必修四-平面向量知识点梳理

1、必修四-平面向量知识点梳理 必修四必修四 平面向量平面向量 知识点梳理知识点梳理 必修四-平面向量知识点梳理 知知 识识 网网 络络 平 面 向 量 加法、减法加法、减法 数乘向量数乘向量 坐标表示坐标表示 两向量数量积两向量数量积 零向量、单位向量、零向量、单位向量、 共线向量、相等向量共线向量、相等向量 向量平行的充要条件向量平行的充要条件 平面向量基本定理平面向量基本定理 两向量的夹角公式两向量的夹角公式 向量垂直的充要条件向量垂直的充要条件 两点的距离公式两点的距离公式 向量的概念向量的概念 解决解决 图形图形 的平的平 行和行和 比例比例 问题问题 解决解决 图形图形 的垂的垂 直和

2、直和 角度角度, 长度长度 问题问题 向 量 的 初 步 应 用 必修四-平面向量知识点梳理 向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。 重要概念：重要概念： （1）零向量：）零向量： 长度为长度为0的向量，记作的向量，记作0. （2）单位向量：）单位向量：长度为长度为1个单位长度的向量个单位长度的向量. （3）平行向量：）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反也叫共线向量，方向相同或相反 的非零向量的非零向量. （4）相等向量：）相等向量：长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：）相反向量：长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相

3、反的向量. 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知识点梳理 几何表示几何表示 : 有向线段有向线段 向量的表示向量的表示 字母表示字母表示 : aAB 、等 坐标表示坐标表示 : (x，y) 若若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则则 AB = (x2 x1 , y2 y1) 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知识点梳理 a 向量的模（长度）向量的模（长度） 1. 设设 = ( x , y ), 则则 2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,y2) ，则，则 ABa 22 yx 2 21 2 21 yyxx 一、平面向量概念一、平面向量概念

4、必修四-平面向量知识点梳理 1.向量的加法运算向量的加法运算 A B C AB+BC= 三角形法则三角形法则 O A B C OA+OB= 平行四边形法则平行四边形法则 坐标运算坐标运算: 则则a + b = 重要结论：重要结论：AB+BC+CA= 0 设设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) ( x1 + x2 , y1 + y2 ) AC OC 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知识点梳理 2.向量的减法运算向量的减法运算 1）减法法则：）减法法则： OA B 2）坐标运算）坐标运算: 若若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则则a b

5、= 3 3.加加法减法运算律法减法运算律 a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c) 1）交换律：）交换律： 2）结合律：）结合律： BA (x1 x2 , y1 y2) OAOB = 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知识点梳理 练习 _; _; _; _; _. ABBD BABC BCCA ODOA OAOB 填空： AD BA AD BA CA 必修四-平面向量知识点梳理 ,120 | | 3| o ABa ADbDAB ababab 练习、如图已知向量， 且，求和 120o a b A D B C O 必修四-平面向量知识点梳理 |ba|DB|ba|AC| baD

6、BbaAC 3|AB|AD| ABCDADAB ，故 ， 由向量的加减法知 ，故此四边形为菱形由于 ，为邻边作平行四边形、解：以 120o a b A D B C O 33 3 | |sin603 22 o AOD ODAD 由于菱形对角线互相垂直平分,所以是直角三角形， 33|ba|3|ba| ，所以 3|AC|ADC 60DAC120DAB OO 是正三角形，则所以 ，所以因为 return 必修四-平面向量知识点梳理 4.实数实数 与向量与向量 的积的积 定义定义： 坐标运算：坐标运算： 其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！ 若若 = (x , y), 则则(x ,

7、y) = ( x , y) 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知识点梳理 则则 |a a a . ba 存在唯一实数存在唯一实数 ，使得，使得 结论结论: 设表示与非零向量同向的单位向量设表示与非零向量同向的单位向量. a a ba 与 定理定理1:两个非零向量平行两个非零向量平行 (方向相同或相反方向相同或相反) 一、平面向量概念一、平面向量概念 必修四-平面向量知识点梳理 向量垂直充要条件的两种形式向量垂直充要条件的两种形式: 0)2( 0)1 ( 2121 yyxxbaba baba 二、平面向量之间关系 向量平行向量平行(共线共线)充要条件的两种形式充要条件的两种形式:

8、 0 )0),(),(/)2( ;)0(/) 1 ( 1221 2211 yxyx byxbyxaba babba 必修四-平面向量知识点梳理 （3）两个向量相等的充要条件是两个向量的）两个向量相等的充要条件是两个向量的 坐标相等坐标相等. 即即: 那么那么 ),( 11 yxa ),( 22 yxb 2121 yyxxba且 三、平面向量的基本定理平面向量的基本定理 如果如果 是同一平面内的两个不共线是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任一向向量，那么对于这一平面内的任一向 量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 使使 21 , ee , 21 a 2211 eea 必修

