电路分析--动态电路中电压电流的约束关系

1、2021/3/131 电路分析下篇电路分析下篇 动态电路分析动态电路分析 电容元件和电感元件的电容元件和电感元件的VCR 都涉及微分或积分关系都涉及微分或积分关系,它们它们 分别储藏电场能和磁场能分别储藏电场能和磁场能,因因 而而,电容元件和电感元件属于电容元件和电感元件属于 动态元件。含有动态元件的动态元件。含有动态元件的 电路称为动态电路。电路称为动态电路。 2021/3/132 由于动态元件所具有的性质由于动态元件所具有的性质,动态电路动态电路 的响应与电阻电路的响应相比较具有的响应与电阻电路的响应相比较具有 下述特点下述特点: 1,有开关元件时有开关元件时,其响应不仅存在其响应不仅存在

2、 稳态响应稳态响应,同时还有暂态响应。响应同时还有暂态响应。响应 都是时间都是时间t的函数。的函数。 2021/3/133 2,响应不仅与外加激励有关响应不仅与外加激励有关,还与还与 动态元件上的初始储能有关。动态元件上的初始储能有关。 3,当激励开始作用时当激励开始作用时,不一定立即不一定立即 引起响应引起响应,同样同样,当激励停止作用当激励停止作用 时时,其响应还将继续存在。其响应还将继续存在。 2021/3/134 第七章第七章 动态电路中动态电路中 电压和电流的约束关系电压和电流的约束关系 2021/3/135 7-1 集中参数电路中电压、集中参数电路中电压、 电流的约束关系（自看）电

3、流的约束关系（自看） 2021/3/136 在在 qu 平面平面 上由一条曲线所上由一条曲线所 确定的元件称为确定的元件称为 电容元件。 （即由电容元件。 （即由 电荷和电压相约电荷和电压相约 束的元件）束的元件） q q 0 0 u 7-2 电容元件电容元件 一、电容元件的定义一、电容元件的定义 电容元件是实际部件电容元件是实际部件电容器的理想化模型。电容器的理想化模型。 2021/3/137 线性电容元件线性电容元件 u u 1 1 C C q q 0 0 )()(tCutq 式中式中 C电容（正值常数）电容（正值常数） 单位单位: 法拉（法拉（F） q(t)C + +- - u(t) 2

4、021/3/138 二、电容元件的电压和电流约束关系二、电容元件的电压和电流约束关系 1. ic的大小与的大小与uc的大小无关的大小无关,而是取而是取 决于决于uc的变化率的变化率,若若u(t)=常数常数 （直流）（直流）,则则C 相当于开路相当于开路; + +- - C i u q - -+ + dt du C dt dq ti )( 2021/3/139 2. ic与与uc的波形不同的波形不同; 若若 2 2 1 1 u c(V) 0 01 1 3 34 4 t(s) 则（设则（设C=1F) ic(A) 0123 4t(s) 1 1 - -1 1 2021/3/1310 3. 在某一瞬间在

5、某一瞬间t0,若若ic(t0)为有限值为有限值, 则则uc(t0)将不跃变（连续）将不跃变（连续） 即即 )()( 00 tutu cc 只有当只有当ic(t0)为为 时时,uc(t0)才能跃变才能跃变,此此 时时 )()( 00 tutu cc 这一性质称为电容电压的这一性质称为电容电压的连续性连续性。 2021/3/1311 用下面图例说明何谓跃变用下面图例说明何谓跃变,不跃变不跃变: a) 如果有如果有 uc(t) US 0 t ic t 0 则则 即即 uc(t) 在在 t = 0 时发生跃变时发生跃变 )0()0( cc uu 即即 )0( c i （ 无界）无界） 2021/3/1

