圆的整章复习

1、 知识回顾 误区警示 圆的实际应用 学习目标及重难点 感悟圆中的数学思想 1.了解圆的性质及概念. 2.借助图形的直观性，利用圆的有关性 质，探索圆与其它图形的关系，提高综 合运用知识解决问题的能力。 3.在学习圆的内容时，要透过现象，深 刻理解其中蕴含的数学思想方法，解决 圆有关的问题时，要注意分类讨论思想、 转化思想、方程思想等的运用，在运用 中加深理解 重点：圆的有关性质，直线与圆， 圆与圆的重要位置关系以及圆的有 关计算问题 难点： 圆与方程、函数、三角形、 相似形等知识的综合应用有关的综 合性问题。 圆中的计算圆中的计算 与圆有与圆有 关的位关的位 置关系置关系 圆的基圆的基 本性质

2、本性质 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 扇形面积、弧长扇形面积、弧长 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积和全面积 弧、弦与圆心角弧、弦与圆心角 圆周角及其与同弧上圆心角圆周角及其与同弧上圆心角 圆的对称性圆的对称性 切线切线 圆圆 的的 切切 线线 切线长切线长 圆圆 知识回顾知识回顾一一、知识结构知识结构 （五）、切线长定理（五）、切线长定理 二、主要定理二、主要定理 （一）、相等的圆心角、等弧、等弦（一）、相等的圆心角、等弧、等弦 之间的关系及垂径定理之间的关系及垂径定理 （二）、圆周角定理（二）、圆周角定理 （三）、

3、与圆有关的位置关系的判别（三）、与圆有关的位置关系的判别 定理定理 （四）、切线的性质与判别（四）、切线的性质与判别 三、基本图形（重要结论）三、基本图形（重要结论） 辅助线一 关于弦的问题，常常需关于弦的问题，常常需 要要过圆心作弦的垂线段过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的这是一条非常重要的辅辅 助线助线。 圆心到弦的距离、半径、圆心到弦的距离、半径、 弦长弦长构成构成直角三角形直角三角形， 便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三 角形的问题。角形的问题。 O PAB 在遇到与直径有关的在遇到与直径有关的 问题时，应考虑作出问题时，应考虑作出 直径或直径所对的圆直径或直径所对的圆 周

4、角。这也是圆中的周角。这也是圆中的 另一另一 种种辅助线辅助线添法。添法。 辅助线二 C AB . O 当遇到已知切线和切当遇到已知切线和切 点时，要注意点时，要注意连接圆连接圆 心和切点心和切点，以便得到，以便得到 直角去帮助解题。直角去帮助解题。 辅助线三 O A . 1.已知，如图，已知，如图，AB为为 O的直径，的直径， AB=AC,BC交交 O于点于点D，AC交交 O于于 点点E, BAC=45。给出下面五个结论：。给出下面五个结论： EBC=22.5 ；BD=DC； AE=2EC； 劣弧劣弧AE是劣弧是劣弧DE的的2 倍倍 ；DE=DC。其中正确的是。其中正确的是 (填序号填序号)

5、 . A B C D E O 析：本题主要是应用辅助析：本题主要是应用辅助 线二，作出直径所对的圆线二，作出直径所对的圆 周角。连接、。周角。连接、。 则则与与 均为，求出各角，均为，求出各角， 得解。得解。 在同圆中在同圆中,若若AB=2CD， 则弦则弦AB 与与2CD的大小关系是（）的大小关系是（） B D C B A O M A.AB2CD B.AB2CD C.AB=2CD D.不能确定不能确定 分析分析:我们可取我们可取AB的中的中 点点M,则则AM=BM=CD, 弧相等则弦相等弧相等则弦相等,在在 AMB中中AM+BM AB,即即2CD AB. 3.已知已知, ABC内接于内接于 O

6、, ADBC于于D,AC=4,AB=6, AD=3,求求 O的直径。的直径。 证明证明: :作作 O O的直径的直径AE,AE, 连接连接BE,BE,则则C= E, C= E, ADC= ABE, ADC= ABE, ABE ABE ADC, ADC, AD/AB=AC/AE, AD/AB=AC/AE, 即即AE=ABAE=ABAC/AD=8, O的直径为的直径为8 8 分析分析: :解决此类问题时解决此类问题时, ,我们我们 通常作出直径以及它所对的通常作出直径以及它所对的 圆周角圆周角, ,证明证明ABEADC.ABEADC. B B C C A A . .O O . 115 100 问题