9、四-平面向量知识点梳理 1、平面向量数量积的定义：、平面向量数量积的定义： ba cos|ba 2、数量积的几何意义：、数量积的几何意义： |cos.aabab 等于 的长度与在方向上的投影的乘积 O A B B 1 (四四) 数量积数量积 abba）（1 ）（）（）（bababa2 cbcacba ）（3 4、运算律、运算律: 2121 yyxxba 3、数量积的坐标运算、数量积的坐标运算 必修四-平面向量知识点梳理 5、数量积的主要性质及其坐标表示：、数量积的主要性质及其坐标表示： 001 2121 yyxxbaba 反向时，当 同向时，当 时，当 baba baba baba/.2 2

10、1 2 1 2 ,) 3(yxaaaaaa 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos4 yxyx yyxx ba ba ),(是两个非零向量ba baba5 必修四-平面向量知识点梳理 babababa有：、证明对任意例 . 1 结结论论显显然然成成立立。有有一一个个为为，若若证证明明, 0)1(:ba ,bAB, aOA, 0ba)2( 作作都都不不为为，若若 baOB 则则 他他两两边边之之差差，其其他他两两边边之之和和，大大于于其其 边边小小于于不不共共线线时时，由由三三角角形形一一，当当 ba ABOAOBABOA bababa ABOAOBba 同同向向，则则，若若 ABOA

11、OBba 反反向向，则则，若若 a b O B A bababababa 或或共线时，共线时，、 综上所述：原命题成立综上所述：原命题成立 必修四-平面向量知识点梳理 例例 2. . | 3 1 | | 3 1 |. , MNONOMbaCDCN BCBMCODAB bOBaOAOADB ，表示、，用 ，且交于与 ，中，已知平行四边形 C N DB M OA 解解: baOBOABA baBABCBM 6 1 6 1 6 1 3 1 babBMOBOM 6 1 6 1 ba 6 5 6 1 必修四-平面向量知识点梳理 例例 2. . | 3 1 | | 3 1 |. , MNONOMbaCDC

12、N BCBMCODAB bOBaOAOADB ，表示表示、，用，用 ，且且交于交于与与 ，中，中，已知平行四边形已知平行四边形 C N DB M OA CDODCNOCON 3 1 2 1 )(baODODOD 3 2 3 2 6 1 2 1 ba 3 2 3 2 baOMONMN 6 1 2 1 必修四-平面向量知识点梳理 例例3、 已知已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)， 用用a、b表示表示c。 解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b 必修四-平面向量知识

13、点梳理 4.,OA OB 例例 如如图图不不共共线线(),APtAB tR ,.OA OBOP 用用表表示示 :,APtAB 解解 OPOAAP OAtAB ()(1).OAt OBOAt OAtOB O A B P (1).OPt OAtOB ()OPOAt OBOA APtAB 另解另解:可以试着将可以试着将,OA OBOP 用用， 表表示示出出来来. .APtAB 必修四-平面向量知识点梳理 说明：说明：(1) 本题是个重要题型：设本题是个重要题型：设O为为 平面上任一点，则：平面上任一点，则： A、P、B三点共线三点共线 (1).OPt OAtOB 或令或令 = 1 t， = t，则，

14、则 A、P、B三点共线三点共线 (其中其中 + = 1) .OPOAOB (2) 当当t = 时，时， 常称常称 为为OAB的中线公式的中线公式(向量式向量式) 1 2 1 () 2 OPOAOB 必修四-平面向量知识点梳理 例例5.设设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。 分析分析 要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证 AB=BD关键是找到 解：解： BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b AB=2 BD A、B、D 三点共线三点共线 AB BD 且且AB与与BD有公共点有公共点B 必

15、修四-平面向量知识点梳理 例例6.设非零向量设非零向量 不共线，不共线， 若若 试求试求 k. ba, bakc ),(Rkbkad,/dc 解：解： ,/ dc 由向量共线的充要条件得：由向量共线的充要条件得： ,dc 即即 ),(bkabak 又又 不共线不共线 ba, 由平面向量的基本定理由平面向量的基本定理 1 1 k k k 必修四-平面向量知识点梳理 解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y） ），（），（211321( AB )4 ,3(yxDC ，得得由由DCAB )4 ,3()2 , 1(yx y x 42 31 2 2 y x ），的的坐坐标标为为（顶顶点点22D

16、例例8 已知已知 ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的坐的坐 标分别为（标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求），求 顶点顶点D的坐标的坐标 必修四-平面向量知识点梳理 例例9. 已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段AB中中 点点M和三等分点坐标和三等分点坐标P，Q的坐标的坐标 . 解：解：(1) 求中点求中点M的坐标，由中点公式可知的坐标，由中点公式可知 M( ，2) 2 1 (2) 因为因为 =(1，3)(2，1) =(3，2) ABOBOA 必修四-平面向量知识点梳理 1 3 1 ( 2,1)(3,2) 3 5 ( 1, ) 3 OPOAAB 2

17、3 2 ( 2,1)(3,2) 3 7 (0, ) 3 OQOAAB 必修四-平面向量知识点梳理 例例10.设设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足满足 (1) 为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上? (2)设点设点P在第三象限在第三象限, 求求的范围的范围. APABAC 解解: (1) 设设P(x, y)，则，则 (x2, y3)=(3, 1)+(5, 7), 所以所以x=5+5，y=7+4. 2 1 解得解得 = (2) 由已知由已知 5+50,7+40 , 所以所以1. 必修四-平面向量知识点梳理 例例1111（1 1）已知）已知 = =（4 4，3 3），

18、向量），向量 是是 垂直于垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 . . ab a b ./)2 , 1 (,102的坐标，求，且）已知（ababa . 4 3 )5 ,(),0 , 3(3 的值求 ，的夹角为与，且）已知（ k bakba . 532222222 ). 5 4 , 5 3 () 5 4 , 5 3 (1 k bb ）；（，）或（，）（ 或）答案：（ 必修四-平面向量知识点梳理 例例13、已知、已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。 （1）求证：）求证：ABAC； （2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标； （3）

19、求证：）求证：AD2=BDDC 解：（解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC 必修四-平面向量知识点梳理 （2）D(x,y) AD=(x-2,y-4) BC=(5,5) BD=(x+1,y+2) ADBC ADBC=0 5(x-2)+5(y-4)=0 又又B、D、C共线共线 5(x+1)-5(y+2)=0 x+y-6=0 x= D( , ) x-y-1=0 y= AD=( ,- ) 2 7 2 5 2 7 2 5 2 3 2 3 必修四-平面向量知识点梳理 （3）AD=( ,- )

20、BD=( , ) DC=( , ) |AD| = + = BDDC= + = AD =BDDC 2 1 2 9 4 9 2 3 2 3 2 9 2 1 4 9 2 9 4 9 4 9 2 9 2 2 例例13、已知、已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为边上的高为AD。 （1）求证：）求证：ABAC； （2）求点）求点D和向量和向量AD的坐标；的坐标； （3）求证：）求证：AD2=BDDC 必修四-平面向量知识点梳理 例例14.14.已知已知a a=(2,3),=(2,3),b b=(-4,7),=(-4,7),则则a a在在b b上的投影为（上的投影

21、为（ ） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 设设a a和和b b的夹角为的夹角为， | |a a|cos|cos= C 13 5 13 5 65 65 |b| ba . 5 65 65 13 7)4( 73)4(2 22 必修四-平面向量知识点梳理 2 1 12 1 ) 5 4 , 5 3 ( 222 ）即（ ba bbaaba baba 120 180,0 2 1 cos ba ba 3 32 22 2 babbaaba 解：解： 必修四-平面向量知识点梳理 2 12 121 ,60 ? 2,32?. o e e aeebeeab 例16、设为两个单位向量?且夹角为 若

22、求 与 的夹角 解：解： 222 22 12121122 2244aeeeeee ee 22 2 112 1 44cos604 14 1 117 2 eeee 7a 同理可得同理可得 7b 2 2 12121122 7 23262 2 a beeeeee ee 7 1 2 cos 277 a b ab =120 必修四-平面向量知识点梳理 . 0,(cos ,sin ), a abc a bc 例17 若向量 则 与 一定满足( ) 以上都不对以上都不对 D. )()( C. 0 B. A. cbcb cbab ).()( 0)( 1sincos, 1 22 22 cbcb cbcbcb cb

23、 解解 答案答案 C 必修四-平面向量知识点梳理 ABAC ABACABAC BCABC ABACABAC 例18(06陕西)已知非零向量与满足 1 (+)=0且=则为( ) 2 A,三边均不相等的三角形, B直角三角形, C,等腰非等边三角形, D等边三角形, , 60 , ABAC A ABAC A ABAC ABACA ABAC A 解析:+在的平分线上, 由题意得的平分线垂直于边BC, 1 故又=1 1cos= 2 故选D. AB C 必修四-平面向量知识点梳理 ,() , ABC PA PBPB PCPC PAABC ABCD 例19(05湖南)已知P是所在平面上一点, 若则P是的

24、外心, 内心, 重心, 垂心. ()0, :, PA PB PB PC PB PA PCPB CAPB CA PA BCPC ABP 解 析 :由 得 同 理 可 得故为 垂 心 ,选 D. A BC P 必修四-平面向量知识点梳理 . 3 2 , 6 )( 3 2 62 3 6 2 2 6 13 6 2 6 ,0 ) 6 2sin(2)2cos 2 1 2sin 2 3 (2 2cos2sin31)( ,2sin3cos2(1) 2 的单调递减区间为故 即由 xf xx xx xxx xxbaxf xxba 解析解析 必修四-平面向量知识点梳理 【例例2323】已知向量已知向量a a=(co

25、s =(cos x x,sin ,sin x x),), b b=(cos ,-sin )=(cos ,-sin )，且，且x x . . (1) (1)求求a ab b及及| |a a+ +b b|;|; (2) (2)若若f f( (x x)=)=a ab b-|-|a a+ +b b| |，求，求f f( (x x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. . 2 3 2 3 2 x 2 x 4 3 ， 必修四-平面向量知识点梳理 ,2cos 2 sin 2 3 sin 2 cos 2 3 cos) 1 (x x x x xba解解 xx xx x x x x x x xx cos, 4 , 3 |,cos|22cos22 ) 2 sin 2 3 (sin 2 cos 2 3 cos 2 sin 2 3 sin