SPSS统计软件应用基础数学建模-方差分析第七章方差分析

1、 二、几个术语 1、试验指标衡量试验结果的量 (定量、定性) （必须是数量）。 2、因素 影响试验指标的条件， (不)可控 记作A,B,C 3、水平因素所处等级、状态，A 的r个水平记作 4、单(多)因素试验考察一(多)个 因素的试验。 12 , r A AA 2、任务：检验因素A对试验结果影响 是否显著？（A是否是重要 因素？） 2 12 ,.,.(,)1,2,., . i iiiti xxxiidNir 2 1,2,. ;1,2,., . (0,) ijiij i ij x jt ir N 012 : r H 0 H （2）记 1 1 r i i r ii 称为 的效应， i A1,2,i

2、r 2 1,2,. ;1,2,., . (0,) ijiij i ij x jt ir N 则 012 :0 r H 0 H 2、基本思想 （1）、条件误差：因条件不同引起的误差； 随机误差：相同条件下引起的误差。 （2）、基本思想： a、把条件误差与试验误差分开； b、在某种意义下加以比较，若条件 误差明显大于随机误差，则有理 由认为A影响显著。 3、偏差平方和分解 11 1 i t r ij ij xx n 总样本均值： 1 r i i nt 总样本容量： 1 1 1,2, i t iij j i xxir t 各总体的样本均值： 总偏差平方和： 2 11 2 11 22 1111 11

3、() ()() ()() ()() i i ii i t r Tij ij t r ijii ij tt rr iiji ijij t r ijii ij AE Sxx xxxx xxxx xxxx SS 其中 表示由A所引起的各组数据之间的偏差 平方和（反映条件误差？），称为组间平方和； 表示由随机因素引起的各组数据内部的偏差平 方和（反映随机误差？），称为组内平方和。 A S E S 、构造检验统计量 (1) 7.1.6 () A E Sr F Snr (1,)FF rnr 0 H由柯赫伦分解定理知，在假设成立的情况下， 。其中称为A的均方， 称为随机均方。 (1) A Sr () E S

4、nr 、 具体判断 值，并根据 F 分布计算出相应的显著性概率 若Sig.小于给定的显著水平 ，则拒绝原假设， 即认为因素A对试验指标有显著影响；否则认为无 显著影响。通常当时，称为有非常显 著影响，记为；当时， 称为有显著影响，记为。 .()pSigP FF 值 0.01.0.05Sig .0.01Sig 三、基本计算 1. 建立数据文件 a、定义试验指标变量 x 和因素变量kind； b、输入数据； c、保存数据文件。 2选择统计方法 按AnalyzeCompare meansOne-Way ANOV 顺 序选择菜单或菜单项。 3结果说明 解释输出结果的统计意义。 对六种不同的农药在相同的

5、条件下分别 问杀虫率是否因农药的不同而有显著性的差异 （显著水平）？0.01 单因素方差分析要注意的两点： 1、模型的条件 2 2 (,) (0,) iji ijiij ij xN x N （1）、服从正态分布； （2）、r 个总体方差相等？（要求验证） 2、多重比较 ij x 012 : r H 若，则拒绝 ，意味着上式中至少 有一个不等号，到底哪些不等？（要比较） .Sig 0 H 练习： 、将种不同品种的种子 ，分 别种在土质、气候条件基本相同的8块面积相 等的小区域上，得到的收获量如下表。 125 ,A AA 现欲检验种子品种（因素A）对收获量（试验 指标）的影响是否显著。 、四支温度

6、计 和 被用来测定氢 化奎宁的熔点，得如下结果： 123 ,T T T 4 T 0 ()x C 试检验在测量氢化奎宁熔点时，这四支温度计 之间有无显著性差异。 12 , r A AA 12 , r B BB 所谓两因素方差分析就是考察： 1、因素A对试验指标的影响是否显著？ 2、因素B对试验指标的影响是否显著？ 3、交互作用AB对试验指标的影响是否显著？ 注：若要考察AB、每种搭配下试验次数 。 2t 什么是交互作用？ 例子：一种水稻品种种在四块面积与地力等条件 相同的小区域上，各小区的施肥情况及产量如下表： 一般地，在两个因素的试验中，有时除了每个 因素独立地起作用外，还可以联合起来起作用，

7、这 种作用，叫做这两个因素的交互作用。 二、基本原理 1、模型： ijk x 来自总体 的样本， 2 (,) ijij xN 1,2, .kt 记 . 1 1 s iij j s 11 1 rs ij ij rs 总体平均数 水平下的平均数 i A . 1 1 r jij i r j B水平下的平均数 1,2, .ir 1,2, .js .ii 水平的效应 i A .jj 水平的效应 j B () ijijij 的交互效应A B 1,2, .ir1,2, .js 则双因素方差分析模型为： ijkijijkijijijk x 1,2, .ir1,2, .js1,2, .kt 其中， 相互独立且

8、满足 2 (0,) ijk N, ijij 1111 0,0,0,0. rsrs ijijij ijij 要检验的统计假设为： 0112 0212 03 :0 :0 :0,1,2, ;1,2, . r s ij H H Hirjs 若拒绝 ，则认为因素A的不同水平对试 验结果有显著影响；若拒绝 ，则认为因素B的 不同水平对试验结果有显著影响；若拒绝 ， 则认为因素A与B不同水平搭配的交互效应对试验 结果有显著影响；若三者均不拒绝，则认为因素 A与B的不同水平搭配对试验结果无显著影响。 01 H 02 H 03 H 2、偏差平方和分解 11 1 rs ijk ij xx rst 总样本平均数：