7、一问题一:当点当点O为为ABC的外心时，的外心时， BOC= 问题二问题二:当点当点O为为ABC的内心时，的内心时， BOC= 4.已知已知,如图如图, 锐角三角形锐角三角形ABC 中中,点点O为形内一为形内一 定点定点. A=50 O . A B C 当点O为外心时， 则 A与 BOC 为圆周角与圆心角 的关系。如图。所 以 BOC=100 若点O为内心，则应 用公式 BOC= 90+ 0.5 A，可得 BOC=115 证明一：连接AC、BC AC=CECAE=CBA， 又CDABCDAB ACB=CDB=90， ACD=CBA=CAF， AF=CF 5.5.已知，如图，已知，如图，ABAB

8、是是O O的直径，的直径，C C为为 AE AE 的中点，的中点，CDABCDAB于于D D，交，交AEAE于于F F。求证：。求证：AF=CFAF=CF 分析:要正线段相等,通 常是证明两角相等或三 角形全等。该题是证两 角相等。 A F CE B D 证明二：延长证明二：延长CDCD交交 OO于于G G G 若该点位N，你能 证明AF=FN吗？ ABAB是是O O的直径，的直径， CDABCDAB， AG=AC=CEAG=AC=CE， CAE= CAE= GCAGCA， CF=AFCF=AF 20 50或130 问题二问题二:当点当点O为为ABC的外心时，的外心时， A= 问题一问题一:当

9、点当点O为为ABC的内心时，的内心时， A= 1.已知已知, 三角形三角形ABC中中,点点O为一定点为一定点. BOC=100 . 当点当点O为内心时，则根据公式为内心时，则根据公式 BOC= A+90，可得，可得 A=20 当点当点O为外心时，则首先要考虑圆心是在三角为外心时，则首先要考虑圆心是在三角 形内还是外，因此要分两种情况求解。当外心形内还是外，因此要分两种情况求解。当外心 在三角形内时在三角形内时, BOC=2 A， 则则 A=50，当外心在三角形外时，当外心在三角形外时， A=180- BOC=130 2 1 2 1 你做对了吗？ 2.2.已知，如图，已知，如图，OAOA、OBO

10、B为为OO的的 两条半径，且两条半径，且OAOBOAOB，C C是是ABAB的中点，的中点， 过过C C作作CDCDOAOA，交，交ABAB于于D D，求，求ADAD的度的度 数。数。 B D O A C 分析：求弧AD的度数，即求 它所对的圆心角的度数。因 此连接OD，延长DC交OB与E， 可EDO=DOA=30，所以 弧AD为30 E B B C C A A . .O O . 3、已知、已知,ABC内接于内接于 O,ADBC 于于D,AC +AB=12, AD=3, 设设 O的半的半 径为径为y,AB为为x，求，求y与与x的关系式。的关系式。 分析：类似于例题，只分析：类似于例题，只 要正

11、要正ABE与与 ADC相相 似即可似即可。 相信你一定能解对！ E 答案： xxy2 6 1 2 (3(3x x 9)9) 6.6.两个圆的半径的比为两个圆的半径的比为2:3 ,2:3 ,内切时圆心距等于内切时圆心距等于 8cm,8cm,那么这两圆相交时那么这两圆相交时, ,圆心距圆心距d d的取值的取值 范围是范围是 解：设大圆半径解：设大圆半径R=3x,R=3x,小圆半径小圆半径r=2x r=2x 依题意得：依题意得：3x-2x=83x-2x=8，解得：，解得：x=8x=8 R=24 cm R=24 cm，r=16cmr=16cm 两圆相交，两圆相交，R-rdR+rR-rdR+r 8cm

12、d 40cm 8cm d 40cm 分析分析:可根据两圆内切时可根据两圆内切时d=R-r,求出半求出半 径径,当两圆相交时当两圆相交时R-rdR+r, 据此可求据此可求 得结果得结果. O B B A D P E C 7.如图，从如图，从OO外一点引圆的两条切线外一点引圆的两条切线 PAPA、PBPB，切点分别为，切点分别为A A、B B，若，若PA=8PA=8，C C为为 ABAB上的一个动点（不与上的一个动点（不与A A、B B两点重合），两点重合）， 过点过点C C作作OO的切线，分别交的切线，分别交PAPA、PBPB于点于点D D、 E E，则，则PDFPDF的周长为的周长为 析： 根

