高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质课时提升作业1新人教A版选修1-1

1、抛物线的简单几何性质(25分钟60分）一、选择题（每小题5分，共25分)1.（2015长春高二检测）过抛物线y2=4x的顶点o作互相垂直的两弦om，on，则m的横坐标x1与n的横坐标x2之积为（)a.64b.32c.16d。4【解析】选c.由已知设om的斜率为k，则on的斜率为-1k。从而om的方程为y=kx，联立方程y2=4x,y=kx,解得m的横坐标x1=4k2.同理可得n的横坐标x2=4k2，可得x1x2=16.2。设m(x0，y0）为抛物线c：x2=8y上一点,f为抛物线c的焦点，以f为圆心、fm为半径的圆和抛物线c的准线相交，则y0的取值范围是（)a.(0,2)b。0,2c。(2，+

2、)d.2，+)【解析】选c。因为x2=8y，所以焦点f的坐标为(0,2），准线方程为y=2.由抛物线的定义知|fm=y0+2。以f为圆心、fm|为半径的圆的标准方程为x2+（y2）2=（y0+2)2.由于以f为圆心、fm为半径的圆与准线相交，又圆心f到准线的距离为4，故42。3。设点a是抛物线y2=4x上一点，点b(1,0），点m是线段ab的中点。若ab|=3，则点m到直线x=1的距离为()a.5b.32c.2d。52【解析】选d.如图,过a，m,b分别作l：x=-1的垂线,垂足分别为p,n，q，则mn=12（ap+bq）=12(3+2)=52.4。(2015荆州高二检测)抛物线y2=2x的焦

3、点为f，其准线经过双曲线x2a2-y2b2=1（a0,b0)的左顶点，点m为这两条曲线的一个交点，且|mf|=2，则双曲线的离心率为()a.102b。2c.5d。52【解析】选a.f（12，0），l:x=-12，由题意知a=12。由抛物线的定义知，xm-(-12）=2，所以xm=32，所以ym2=3，因为点(xm,ym)在双曲线上,所以9414-3b2=1，所以b2=38，所以c2=a2+b2=58,所以e2=c2a2=584=52，所以e=102。5。过抛物线y2=4x的焦点的直线交抛物线于a，b两点，o为坐标原点，则oaob的值是()a。12b。12c.3d.-3【解析】选d。设a(y12

4、4，y1)，b（y224,y2)，则oa=（y124，y1）,ob=(y224，y2)，则oaob=（y124，y1)（y224，y2）=y12y2216+y1y2，又因为ab过焦点，则有y1y2=p2=4，所以oaob=(y1y2)216+y1y2=(-4)216-4=3，故选d。【拓展延伸】抛物线上点的坐标的设法设抛物线上的任意一点的坐标时，一般只设一个参数，设的原则是“谁有平方就设谁，如设抛物线y2=x上的任意一点的坐标,因为y有平方，故可设点的纵坐标为m则其横坐标为m2,即点的坐标可设为（m2，m)，这样设减少了参数的个数，减少了运算量。同时注意几何性质的应用也可减化运算。二、填空题(

5、每小题5分，共15分）6.(2015宁波高二检测）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a0）的焦点f，且与y轴交于点a，若oaf(o为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为_。【解析】抛物线y2=ax（a0）的焦点f的坐标为a4,0，则直线l的方程为y=2x-a4，它与y轴的交点为a0,-a2，所以oaf的面积为12a4a2=4，解得a=8。所以抛物线方程为y2=8x.答案：y2=8x7.(2015陕西高考）若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点，则p=_。【解析】双曲线x2y2=1的左焦点为(-2,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-2，所以p2=2，所以

6、p=22.答案：228.（2015漳州高二检测）抛物线y=x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是_.【解析】设抛物线y=x2上一点为（m，-m2），该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m-3m2-8|5,当m=23时，取得最小值43.答案：43三、解答题(每小题10分，共20分）9。正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px（p0）上，求这个正三角形的边长.【解析】如图，设正三角形oab的顶点a，b在抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1）和(x2，y2）则:y12=2px1，y22=2px2。又|oa|=|ob|,所以x12+y12=x22+y22，即

7、x12x22+2px12px2=0，所以（x1-x2）（x1+x2+2p）=0。因为x10，x20，2p0，所以x1=x2，由此可得|y1|=y2，即线段ab关于x轴对称.由于ab垂直于x轴，且aox=30.所以y1x1=tan30=33，而y12=2px1,所以y1=23p.于是|ab|=2y1=43p.【拓展延伸】抛物线对称性的应用抛物线是轴对称图形,对称轴是坐标轴，利用对称性,可以方便地表示出抛物线上点的坐标，任何与轴垂直的弦都被轴平分.10.设f(1，0），m点在x轴的负半轴上,点p在y轴上，且mp=pn，pmpf。（1）当点p在y轴上运动时，求点n的轨迹c的方程。（2）试求轨迹c对应

8、方程的变量x,y的范围。【解析】(1）因为mp=pn，故p为mn的中点.设n（x，y)，由m点在x轴的负半轴上,则m（-x，0），p0,y2（x0)，又f(1，0），所以pm=-x,-y2，pf=1,-y2.又因为pmpf，所以pmpf=-x+y24=0，所以点n的轨迹c的方程为y2=4x（x0）。（2)由方程y2=4x及实际意义m点在x轴的负半轴上得x0，y0。【一题多解】（1)因为mp=pn，故p为mn的中点.设n(x,y），由m点在x轴的负半轴上，则m(-x，0）,p(0，y2)(x0)，又由mp=pn,pmpf,故|fn|=|fm,可得fn2=fm2，由f(1,0）,则有(x-1)2+

9、y2=（x-1)2，化简得：y2=4x(x0).所以，点n的轨迹c的方程为y2=4x（x0)。(2）由方程y2=4x及实际意义m点在x轴的负半轴上得x0,y0.【补偿训练】已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点f，且与抛物线相交于a，b两点。(1)若直线l的倾斜角为60,求|ab的值.（2）若|ab|=9,求线段ab的中点m到准线的距离.【解题指南】(1)由倾斜角可知斜率，从而得到l的方程,与抛物线方程联立，结合抛物线定义可求得ab|的值.(2)由|ab=9求得弦ab中点的横坐标即可求得m到准线的距离.【解析】设a（x1，y1），b（x2，y2).(1）因为直线l的倾斜角为60,所以其斜率k=t

10、an 60=3.又f（32，0)，所以直线l的方程为y=3（x-32).联立y2=6x,y=3(x-32),消去y得x25x+94=0。则x1+x2=5，而ab=|af|+bf|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p，所以ab|=5+3=8。(2)由抛物线定义知ab=|af|+bf=x1+x2+p=x1+x2+3=9，所以x1+x2=6，于是线段ab的中点m的横坐标是3。又准线方程是x=32，所以m到准线的距离为3+32=92。(20分钟40分）一、选择题（每小题5分，共10分)1。(2015包头高二检测)已知直线l过抛物线c的焦点，且与c的对称轴垂直，l与c交于a，b两点，ab=12,p为

11、c的准线上一点,则abp的面积为（)a。18b。24c。36d.48【解析】选c。如图，设抛物线方程为y2=2px（p0).因为当x=p2时，y|=p，所以p=|ab|2=122=6。又p到ab的距离始终为p，所以sabp=12126=36.2。(2015东北三省联考)已知抛物线y2=8x的焦点为f，直线y=k（x-2）与此抛物线相交于p，q两点,则1|fp|+1|fq|=（)a。12b。1c。2d.4【解析】选a。设p（x1,y1),q（x2，y2)，由题意可知pf|=x1+2,|qf=x2+2，则1|fp|+1|fq|=1x1+2+1x2+2=x1+x2+4x1x2+2x1+x2+4，联立

12、直线与抛物线方程消去y得k2x2(4k2+8)x+4k2=0，可知x1x2=4,故1|fp|+1|fq|=x1+x2+4x1x2+2x1+x2+4=x1+x2+42x1+x2+8=12.故选a.二、填空题(每小题5分，共10分）3。(2015安溪高二检测）已知抛物线y2=4x的焦点为f，准线与x轴的交点为m，n为抛物线上的一点，且满足nf|=32mn|，则nmf=_.【解析】过n作准线的垂线，垂足是p，则有pn=|nf|，所以pn=32mn,nmf=mnp。又cosmnp=32，所以mnp=6,即nmf=6.答案:64。已知直线y=a交抛物线y=x2于a，b两点.若该抛物线上存在点c，使得ac

13、b为直角，则a的取值范围为_.【解析】以ab为直径的圆的方程为x2+(ya)2=a.由y=x2,x2+(y-a)2=a得y2+(12a）y+a2-a=0，即(ya）y(a-1）=0.由已知a0,a-10,解得a1.答案:1，+)三、解答题(每小题10分,共20分）5.给定抛物线y2=2x，设a(a，0），a0，p是抛物线上的一点，且|pa|=d，试求d的最小值。【解题指南】利用两点间的距离公式，把d表示为a的函数，再结合抛物线的范围讨论其最小值.【解析】设p（x0，y0）(x00)，则y02=2x0,所以d=pa=x0-a2+y02=x0-a2+2x0=x0+1-a2+2a-1.因为a0，x0

14、0,所以(1）当0a1时，1-a0，此时有x0=0时,dmin=1-a2+2a-1=a；（2）当a1时，1a0，此时有x0=a-1时，dmin=2a-1。6.(2015太原高二检测)如图，已知抛物线c：y2=2px（p0)和m：（x4)2+y2=1，过抛物线c上一点h(x0，y0)(y01)作两条直线与m相切于a，b两点,分别交抛物线于e，f两点，圆心m到抛物线准线的距离为174.(1）求抛物线c的方程。（2)当ahb的角平分线垂直于x轴时，求直线ef的斜率。（3）若直线ab在y轴上的截距为t,求t的最小值.【解析】(1)因为点m到抛物线准线的距离为4+p2=174,所以p=12，所以抛物线c

15、的方程为y2=x.（2)因为当ahb的角平分线垂直于x轴时，点h（4，2），所以khe=khf，设e(x1，y1），f(x2,y2)，所以yh-y1xh-x1=-yh-y2xh-x2,所以yh-y1yh2-y12=-yh-y2yh2-y22，所以y1+y2=-2yh=-4.kef=y2-y1x2-x1=y2-y1y22-y12=1y2+y1=14。（3)设a(x1，y1),b（x2,y2），因为kma=y1x1-4，所以kha=4-x1y1,所以直线ha的方程为（4x1)xy1y+4x1-15=0，同理直线hb的方程为(4x2)xy2y+4x215=0，所以（4-x1）y02y1y0+4x1-

16、15=0，(4x2)y02-y2y0+4x215=0，所以直线ab的方程为(4-y02）x-y0y+4y0215=0，令x=0,可得t=4y0-15y0(y01），因为t关于y0的函数在1，+)上单调递增，所以tmin=-11.即t的最小值为11.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be s