习本节要达到的目标】 1、理解不定积分和原函数的概念 2、理解不定积分与微分的关系 2、掌握不定积分的性质 本章主要内容 一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、 积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。 1课堂节课 要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运 算，这就是产生积分运算的原因。 提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问 题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已 知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规 律），求曲线方程等等。 回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函

2、数, 如何求它的导数.” 那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学. 2课堂节课 为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我 们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较： 我们熟悉乘方运算： ) 1 (823 也熟悉导数运算： )1 (2 2 xx 于是提出新问题： )2(8? 3 )2(2?x 同样提出问题： 这不是乘方运算，而是它 的逆运算开方运算。 这不是求导运算，而是它的 逆运算积分运算。 一般来说，在下式里 ) 3( 3 ba )3()()(xfxF 同样，在下式里 ,3 ,3 aba b ba ba ba

3、ab 若已知， 未知，由 则称（ ）式为乘方 运算，称 为 的立方。 若已知， 未知，由 则称（ ）式为 开方运算，称 为 的 立方根。 ( )( )( ) ( ),3 ( )( )( ) ( )( )( ), 3 ( ) ( ) F xf xF x f x f xF xf x F xf xF x F x f x 若已知，未知，由 则称（） 式为求导运算， 称为的导数。若已 知，未知，由则 称（） 式为积分运算，称为 的原函数。 3课堂节课 通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下 先给出原函数与不定积分的有关的定义。 一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分 定定义义( ) ,I

4、f xxI 对对于于定定义义在在区区间间 上上的的函函数数若若对对 )()( xfxF 有有 ( ) ( ) F xf xI则则称称是是在在 区区间间上上的的一一个个原原函函数数 1例例 xxcossin sin cos (,)xx 是是的的一一个个原原函函数数 x x 1 ln 1 ln (0,)x x 是是的的一一个个原原函函数数 4课堂节课 这样就给我们提出了问题： 原函数存在的条件？ 原函数有多少个？ 这些原函数之间有何关系？ 如何求出这些原函数？ 例如例如 而而 在在 上上 是是 的原函数的原函数(,) sin xcos x sin1,sin3xx 也是它的原函数也是它的原函数 即即

5、 加任意常数都是加任意常数都是 的原函数的原函数. sinxcos x sin1,sin2xx 5课堂节课 原原函函数数存存在在定定理理 2例 2 )(xxf CR , 3 1 )( 3 xxF )()(xfxF (1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是 唯一的,且有无穷多个 ),()( xfxF若)()( xfCxF则 的原函数，是即若 )( )( xfxF. )( 亦是则CxF 若函数(x)在区间I上连续, 则(x) 在区间I上的原函数一定存在. 6课堂节课 (2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意 两个原函数只差一个常数项. )()(),()( xfx

6、GxfxF设 )()(xFxG)()(xFxG 0 ,)()(CxFxG CxFxG)()( 即 :结结论论),()( xfxF若 原函数都可用的则 )( xf. )(表示CxF 7课堂节课 ( )( ),f x dxf x 表表示示函函数数的的原原: :函函数数的的全全体体定定义义 则称则称( )f x dx 的的不不定定积积分分为为 )( xf 即 号号 分分 积积 数数 函函 积积 被被被积表达式被积表达式 项项 数数 常常 dxxf)( 积积分分变变量量 CxF )( 8课堂节课 3例例 dxx 5 求求 解解,) 6 ( 5 6 x x 6 6 5 x dxx 4例例dx x 2 1

7、 1 求求 解解 2 1 1 arctan x x xdx x arctan 1 1 2 C C 9课堂节课 5例 dx x 1 求 解解 , 0 )ln( , 0 ln ln xx xx x 当 当 1 dln (0).xxCx x 所所以以 )0( lnd 1 xCxx x . 1 )(ln0 x xx 时，有当 时，当0 x x )ln(有 x 1 x)() 1( 1 x , 1 x )0( )ln(d 1 xCxx x 10课堂节课 (1) ( )d ( ) d( )d( )d f xx f x f xxf xx 或或， (2) ( )d( ) d ( )( ) F xxF xC F

8、xF xC 或或， 微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算. . 不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系 先积后微先积后微 形式不变形式不变 先微后积先微后积 差一常数差一常数 11课堂节课 6例 .tanseclnsec成立验证等式Cxxxdx 解解 .是左端的被积函数即可 的导数只要验证等式右端函数依据不定积分的定义， 时，由于）当（0tansecxx )tanln(secxx )tanln(sec 1 xx )sectan(sec 2 xxx ,secx .所以，已给等式成立 .0tansec给等式成立时，类似地可以验证已）当（xx .立综上所述，已给等式成 12课堂

9、节课 7例),2 , 1 (已知某曲线过点处切线点其上),(yx 的两倍，的斜率为x求其方程 )( xfy 设曲线方程 则由题意知xxf2)( )(xfdxx 2 2 x x y 0 C 解解 ),2 , 1 (曲线过点又 ,12C1C即 . 1 2 xy故所求曲线为 13课堂节课 函数f (x)的原函数图形称为f (x)的 积分曲线,不定积分表示的不是一个原 函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常 说成一族函数,反映在几何上则是一族 曲线,这族曲线称为f (x)的积分曲线族积分曲线族. 在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k, 因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的 切线彼此平行

10、（如图）.f (x)为积分曲线在为积分曲线在( (x, f (x) 处的切线斜率处的切线斜率. . 不定积分的几何意义不定积分的几何意义 14课堂节课 2 1 d 2 所所以以 yx xxC (2,3) 1 C 把把代代入入上上述述方方程程，得得 ， 练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程. 解 设所求的曲线方程为 ,依题意可知( ) yf x ，yx 因此所求曲线的方程为 2 1. 2 x y 15课堂节课 二、基本积分公式二、基本积分公式 (6) sin dcosxxxC (1) d kxkxC d (3) ln|. x xC x (5) d.

11、 ee xx xC 1 (2) d (1). 1 x xxC (4) d. ln x x xC a a a 16课堂节课 2 2 d (8) csc d cot . sin x xxxC x (10) sec tan dsec .xxxxC (7) cos dsin .xxxC 2 2 d (9) sec dtan . cos x xxxC x (11) csc cot dcsc .xxxxC 2 1 (12) darcsin . 1 xxC x 2 1 (13) darctan. 1 xxC x 17课堂节课 C x dxx 1 1 dxxx 2 求求8例 解解 9例 解解 dx xx 3

12、1 求求 dxxx 2 dxx 2 5 1 2 5 1 2 5 x . 7 2 2 7 Cx dx xx 3 1 dxx 2 7 1 2 7 1 2 7 x . 5 2 2 5 Cx C C 18课堂节课 dxedx xx xx 22, 1 1 3 ）（）求（ 解 10例 dx xx 3 1 ) 1 ( dxx 3 4 Cx 1 3 4 3 4 1 1 Cx 3 1 3 dxe xx 2)2(Ce x x 2ln 2 dxe x )2( )2ln( )2( e e x C 练习：练习： dx e x x 2 求 dxa x C a a x ln 19课堂节课 三、不定积分的运算性质三、不定积分

13、的运算性质 性质性质2 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面号的前面. . 性质性质1可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即 性质性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数函数代数和的不定积分等于不定积分的代数 和，即和，即 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf dxxkf)()2(.)( dxxfk)0 ( k常数常数 dxxfxfxf n )()()( 21 .)()()( 21 dxxfdxxfdxxf n 注意：不定积分没有积和商的运算法则。 20课堂节课 xxgxxf xxgxxf )d

14、( )d()d()d( ，)()( =xgxf 证 只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有 这说明 是函数 的不定积分，所以欲证的等式成立. xxgxxf)d()d( )()(xgxf 性质性质1 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数函数代数和的不定积分等于不定积分的代数 和，即和，即 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf 21课堂节课 例例11 求求 3 2 543)d .(2xxx x 32 2d5d4d3 dxxx xx xx 3 2 32 543)d 2d5d4 d3d (2xx xxx xx x x xx 解解

15、 432 15 23. 23 xC xxx 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 22课堂节课 ) 1 (21例 dxxx)3( 32 求求 解解 dxxx)3( 32 dxxx)3( 256 6 1 x 3 x 解解 .) 1 2 1 3 ( 2 2 dx xx 求求 dx xx ) 1 2 1 3 ( 2 2 xarctan3 xarcsin2 C C 练习dx x x 2 3 )1( dx x xxx 2 23

16、133 )2( 23课堂节课 .arctan 3 3 Cxx x x x x d 1 1 ) 1( 2 2 xx x xx x x d 1 1) 1)(1( d 1 2 2 22 2 4 解解 xx x x d 1 1 d) 1( 2 2 .d 1 2 2 4 x x x 例例13 13 求求 24课堂节课 . )1( 21 22 2 dx xx x 求求 dx xx x )1( 21 22 2 dx xx xx )1( 1 22 22 dx x dx x 22 1 11 14例 解解 x x arctan 1 C 25课堂节课 dx xx xx )1( 1 2 2 dx xx xx )1( )1( 2 2 dx xx 1 1 1 2 dx x dx x 1 1 1 2 . )1( 1 2 2 dx xx xx 求求 练习 解解 arctanln|xCx 26课堂节课 15例 解解 xdx 2 cot 求求 xdx 2 cot dxx)1(csc2 xcot x C 16例 解解 dx x 2 sin 2 求求 dx x 2 sin 2 dxx)cos1( 2 1 x( 2 1 )sin x C 练习：练习： xdx 2 tan 求 练习：练习： dx