6、312 b) 如果有如果有 1 -1-1 0 1 uc(V) t(s) 则则 uc为连续（未跃变）为连续（未跃变） Vuu cc 1)0 ()0 ( ic(t)为有限值（有界）为有限值（有界） C -1-101 t(s) ic(A) - -C 利用电容电压的连续性利用电容电压的连续性,可以确定电路中开可以确定电路中开 关动作后一瞬间的电容电压值。关动作后一瞬间的电容电压值。 2021/3/1313 例例 下二图中下二图中,若若 u(0- -) = 0,问问 u(0+) = ? Rit = 0 CUSu + - - + - - (a) 有电阻有电阻R存在存在 则则 )0( i （连续）（连续）

7、0)0()0( uu 2021/3/1314 u i t = 0 C + - + - - US （无界）（无界） )0( i u 在在 t = 0 时将跃变时将跃变 由由KVL可知可知 s Uu )0( 若若u(0-)= 0 , 问问u(0+) = ? 2021/3/1315 例例 下图电路下图电路,开关动作前开关动作前,电路已经处电路已经处 于稳态于稳态,问问 u(0+) = ? , i(0+) = ? 2V i 3VC + - - u + - - + - - 2t = 0 t = 0 Vu2)0( )0( i Vuu2)0()0( 当当 t=0+ 时时,电容电容C相当于相当于2V电压源电压

8、源, Ai5 . 0)0( 2021/3/1316 例例7-3 求求 uc(0+) + - - US t = 0 R1 R2 R3 C + - - uc 在在 t=0- - 时时,C 等效为开路等效为开路,则则 Sc U RR R u 21 2 )0( 显然显然,uc 不会跃变。不会跃变。 Scc U RR R uu 21 2 )0()0( 2021/3/1317 例例 7-4已知已知u c1 (0-)=0V,uc2(0-)=6V,求求 uc1(0+) , uc2(0+)。 t = 0 + - - uc1 + - uc2 F1 F1 显然显然uc1和和uc2都会都会 跃变。跃变。 跃变跃变uc

9、值由值由KVL和和 电荷守恒求出。电荷守恒求出。 )0()0( 21 cc uu(KVL) )0()0()0()0( 22112211 cccc uCuCuCuC （跃变前后节点电荷守恒）（跃变前后节点电荷守恒） 2021/3/1318 代入已知数值联立得代入已知数值联立得: Vuu cc 3)0()0( 21 2021/3/1319 电容元件的电容元件的VCR还可写成还可写成: + +- - C i u tt di C di C di C tu 0 0 )( 1 )( 1 )( 1 )( t di C u 0 )( 1 )0( 式中式中 0 )( 1 )0( di C u 称为电容电压的初称

10、为电容电压的初 始值。始值。 uc(0) 也称为电路的也称为电路的初始状态初始状态。 2021/3/1320 上式说上式说 明明: 电容元件还有一个重要性质电容元件还有一个重要性质电容电压的电容电压的 记忆性记忆性。即某一时刻。即某一时刻T的电容电压的电容电压,并不取决并不取决 于该时刻的电流于该时刻的电流,而是取决于从而是取决于从- -到到T所有所有 时刻的电流值。如果不知道时刻的电流值。如果不知道-到到0时刻的电时刻的电 流流,但给出但给出u(0)和和(0,T)区间的电流区间的电流,也可求出也可求出 u(T)。所以。所以,电容电压有电容电压有“记忆记忆”电流的作电流的作 用用,电容是记忆元

11、件。电容是记忆元件。 2021/3/1321 i(t) + - - 2 F 例例 i(t) (A) 1 02 t(s) 解解: (1) St20 2 2 2 1 )0()( 0 t dutu t Vu3)2( (2)St2 Vdutu t 30 2 1 )2()( 2 3 2 2 u(t) (V) t(s) 已知已知u(0)=2V,求求u(t),t 0,并画出并画出u(t)的波形。的波形。 u(t) 2021/3/1322 三、电容的贮能三、电容的贮能 求任意时刻求任意时刻t电容的贮能电容的贮能WC(t) 设设 t=0 时时,uc(0)=0,则则 )( 2 1 )( )()()()( 2 )(

