（全国通用）近年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教师专用文新人教A版

1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入深研高考备考导航为教师授课、学生学习提供丰富备考资源五年考情考点2016年2015年2014年2013年2012年平面向量的线性运算全国卷t6平面向量基本定理及坐标运算全国卷t13全国卷t2平面向量的数量积及其应用全国卷t13全国卷t3全国卷t20全国卷t4全国卷t4全国卷t13全国卷t14全国卷t15复数的相关概念及其运算全国卷t2全国卷t2全国卷t2全国卷t3全国卷t2全国卷t3全国卷t2全国卷t2全国卷t2全国卷t2重点关注1从近五年全国卷高考试题来看,平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算,平面向量共线与垂直的充要条件，平面向

2、量的数量积及其应用,复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小2平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用3本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁导学心语1透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化（2）平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用2平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用3复数内容独

3、立性较强,一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算,属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法第一节平面向量的概念及线性运算-考纲传真1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示。2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义.3。掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念（1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的（3）单位向量：长度等于1个单位的向量（4）平行向量:方向相同或相反的非零向量平行向量

4、又叫共线向量规定:0与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量（6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1)交换律：abba;（2)结合律：（ab)ca(bc）减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba（b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反；当0时,a0(a）a；()aaa；(ab）ab3。共线向量定理向量a（a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba.1(思考辨析)判断下

5、列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”）（1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()（2）若ab，bc，则ac。（）（3)ab是ab（r）的充要条件(）(4)abc中，d是bc的中点,则()（）答案(1）（2）(3）(4)2(2015全国卷)设d为abc所在平面内一点，3,则(）a.b。c。d.a（).故选a。3（2017银川质检)设点p是abc所在平面内一点，且2，则_.0因为2,由平行四边形法则知,点p为ac的中点，故0。4（教材改编)已知abcd的对角线ac和bd相交于点o，且a，b，则_，_(用a，b表示）baab如图，ba，ab。5已知a与b是两个不共线向量，且向

6、量ab与（b3a）共线,则_。由已知得abk（b3a),得平面向量的有关概念给出下列六个命题：若a|b|，则ab或ab；若，则abcd为平行四边形;若a与b同向,且ab,则ab；，为实数，若ab，则a与b共线；a0（为实数）,则必为零；a，b为非零向量，ab的充要条件是a|b|且ab。其中假命题的序号为_不正确|ab。但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；不正确因为,a，b，c，d可能在同一直线上，所以abcd不一定是四边形不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab,但a与b不一定共线不正确当1,a0时，a0.不正确对于非零向量a，b，ab的充要条件是

7、ab|且a，b同向规律方法1。（1）易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法。 2(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性（2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关3若a为非零向量,则是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量变式训练1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则aaa0；若a与a0平行，则a|aa0；若a与a0平行且a1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是 (） 【导学号：31222141】a0b1c2d3d向量是既有大小又有方向的量，a与aa0的模相同,但方向不一定相同，故是假命

8、题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时aa|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(1)（2014全国卷)设d,e，f分别为abc的三边bc，ca,ab的中点,则（)a。b。 c.d.(2)(2016广东广州模拟)在梯形abcd中，adbc，已知ad4，bc6,若mn(m,nr），则(）a3b c。d3(1）c（2)a(1）如图，(）2。（2）如图，过d作deab，mn，所以n，m1，所以3。故选a。规律方法向量的线性运算的求解方法（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量

9、，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解变式训练2（1）设m为平行四边形abcd对角线的交点，o为平行四边形abcd所在平面内任意一点，则等于（)a.b2 c3d4(2)已知d为三角形abc边bc的中点,点p满足0，则实数的值为_（1)d(2)2(1)因为m是ac和bd的中点，由平行四边形法则，得2，2,所以4.故选d.（2)因为d是bc的中点，则2。由0,得.又，所以点p是以ab，ac为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此22

10、，所以2。共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线,（1）若ab，2a8b，3(ab)，求证：a，b,d三点共线；（2）试确定实数k，使kab和akb共线解（1）证明：ab，2a8b，3(ab)，2分2a8b3（ab）2a8b3a3b5(ab）5。，共线，又它们有公共点b，a，b，d三点共线.5分（2)kab和akb共线，存在实数，使kab（akb)，即kabakb，（k）a(k1)b.9分a,b是两个不共线的非零向量，kk10,k210，k1.12分规律方法共线向量定理的应用（1）证明向量共线:对于向量a,b，若存在实数,使ab，则a与b共线（2）证明三点共线：若存在实数，使，则a,b，

