数列的极限ppt[沐风教学]

1、1优讲课堂 一、复习回顾一、复习回顾: 数列的定义数列的定义 【定义】【定义】按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 , 21n xxx (1) 称为称为无穷数列无穷数列, ,简称简称数列数列. .其中的每个数称为数列其中的每个数称为数列 的的项项, , n x称为称为通项通项( (一般项一般项) ). .数列数列(1)(1)记为记为 n x. . 【例如例如】 ;,2 , 8 , 4 , 2 n ;, 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n 2优讲课堂 二、情境引入二、情境引入1： 3优讲课堂 项号项号项项这一项与这一项与0

2、的差的绝对值的差的绝对值 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 5.0|0 2 1 | 25.0|0 4 1 | 125.0|0 8 1 | 0625.0|0 16 1 | 03125.0|0 32 1 | 015625.0|0 64 1 | 0078125.0|0 128 1 | 00390625.0|0 256 1 | 0 4优讲课堂 三国时的刘徽提出的三国时的刘徽提出的 的方法的方法.他把圆他把圆 周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 这样这样 继续分割下去继续分割

3、下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 割之弥细，割之弥细， 所失弥少，割所失弥少，割 之又割，以至之又割，以至 于不可割，则于不可割，则 与圆合体而无与圆合体而无 所失矣所失矣. . 二、情境引入二、情境引入2： 5优讲课堂 1 2 3 4 5 6 7 8 项号项号 边数边数内接多边形周长内接多边形周长 圆的半径圆的半径 2 1 R 24 12 6 3 2.598076211353 3.000000000000 3.105828541230 3.132628613281 48 3.139350203047 96 3.141031950891 192

4、3.141452472285 384 3.141557607912 6优讲课堂 n b 0 8 1 4 1 8 3 2 1 8 5 4 3 8 7 1 x 1 n a n b 0 0 2 1 4 3 8 7 1234nn 从从1的左侧无限趋近的左侧无限趋近1 是什么？是什么？ 的变化趋势分别的变化趋势分别和和 的无限增大，的无限增大，随着项数随着项数 nn ba n 0 8 1 4 1 8 3 2 1 8 5 4 3 8 7 1 x n a 从从0的右侧无限趋近的右侧无限趋近0 表示的点的变化趋势表示的点的变化趋势和和 nn ba 1 2 1 n 1 2 1 1 n 7优讲课堂 0-1 3 1

5、 2 1 ， n 10 1 3 10 1 3 10 1 3 2 （1） ， 14 3 3 2 2 1 n n （2） ， ， n n )1( 3 11 1（3） 分析当分析当n无限增大无限增大时，下列数列的项时，下列数列的项 的变化趋势及的变化趋势及 共同特征共同特征: n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 共同特性：共同特性：不论这些变化趋势如何，随着项数不论这些变化趋势如何，随着项数 n 的的无限增大无限增大，数列的项，数列的项 无限地趋近于无限地趋近于常数常数 a n a 3 递减递减 无限趋近无限趋近 1

6、递增递增 无限趋近无限趋近 0 无限趋近无限趋近 摆动摆动 三、讲授新课：三、讲授新课： 8优讲课堂 n 趋向于无穷大趋向于无穷大 aan n lim 数列极限的描述性定义数列极限的描述性定义 n a 一般地，如果当项数一般地，如果当项数 无限增大时，无穷数列无限增大时，无穷数列 的项的项 无限地趋近于某个常数无限地趋近于某个常数 ， n n aa 那么就说数列那么就说数列 以以 为极限，或者说为极限，或者说 n aaa n a是数列是数列 的极限的极限 n a （1） 是无穷数列是无穷数列 n（2） 无限增大时，无限增大时， 不是一般地趋近于不是一般地趋近于 ，而是，而是 n aa “无限无

7、限”地趋近于地趋近于 a （3）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的）数值变化趋势：递减的、递增的、摆动的 读作读作 “当当n 趋向于无穷大时，趋向于无穷大时， 的极限等于的极限等于a ” n a 或或 “lim 当当n 趋向于趋向于 无穷大时等于无穷大时等于a ” n a 9优讲课堂 若数列 n x及常数 a 有下列关系 : ,0,N正数当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : a aa )( axa n )(Nn 即),(axn )(Nn axn n lim或)(naxn 1N x 2N x axn 则称该数列 n x的极限为 a , 机动 目录

8、 上页 下页 返回 结束 极限定义的精确描述极限定义的精确描述 例如例如, , 1 , 4 3 , 3 2 , 2 1 n n 1 n n xn)(1n , ) 1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n n n x n n 1 ) 1( )(1n ,2,8,4,2 n n n x2)(n ,) 1( ,1,1,1 1 n 1 ) 1( n n x 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1、考察下面的数列，写出它们的极限：、考察下面的数列，写出它们的极限： （1）；， 3 1 27 1 8 1 1 n （2）；， n 10 5 7995.695.

9、65 .6 ； , )2( 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n （3） 解解：（：（1）数列）数列 的项随的项随n 的增大而减小，但大于的增大而减小，但大于0，且，且 当当n 无限增大时，无限增大时， 无限地趋近于无限地趋近于0，因此，数列，因此，数列 的极限的极限 是是0 3 1 n 3 1 n 3 1 n 7 0 四、例题讲解：四、例题讲解： 0 12优讲课堂 课堂练习课堂练习1： 0 0 2 1 lim n n 1 1 1 lim n n n 0 0 ) 1( lim n n n 13优讲课堂 例例2、求常数数列、求常数数列-1，-1，-1，-1，的极限的极限 解：这个无穷数列的

10、各项都是解：这个无穷数列的各项都是-1，当项数，当项数n 无限增大时，无限增大时， 数列的项数列的项 始终保持同一个值始终保持同一个值-1，因此，因此 n a. 1)1(lim n 一般地，任何一个一般地，任何一个常数常数数列的数列的极限极限都是都是 这个这个常数本身常数本身，即，即CC n lim （C 是常数）是常数） 14优讲课堂 例例3、用计算器计算、用计算器计算,99. 0 1000 ,99. 0 5000 ,99. 0 20000 ,99. 0 10000 由此猜想数列由此猜想数列 的极限（保留两位有效数字）的极限（保留两位有效数字） 99. 0 n 解：由计算器可算得解：由计算器

11、可算得 51000 103 . 499. 0 225000 105 . 199. 0 4410000 102 . 299. 0 8820000 101 . 599. 0 由此猜想由此猜想099. 0lim n n 一般地，如果一般地，如果 ，那么，那么 1| a . 0lim n n a 15优讲课堂 )( lim)2(是是常常数数CC n n n 1 lim)1(0 C , )3(时时当当1 a0lim n a n 01 lim11 11 n n a aa aa 不存在 或 16优讲课堂 观察思考观察思考：考察以下数列的考察以下数列的 变化趋势变化趋势 (1) (2) (5) (4) (3) 0 1 0 无无 无无 17优讲课堂 aan n n a lim 数列数列 是否存是否存 在极限在极限 若存在极限若存在极限 99. 0 n n a 100)(n 1 n an n n a)1( 14 n n an aan n lim 存在存在 不存在不存在 存在存在 存在存在 不存在不存在 4 1 n 0 00 数列的极限是唯一的数列的极限是唯一的 有穷数列没有极限有穷数列没