9、水平下样本平均数： . 1 1 t ijijk k xx t i A . 11 1 st iijk jk xx st 水平下样本平均数： j B . . 11 1 rt jijk ik xx rt , ij A B 搭配下样本平均数： 总偏差平方和： 2 111 . . 111 2 . . 22 . . 11111 22 . . 11 () ()() ()() ()() ()() rst Tijk ijk rst ijkijijij ijk ij rstrs ijkijijij ijkij rs ij ij EA BA Sxx xxxxxx xxxx xxtxxxx stxxrtxx SSS

10、B S 其中，是因素A的离差平方和； 是因 素B的离差平方和； 是误差平方和。 是 交互作用的离差平方和。上式说明，总离差平 方和 可以分解成由随机因素引起的误差平 方和 ；由因素A各水平的效应引起的离差平 方和 ；由因素B各水平的效应引起的离差平 方和 以及A与B的交互效应引起的离差平方 和 四部分。 A S B S E S A B S T S E S A S B S A B S 、构造检验统计量 (1) (1) A A E Sr F Srs t 对 检验： 01 H (1) (1) B B E Ss F Srs t 对 检验： 02 H (1)(1) (1) A B A B E Srs F

11、 Srs t 对 检验： 03 H 由柯赫伦分解定理知，在假设 成立的 情况下， 010203 ,HHH (1,(1),(1,(1), AB FF rrs tFF srs t (1)(1),(1). A B FF rsrs t 、具体判断 利用 的公式计算出 的具体数值，记为 ，并根据 的分布计算出显著性概率 。 若Sig.给定显著水平，则认为因素A对 试 验指标有显著性影响；否则无显著性影响。 (2) 利用 的公式计算出 的具体数值，记为 ，并根据 的分布计算出显著性概率 。 A F A F A F .() AA SigP FF 值 B F B F A F 值 A F 值 B F .() B

12、 SigP FF B值 若Sig.给定显著水平 ，则认为因素B对 试验指标有显著性影响；否则无显著性影响。 (3) 利用 的公式计算出 的具体数值， 记为 ，并根据 的分布计算出显著性 概率 。 若Sig.给定显著水平 ，则认为交互作用 对试验指标有显著性影响；否则无显著性 影响。 A B F A B F A B F 值A B F .() A BA B SigP FF 值 A B 三、基本计算 1. 建立数据文件 a、定义试验指标变量 x 和两个因素变量a,b； b、输入数据； c、保存数据文件。 2选择统计方法 按AnalyzeGeneral Linear ModelUnivariate顺序

13、 选择菜单或菜单项。 3结果说明 解释输出结果的统计意义。 在某化工厂产品的生产过程中，对三种 浓度，四种温度的每一种搭配重复试验二次，测 试检验不同的浓度，不同的温度以及它们之间的 交互作用对产量有无显著性的差异（显著水平 ）？0.01 练习： 、设四名工人分别操作机床甲、乙、丙各一天， 生产同样产品，其日产量统计如下表(单位：件)： 问工人的不同和机床的不同在日产量上有无显著 性差异？（假定四名工人对这三台机床的熟悉情 况是一样的。） 、将一块耕地等分为24个小区，今有个不 同的小麦品种（A1，A2，A3）和中不同的肥 料（B1，B2）。现将各小麦品种与各种肥料进 行搭配，对每种搭配都在个

14、小区上试验，测 得每个小区产量（千克）如下： 试分析品种、肥料以及它们的交互作用对产量 有无显著性的影响。 r s 、考虑： 能否在所有的搭配的试验中，选出有 代表性的部分试验，通过这一部分试验分 析所关心问题（影响是否显著）。 、解决此问题就涉及到试验设计。 、试验设计的主要内容是讨论如何合理 地安排试验以及试验后如何对数据进行统 计分析。 、试验设计的种类：正交设计、区组设 计、回归设计等。 二、正交设计 、正交试验设计：用“正交表”来安排试验和分 析试验结果的一种数理统计方法。 、正交表 (1)、定义： 具有以下两个性质的表都称为正交表： a、每一列中不同的数字出现的次数相等。 b、任意

15、两列中，将同一行的两个数字看成有序 数对，每种数对出现的次数相等。 一般记为： ，其中L：正交表符号，n： 试验次数，a：因素水平数，b：正交表的列数 （因素个数）。 () b n L a 例子： 特点： a、将正交表中的任意两行交换或任意两列交换， 它仍然是正交表。 b、将某一列中的数字号码相互对换，它仍然是 正交表。 、正交表的使用 步骤： a、找出“合适”的正交表。 “合适”指： （）正交表水平数必须和因素水平表中水平 数一致。 （）正交表列数不少于因素的个数（所考虑 的一个交互作用作为一个因素）。 说明： 若要进行（方差）分析时，一般要求正交 表列数必须大于因素的个数，以便使正交表留 出空列；此空列是（方差）分析中的试验指标 以及误差平方和所在列。 b、表头设计因素放在表的哪一列。 （）若不考虑交互作用，可以任意放。 （）若考虑交互作用，先安排有交互作用的主因 素的所在列，再由交互作用表决定交互作用所在列 没有交互作用的主因素的安排，以尽量避免主因素 与交互作用“混杂”为原则。 c、确定表中各列的水平号码的具体水平内容。 d、用正交表安排试验（与交互作用无关）。 三、基本计算 1. 建立数据文件 定义