13、据切线长定理可知， PA=PB，而DE切 O于C，所以又 有DA=DC，EC=EB，从而PDE 的周长=PD+DC+CE+PE=PA+PB 解：解：PA、PB、DE 为的切线，为的切线， 切点为切点为A、B、C，则，则PA=PB； DA=DC；EC=EB。 PDE的周长的周长=PA+PB=16 16 8. 如图，在如图，在RtABC中，中，C=90若以若以C为为 圆心、圆心、r为半径画为半径画 C.若若AC=3，BC=4,试问：试问： 当当r满足什么条件时，则满足什么条件时，则 C与直线与直线AB相切？相切？ 当当r满足什么条件时，则满足什么条件时，则 C与直线与直线AB相交？相交？ 当当r满

14、足什么条件时，则满足什么条件时，则 C与直线与直线AB相离？相离？ H A CB 析：当直线与圆相切 时，d=r，所以只要算 出圆心到AB的距离即 可。相离d r;相交 d r. 略解：d=CH=2.4 (1).d=2.4=r (2).r2.4 (3).0r2.4 9. 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，以，以 ABAB为直径的为直径的O O交交BCBC于点于点D D，过点，过点D D作作DEACDEAC于于 点点E.E.求证求证DEDE为为OO的切线的切线。 O D E B A C . 分析：证明切线常分析：证明切线常 用两种方法；一为用两种方法；一为 d

15、=r;d=r;另一为切线的另一为切线的 判定定理。该题已判定定理。该题已 知知DEDE与圆有公共点，与圆有公共点， 故用第二种证法故用第二种证法 证一：连接OD OD=OBOD=OB，AB=ACAB=AC则则 B= C= BDOB= C= BDO， ODACODAC， 又又 DEACDEAC， OD DEOD DE，所以，所以DEDE为为 O O的切线的切线 证法二：连接OD、AD 1 3 2 4 AB为直径，BDA=90 又AB=AC，点D为BC的中 点 1= 3， 而 2= 3， DEACDEAC 1+ 4=90 2+ 4=90 DEDE为为O O的切线的切线 4.已知：如图，已知：如图，

16、 AB AB、ACAC与与OO相切于点相切于点B B、 C C，A=50A=50，P P为为OO上异于上异于B B、C C的一个动点，的一个动点， 则则BPC BPC 的度数为的度数为 （ ） A.40 B.65 C.115 D.65 或或115 分析：在解决此问题 时,应注意点P为一动点, 它可能在劣弧BC上,也 可能在优弧上,但万变 不离其中,应用辅助线 三,连接OB、OC得直 角,即可求解。 P O B B A C . 65 P 115 D 8 8 6 6 A B C 5.5.如图如图RtRtABCABC中中,AB=10,BC=8,AB=10,BC=8,以点为圆心以点为圆心, , 4.8

17、 4.8为半径的圆与线段为半径的圆与线段ABAB的位置关系的位置关系 是是_;_; D 相切 4.8r6 r =4.8 或6r8 当当 _ _ 时时, , OO与线段与线段ABAB没交点没交点; ; 当当_时时, , OO与线段与线段ABAB有两个交点有两个交点; ; 当当 _ _ 时时, , OO与线段与线段ABAB仅有一交点仅有一交点; ; 设设O O的半径为的半径为r,r,则则 0r4.8 或或r8 本题应注意本题应注意 的是的是:圆于线圆于线 段的公共点段的公共点 的个数的个数,而非而非 与直线的公与直线的公 共点的个数共点的个数. 乙甲 10.10.如图甲如图甲,A,A是半径为是半径

18、为2 2的的O O外一点外一点,OA=4,AB,OA=4,AB 是是O O的切线的切线,B,B为切点为切点, ,弦弦BCOA,BCOA,连接连接AC,AC,求求 阴影部分的面积阴影部分的面积. . 点拨点拨: :图中的阴影是不规则图形图中的阴影是不规则图形, ,不易直接求不易直接求 出出, ,所以要将其转化为与其面积相等的规则所以要将其转化为与其面积相等的规则 图形图形, ,在等积转化中在等积转化中. . 可根据平移、旋转可根据平移、旋转 或轴对称等图形变换；或轴对称等图形变换；可根据同底（等底）可根据同底（等底） 同高同高( (等高等高) )的三角形面积相等进行转化的三角形面积相等进行转化.

19、 . 解:如图一:连接OB、OC. BC/OA， ,S阴影=S扇形OBC , AB为O的切线， OBAB. OA=4， OB=2， AOB=60. BC/OA, AOB=OBC=60. OB=OC, OBC为正三角形, COB=60,S阴影 =60 4/360=2 /3 OBCABC SS 6.6.如图所示如图所示, A, A、 B B 、 C C、 D D、 E E 相互外离，它们的半径都是相互外离，它们的半径都是1 1，顺次连接五个圆心，顺次连接五个圆心 得到五边形得到五边形ABCDEABCDE，求图中五个扇形（阴影部分），求图中五个扇形（阴影部分） 的面积之和的面积之和。 分析：因为五个

20、圆时等 圆，所以根据扇形面积 计算公式得： S= = （A+B+C+D+E）=1.5 360 2 R A 360 2 R 360 2 R B 360 2 R E D 360 2 R C 360 2 R 点拨:化 整 为零、化 分散为集 中的整体 策略是解 题的重要 方法。 11： 如图，已知O的弦 AB所对的 圆心角等于140o，则弦AB所对的圆周 角的度数为_. O AB 70o或110o C C 错解: 70 错因:忽视了弦所对 的圆周角有两类。. 正解：当圆周角在优弧 上时，圆周角为140 的 一半70；当圆周角在 劣弧上时，则与70互 补，为110。 误区警示 1212、如图、如图,

21、,以以O O为圆心的两同心圆的半径为圆心的两同心圆的半径 分别是分别是11cm11cm和和9cm,9cm,若若P P与这两个圆都与这两个圆都 相切相切, , 则这个圆的半径为则这个圆的半径为 错解： 1cm 错因：忽视了和两圆都 是内切关系的情况。 正解：先考虑夹在圆环 内的小圆半径为1cm，再，再 看和中间小圆内切的圆看和中间小圆内切的圆 半径为半径为4.5cm。 1cm或或4.5cm 误区警示 1313、已知、已知ABAB是是O O的直径的直径,AC,AC是弦是弦,AB=2,AC= ,AB=2,AC= , 在图中画出弦在图中画出弦AD,AD,使得使得AD=1,AD=1,求求CADCAD的度

22、数的度数. . 2 A D C B 45 D 60 15 错解：105 错因：以A为顶 点且长 度为1的弦有两条，其一 与AC在直径的同侧，其 二与AC在直径的异侧。 应分两种情况讨论。 正解：当在直径的两侧时； 连接BC，BD； 则ABC为等腰直角三角形， CBA=45； 在直 角 ABD中2AD=AB， BAD=60 CAD=60+45=105 当AC、AD在直径的同侧时，则 CAD=6045=15 误区警示 14.已知圆内接ABC中，AB=AC，圆 心O到BC的距离为3 ，半径为7 。求腰 长AB. 错解：如图，过点A作 ADBC于D，连接OB, AB=AC, BD=DC. 即AD垂直平

23、分BC, AD过圆心O, AD=AO+OD=7+3=10 在直角OBD中， 4037 22222 ODOBBD 在直角ABD中3524010 222 BDADAB D A C . O B 误区警示 错因分析：只考虑圆心ABC在内部， 而忽略了圆心ABC在外部的情况。 正解：除上述第一种情况外， 还有另一种情况。 B . O A C D 如图，过点A作ADBC 于D，连接OB,由第一种 情况可得: AD过圆心O, AD=AO-OD=7-3=4 ，在直角ABD中40 2 BD 1424042 22 BDADAB 综上所述:腰AB长为352 或 142 误区警示 7、在直径为400mm的圆柱形油槽内

24、，装入 一部分油，油面宽320mm，求油的深度. 分析分析: : 本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，本题是以垂径定理为考查点的几何应用题， 没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为 截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性， 弦的位置有两种不同的情况，如图弦的位置有两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2) 图图(1)(1)中中 OC=120CD=80(mm)OC=120CD=80(mm) 图图(2)(2)中中 OC=120OC=120 CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=32

25、0(mm) 8.8.半径分别是半径分别是20 cm20 cm和和15 cm15 cm的两圆相交，的两圆相交， 公共弦长为公共弦长为24 cm24 cm，求两圆的圆心距？，求两圆的圆心距？ O O1 1O O2 2=O=O2 2C-OC-O1 1C C =16-9=7 .=16-9=7 . O O1 1O O2 2=O=O2 2C + OC + O1 1C C =16+9=25 .=16+9=25 . 分析:解此题时应考虑圆心是在公共弦 的同侧还是异侧，因此应分两种情况。 15.15.在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角 形的边角布料（如图）现找出其中一种，测

26、得形的边角布料（如图）现找出其中一种，测得 C=90C=90，AC=AB=4AC=AB=4，今要从这种三角形中剪，今要从这种三角形中剪 出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的 边缘半径恰好都在边缘半径恰好都在ABCABC的边上，且扇形的弧的边上，且扇形的弧 与与 ABCABC的其他边相切，请设计出所有可能符的其他边相切，请设计出所有可能符 合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。合题意的方案示意图，并求出扇形的半径。 （只要画出图形，并（只要画出图形，并 直接写出扇形半径）直接写出扇形半径） C A B 感悟圆中的数学思想 分析：扇形要求弧线与三角形的边

27、相切，半径都分析：扇形要求弧线与三角形的边相切，半径都 在三角形边上，相切的情况有两种在三角形边上，相切的情况有两种 （1）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切）与其中一边相切（直角边相切、斜边相切） （2）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边）与其中两边相切（两直角边相切、一直角边 和一斜边相切）和一斜边相切） 并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形）并且尽量能使用边角料（即找最大的扇形） （1）与一直角边相切可如图）与一直角边相切可如图(1)所示所示 （2）与一斜边相切如图）与一斜边相切如图(2)所示所示 （3）与两直角边相切如图）与两直角边相切如图(3)所示所示 （4）与一直角边和一斜边

28、相切如图）与一直角边和一斜边相切如图(4)所示所示 解：可以设计如下图四种方案：解：可以设计如下图四种方案： r1=4 r2=2 r3=2 r4=4 -4 2 2 (1) (3) (2) (4) 16. 如图,残破的轮片上,弓形的弦为480, 高为70,求原轮片的直径.(精确到1) 解:OCAB,OC是半径, 2BD =AB=480 .设 OB=R,在直角OBD中, ,70240 2 22 RR 解得:R446 原轮片的直径为 2R4462=892 在解决此类问题 时,往往 在直角三 角形的基础上,建 立方程,应用勾股 定理求解. 感悟圆中的数学思想 O C A D B 17.如图如图,为一圆

29、锥形粮堆为一圆锥形粮堆,从正面看是边从正面看是边 长为长为6米的正三角形米的正三角形ABC,粮堆母线粮堆母线AC的的 中点中点P处有一老鼠正在偷吃粮食处有一老鼠正在偷吃粮食,此时此时,小猫小猫 正在正在B处处,它要沿圆锥侧面到达它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老处捕捉老 鼠鼠,则小猫所经过的最短路线是则小猫所经过的最短路线是 米米.(结果保留根号结果保留根号) 解析:此类问题是将立体图形问 题转化到平面图形问题来解决. 该题是将圆锥侧面展开为扇形, 如图.连接BP,则最短距离即为 线段BP的长. 解:由已知条件可得圆锥的侧面积 为18, 360 6 2 n = 18,解得n=180 , 则BAP=9

30、0,又AB=6 m,AP=3m, 由勾股定理的BP=53m P A C B . 感悟圆中的数学思想 P A B C 9.已知的 O半径为3,点P是直线上 a的一点, OP长为5 ,则直线a与 O 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交、相切、相离都有可能 由于OP与直线a的位置不确定， 所以直线a与 O的位置关系 可能有如下三种情况。 a O 5 Pa P O 5 a O P 5 D 相交相切 相离 10.10.已知如图已知如图(1)(1)，圆锥的母线长为，圆锥的母线长为4 4，底面圆半，底面圆半 径为径为1 1，若一小虫，若一小虫P P从点从点A A开始绕着圆锥表面爬行开

31、始绕着圆锥表面爬行 一圈到一圈到SASA的中点的中点C C，求小虫爬行的最短距离，求小虫爬行的最短距离. . (1) (2) 本题是将圆锥侧本题是将圆锥侧 面展开，得一扇面展开，得一扇 形，先求一圆心形，先求一圆心 角。得解。角。得解。 你做 对了 吗？ 解：侧面展开图如图解：侧面展开图如图(2)(2) 221= ,n=901= ,n=90 SA=4SA=4，SC=2SC=2 AC=2 .AC=2 .即小虫爬行的最短距离为即小虫爬行的最短距离为2 2 . o n 180 4 55 18、一圆弧形桥拱，水面、一圆弧形桥拱，水面AB宽宽32米，当米，当 水面上升水面上升4米后水面米后水面CD宽宽24米，此时上米，此时上 游洪水以每小时游洪水以每小时0.25米的速度上升，再米的速度上升，再 通过几小时，洪水将会漫过桥面？通过几小时，洪水将会漫过桥面？ 圆的实际应用 此题实际是应 用了转化的思 想，把实际问 题转化为圆的 问题求解 解：过圆心解：过圆心O作作OEAB于于E，延长后交，延长后交 CD 于于F，交弧，交弧CD于于H，设，设OE=x，连结，连结OB， OD，由勾股定理得，由勾股定理得 OB2=x2+162 OD2=(x+4)2+122 X2+162=(x+4)2+122 X=12 OB=20 FH=4 40