2.1立体几何中的向量方法二ppt课件

1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 3.2 3.2 立体几何中的向量方法二）立体几何中的向量方法二） 一、复习引入一、复习引入 用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。 （1建立立体图形与空间向量的联系，用空间向建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题；何问题转化为向量问题； （2通过向量运算，研究点、直线、平面之间的通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3把

2、向量的运算结果把向量的运算结果“翻译成相应的几何意翻译成相应的几何意 义。义。 （化为向量问题）（化为向量问题） （进行向量运算）（进行向量运算） （回到图形）（回到图形） 空间空间“间隔间隔问题问题 1. 空间两点之间的距离空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算， 利用公式 或 (其中 ) ，可将两点距离问题 转化为求向量模长问题. 2 aa 222 zyxa ),(zyxa 例例1：如图：如图1，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点，一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点为端点 的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以

3、这个顶点，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ A1 B1 C1 D1 A B C D 图图1 解：如图解：如图1，设，设 BADADAAAB， 1 1 60 11 DAABAA 化为向量问题化为向量问题 依据向量的加法法则，依据向量的加法法则， 11 AAADABAC 进行向量运算进行向量运算 2 1 2 1 )(AAADABAC )(2 11 2 1 22 AAADAAABADABAAADAB )60cos60cos60(cos2111 6 所以所以 6| 1 AC 回到图形问题回到图形问题 这个晶体的对角线这个晶体的对角线

4、的长是棱长的的长是棱长的 倍。倍。 1 AC 6 考虑：考虑： （1本题中四棱柱的对角线本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？的长与棱长有什么关系？ （2 2如果一个四棱柱的各条棱长都相等，如果一个四棱柱的各条棱长都相等， 并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等 于于 , , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以那么有这个四棱柱的对角线的长可以 确定棱长吗确定棱长吗? ? A1 B1 C1 D1 A B C D 11 BBBCBABD 60 120 11 BCBABBABC，其其中中 分析分析: 分析分析: 1111 DAABAABADxAAADAB

5、aAC，设设 11 AAADABAC 则则由由 )(2 11 2 1 222 1 AAADAAABADABAAADABAC )cos3(23 222 xxa 即即 ax cos63 1 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。 （3 3本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设设AB=1 AB=1 （提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） A1 B1 C1 D1 A B C D H 分析：面面距离分析：面面距离点面距离 点面距离 . 11 H

6、ACHAA于于点点平平面面点点作作过过 解：解： . 1 的的距距离离为为所所求求相相对对两两个个面面之之间间则则HA 111 AAADABBADADAABA 且且由由 . 上上在在 ACH 3 360cos211)( 2 2 ACBCABAC . 160cos60cos)( 1111 BCAAABAABCABAAACAA 3 1 | cos 1 1 1 ACAA ACAA ACA 3 6 sin 1 ACA 3 6 sin 111 ACAAAHA 所求的距离是所求的距离是 。 3 6 问题：如何求直线问题：如何求直线A1B1到平面到平面ABCD的距离？的距离？ n A P O 2、向量法求点

7、到平面的距离：、向量法求点到平面的距离： 例例 2:2: 如图，已知正方形如图，已知正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分 别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2， 求点求点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离. D A B C G F E x y z D A B C G F E x y z (2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ， |BE|2 11 . 11 n d n 220 2420 xy xyZ 1 1 ( ,1), 3 3 n B(2,0,0)E 例例 2 2: : 如图，已知正方形如图，已知正方形 A

8、BCD 的边长为的边长为 4，E、F 分分 别是别是 AB、AD 的中点，的中点，GC平面平面 ABCD，且，且 GC2， 求点求点 B 到平面到平面 EFG 的距离的距离. A P D C B M N 解：如图解：如图, ,以以D D为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系D Dxyzxyz 则则D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )D(0,0,0),A( ,0,0),B( , ,0),C(0, ,0),P(0,0, ) 2aa2aaa A P D C B M N z x y 1111 0 1 3:4, 2,90 , ABCABCAA

9、ABC ACBCBCAEABCEAB 例已知直三棱柱的侧棱底面中 为的中点,求与的距离。 z x y A B C C1 ).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(, 1 BAECxyzC则解：如图建立坐标系 ),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 ( 1 BAEC 则的公垂线的方向向量为设).,(, 1 zyxnBAEC 0 0 1 BAn ECn 即即 0422 0 zyx yx 取x=1,则y=-1,z=1,所以 ) 1 , 1, 1 ( n ).0,0, 1 (,ACAC 在两直线上各取点 . 3 32 | | 1 n ACn dBAEC 的距离与 E A1 B1 小结 1、E为平面为平面外一点外一点,F为为内任意一内任意一 点点,