12、 00 00 tCuuduCd d du Cu diudptW tut tt C 2021/3/1323 (1)WC(t)只与该时刻只与该时刻t的电容电压值有关的电容电压值有关, 而与电压波形及电压的建立过程无关。而与电压波形及电压的建立过程无关。 由于电压与电场有关由于电压与电场有关,电容是一种电容是一种 贮藏电场能量的元件。贮藏电场能量的元件。 （2）WC(t) 0,但有时增长（吸收能量），但有时增长（吸收能量）， 有时减少（放出能量）有时减少（放出能量） 当当WC(t) 时，时，p(t)0, 当当WC(t) 时，时，p(t)0， 当当 WL时，时，PL0。 0)( tWL （3）在）在u

13、L(t) 时时,iL(t)将不跃变的实质是将不跃变的实质是 WL(t)不能跃变。不能跃变。 2021/3/1333 （因为如果（因为如果WL 跃变跃变,则则 将为将为 , 这在这在uL为有限值是不可能的）。为有限值是不可能的）。 dt dW P （4）如果电路在）如果电路在t =0 发生了电路结发生了电路结 构或电路参数的变化（这称为换路）构或电路参数的变化（这称为换路）, 由于由于iL(0)和和uc(0) 具有连续性具有连续性,且又代且又代 表电路的初始贮能表电路的初始贮能,故常将故常将iL(0) 、 uc(0) 称为电路的初始状态。称为电路的初始状态。 作业作业:7-3,7-7 （265页

14、）页） 2021/3/1334 描述动态电路的方程是一组微分方程。描述动态电路的方程是一组微分方程。 动态电路的求解就是求解微分方程。动态电路的求解就是求解微分方程。 如何建立动态电路的微分方程如何建立动态电路的微分方程? 7-4 动态电路的电路方程动态电路的电路方程 一、对单回路或单独节点电路直接用一、对单回路或单独节点电路直接用 KVL或或KCL以及元件的以及元件的VCR写出。写出。 2021/3/1335 例例7-8 列出图（列出图（a）、（）、（b）电路的方程。）电路的方程。 + - - us +- - R uR C i + - - uc (a) isR iR iL + - - uLL

15、 (b) 若以若以uc为待求变量为待求变量 dt du RCu dt du Ci c R c ， sc c uu dt du RC 若以若以 iL为待求变量为待求变量 dt di R L R u i dt di Lu lL R L L ， 有有 sL L ii dt di R L 2021/3/1336 以上两方程都是常系数非齐次以上两方程都是常系数非齐次 一阶微分方程一阶微分方程,这是因为这两个这是因为这两个 电路都是一阶动态电路电路都是一阶动态电路,即只有即只有 一个动态元件。一个动态元件。 2021/3/1337 例例 写出下图电路的方程写出下图电路的方程 + - - us R +- -

16、uR L +- - uL i + - - uc C 若以若以i 为变量为变量 RiuR dt di LuL di C u t c )( 1 S t udi C Ri dt di L )( 1 两端同微分一次，并同乘以两端同微分一次，并同乘以C得得: dt du Ci dt di RC dt id LC S 2 2 2021/3/1338 这是一个常系数非齐次二阶微分方程。这是一个常系数非齐次二阶微分方程。 这是因为该电路含有两个独立的动这是因为该电路含有两个独立的动 态元件态元件,称为二阶动态电路。称为二阶动态电路。 电路的阶数电路的阶数 = 电路中独立动态元件的个数电路中独立动态元件的个数

17、2021/3/1339 二、对任意组成的一阶动态电二、对任意组成的一阶动态电 路路,可将除动态元件以外的含可将除动态元件以外的含 源单口网络用戴维宁或诺顿等源单口网络用戴维宁或诺顿等 效电路代替效电路代替,以便列出有关变以便列出有关变 量的方程。量的方程。 2021/3/1340 例例 写出下图电路以写出下图电路以 i 为变量的微分方程。为变量的微分方程。 + - - 18V 3i 4 H i 6 12 + - - 18V uoc + - - i = 0 6 12 解解:先将先将4H电感以外电路化成戴维南等效电路电感以外电路化成戴维南等效电路 (1) 求求Vuoc12 18 12 18 202

18、1/3/1341 (2) 求求 Ro 3A + - - 0 Ru 6 12 加 i = 令 1A 将独立源置零将独立源置零, 加加 i 求求 u : Vu16)31( 612 612 16 i u Ro 2021/3/1342 (3) 原电路简化成右图所原电路简化成右图所 示示: 以以 i 为变量的微分为变量的微分 方程为方程为: 12164 i dt di 34 i dt di 化简化简 + - - uoc 12V Ro i 4 H 16 2021/3/1343 三、对任意组成的二阶以上电路三、对任意组成的二阶以上电路,可可 用网孔方程或节点方程用网孔方程或节点方程,然后消然后消 元得到某一

19、变量的微分方程。元得到某一变量的微分方程。 （自学例（自学例7-11,教材教材258页）页） 作业作业:7-9,7-13 （266页）页） 2021/3/1344 7-5 开关电路的初始条件开关电路的初始条件 1. 求解求解n阶微分方程时阶微分方程时,需要知道需要知道n 个初始条件（即边界条件）个初始条件（即边界条件）,初初 始条件就是响应在初始时刻的值。始条件就是响应在初始时刻的值。 2021/3/1345 2.含有开关的动态电路含有开关的动态电路,若换路时刻为若换路时刻为 t=0,设响应为设响应为 f(t),则则 f(0+),f (0+),f “ (0+),分别称为该响应的初始值、分别称为

20、该响应的初始值、 一阶导数的初始值、二阶导数的初始一阶导数的初始值、二阶导数的初始 值值。 对以对以 f(t)为变量的为变量的n 阶微分方程的求阶微分方程的求 解解,所需的所需的 n个初始值为个初始值为 f (0+),f (0+),f(n-1)(0+)。 2021/3/1346 3. 在低阶电路中在低阶电路中,是由是由 t=0+ 的的 等效电路求出初始值等效电路求出初始值: 1) 先由先由 t=0- -的等效电路（的等效电路（L视作短视作短 路路,C视作开路）求出视作开路）求出 iL(0- -)或或 uc(0- -) ;且且iL(0+) = iL(0- -),uc(0+) = uc(0- -)

21、。 2021/3/1347 2) 将将L用用 iL(0+)的电流源代替的电流源代替,C用用 uc(0+)的电压源代替的电压源代替,建立建立 t=0+ 的等效电路的等效电路,求出所需变量的求出所需变量的 f(0+) 和和 f (0+)。 注注:若若 iL(0+)=0,uc(0+)=0,在在 t=0+的的 等效电路中等效电路中,L应为开路应为开路,C应为短路。应为短路。 2021/3/1348 例例 下图电路下图电路,开关闭合前电路无贮开关闭合前电路无贮 能能,求求 i1(0+)、i2(0+)和和 uL(0+)。 + + - - 10V t = 0 i1 i2iL C L uL + - - uc + - - 2 3 5 2021/3/1349 解解:由题意由题意 0)0( c u 0)0( L i 显然显然uc和和iL均不跃变均不跃变 0)0()0( cc uu 0)0()0( LL ii 画出画出 t = 0+的等效电路的等效电路 + - - 10V i1 i2 + - - uL 2 3 5 t = 0+ ViuL6)0(3)0( 2 + + - - 10V t = 0 i1 i2iL C L uL + - - uc + - - 2 3 5 2 5 10 )0()0( 21 ii A 20