11、c三点共线（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点变式训练3（1)已知向量a3b,5a3b，3a3b，则(）aa，b，c三点共线ba，b，d三点共线ca，c,d三点共线db，c，d三点共线(2）（2015全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.（1）b(2）(1)2a6b2(a3b)2，,共线，又有公共点b，a，b，d三点共线故选b。(2）ab与a2b平行，abt（a2b),即abta2tb，解得思想与方法1向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重

12、合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论:对于平面上的任一点o,，不共线，满足xy（x,yr），则p，a，b共线xy1.易错与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误3在向量共线的条件中易忽视“a0”,否则可能不存在，也可能有无数个课时分层训练(二十四）平面向量的概念及线性运算a组基础达标（建议

13、用时:30分钟)一、选择题1在abc中,已知m是bc中点，设a，b，则() 【导学号：31222142】a。abb。abcab dababa,故选a。2已知a2b，5a6b,7a2b，则下列一定共线的三点是()aa，b，c ba，b，dcb,c,d da，c,db因为3a6b3（a2b)3，又，有公共点a，所以a,b，d三点共线3在abc中，已知d是ab边上的一点，若2，则等于（） 【导学号:31222143】a。 b。c da2，即2(）,，。4设a，b都是非零向量,下列四个条件中，使成立的充分条件是()aab babca2b dab且|a|bcaa与b共线且同向ab且0.b,d选项中a和b

14、可能反向a选项中0，不符合0。5设d，e，f分别是abc的三边bc,ca，ab上的点,且2，2，2，则与(）a反向平行 b同向平行c互相垂直 d既不平行也不垂直a由题意得，因此()，故与反向平行二、填空题6已知o为四边形abcd所在平面内一点,且向量，满足等式，则四边形abcd的形状为_. 【导学号：31222144】平行四边形由得,所以,所以四边形abcd为平行四边形7在矩形abcd中,o是对角线的交点，若5e1,3e2,则_.（用e1,e2表示）e1e2在矩形abcd中，因为o是对角线的交点，所以（)（）(5e13e2）8（2015北京高考)在abc中，点m，n满足2，.若xy，则x_;y

15、_.2，.，(），mn（)。又xy，x,y。三、解答题9在abc中，d，e分别为bc，ac边上的中点，g为be上一点，且gb2ge,设a，b，试用a,b表示，。图4。1。1解（)ab。2分（)()ab。12分10设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：a，c，d三点共线;(2)如果e1e2,2e13e2,2e1ke2，且a,c，d三点共线，求k的值解（1）证明：e1e2,3e12e2，8e12e2，4e1e2（8e12e2），与共线。3分又与有公共点c,a，c，d三点共线。5分（2）（e1e2）（2e13e2)3e12e2.7分a，c,d三点共线，与

16、共线，从而存在实数使得，9分即3e12e2(2e1ke2），得解得，k.12分b组能力提升（建议用时：15分钟)1设m是abc所在平面上的一点，且0，d是ac的中点,则的值为 （) 【导学号:31222145】a. b。c1 d2ad是ac的中点，延长md至e，使得demd（图略），四边形maec为平行四边形，（)0，(）3，,故选a.2（2017辽宁大连高三双基测试)如图41。2，在abc中，ab2，bc3，abc60，ahbc于点h,m为ah的中点若，则_.图4.1。2因为ab2，abc60，ahbc，所以bh1。因为点m为ah的中点,所以()，又，所以，,所以。3已知a，b不共线,a，b

17、，c，d，e，设tr,如果3ac,2bd，et（ab)，是否存在实数t使c，d,e三点在一条直线上?若存在，求出实数t的值,若不存在，请说明理由解由题设知,dc2b3a，ec（t3)atb，c，d,e三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得k，即(t3)atb3ka2kb,3分整理得（t33k）a(2kt)b。6分因为a，b不共线，所以有9分解之得t。故存在实数t使c,d，e三点在一条直线上。12分尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable t