高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.2平面的法向量与平面的向量表示学业分层测评新人教B版选修2-1

1、3.2。2 平面的法向量与平面的向量表示（建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知平面的法向量为a(1,2，2）,平面的法向量为b（2，4,k),若，则k（)a4 b4 c5 d5【解析】，ab，ab282k0.k5。【答案】d2已知平面的一个法向量是(2,1，1），则下列向量可作为平面的一个法向量的是（）a(4,2,2) b（2，0,4）c(2，1，5） d(4，2,2）【解析】,的法向量与的法向量平行，又(4，2，2)2（2，1,1),故应选d。【答案】d3已知（1,5，2），(3，1，z)，若，（x1,y,3)，且bp平面abc，则实数x，y,z分别为（）a。，4 b，,4c。，2,

2、4 d4,，15【解析】，0，即352z0，得z4，又bp平面abc,，则解得【答案】b4已知平面内有一个点a(2，1，2），的一个法向量为n（3,1，2)，则下列点p中，在平面内的是(）a(1，1，1) bc. d【解析】对于b，则n（3,1,2）0,n，则点p在平面内【答案】b5设a是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件n0的点m构成的图形是(）a圆 b直线 c平面 d线段【解析】m构成的图形经过点a，且是以n为法向量的平面【答案】c二、填空题6已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量u(1，3，z)，向量v（3，2，1）与平面平行,则z_。【解析】由题意知uv，uv36z0，z

3、9.【答案】97已知a(x,2，4)，b（1，y,3)，c（1，2，z)，且a，b，c两两垂直,则(x，y,z）_。【解析】由题意,知解得x64，y26,z17.【答案】（64，26，17)8若a，b，c是平面内的三点，设平面的法向量a(x,y，z）,则xyz_. 【导学号:15460076】【解析】因为,，又因为a0,a0，所以解得所以xyzyy23(4）【答案】23（4)三、解答题9。如图3。2。19，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直,ab，af1，m是线段ef的中点求证：am平面bdf.图32。19【证明】以c为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则a（，,0），b

4、(0，,0），d（，0，0)，f(，1)，m。所以，(0, ，1),（，0)设n(x，y，z）是平面bdf的法向量，则n，n，所以取y1,得x1，z.则n（1,1，）因为。所以n ，得n与共线所以am平面bdf。10底面abcd是正方形,as平面abcd，且asab，e是sc的中点求证：平面bde平面abcd。【证明】法一设abbccddaas1，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，则b(1，0，0)，d(0，1，0），a(0,0，0)，s（0，0,1），e.连接ac，设ac与bd相交于点o,连接oe，则点o的坐标为.因为（0,0，1)，,所以。所以oeas。又因为as平面abcd，所以oe

5、平面abcd.又因为oe平面bde,所以平面bde平面abcd。法二设平面bde的法向量为n1(x,y,z），因为(1,1，0)，所以即令x1，可得平面bde的一个法向量为n1(1,1,0)因为as平面abcd，所以平面abcd的一个法向量为n2（0,0，1）因为n1n20，所以平面bde平面abcd。能力提升1如图3。2。20，在正方体abcda1b1c1d1中，以d为原点建立空间直角坐标系,e为bb1的中点，f为a1d1的中点，则下列向量中，能作为平面aef的法向量的是(）图3.2。20a（1，2,4)b（4，1，2）c(2，2，1）d（1，2，2）【解析】设平面aef的一个法向量为n（x

6、，y，z），正方体abcd.a1b1c1d1的棱长为1,则a(1,0,0)，e，f.故，。所以即所以当z2时,n(4，1，2)，故选b。【答案】b2如图3。2.21，在三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，bac90，abacaa11,d是棱cc1的中点，p是ad的延长线与a1c1的延长线的交点若点q在线段b1p上,则下列结论正确的是(）图3.2。21a当点q为线段b1p的中点时，dq平面a1bdb当点q为线段b1p的三等分点时,dq平面a1bdc在线段b1p的延长线上，存在一点q,使得dq平面a1bdd不存在dq与平面a1bd垂直【解析】以a1为原点，a1b1，a1c1，a

7、1a所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得a1(0，0,0)，b1(1，0，0），c1（0，1,0)，b(1，0,1),d，p(0，2，0），（1,0,1），,（1,2，0）,。设平面a1bd的法向量为n（x,y，z），则取z2，则x2，y1，所以平面a1bd的一个法向量为n(2,1，2)假设dq平面a1bd，且(1，2，0）（,2，0），则，因为也是平面a1bd的法向量,所以n（2，1，2）与共线，于是有成立，但此方程关于无解故不存在dq与平面a1bd垂直，故选d。【答案】d3。如图3。2.22，四棱锥p。abcd的底面abcd是边长为1的正方形，pd底面abcd，且p

8、d1,若e，f分别为pb,ad中点，则直线ef与平面pbc的位置关系_图3222【解析】以d为原点，da，dc,dp所在直线为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系，则e,f，平面pbc的一个法向量n(0，1，1），n,n，ef平面pbc.【答案】垂直4如图3.2.23,在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形，且adbc，abcpad90，侧面pad底面abcd。若paabbcad。图3.2.23（1）求证：cd平面pac;（2）侧棱pa上是否存在点e,使得be平面pcd?若存在，指出点e的位置并证明，若不存在，请说明理由【解】因为pad90,所以paad。又因为侧面pad底面abcd,且侧

9、面pad底面abcdad，所以pa底面abcd.又因为bad90，所以ab，ad，ap两两垂直分别以ab，ad，ap所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设ad2，则a(0,0，0），b（1，0，0），c（1，1，0)，d（0,2，0)，p(0,0,1）(1)(0,0，1），(1，1，0），(1，1,0)，可得0，0，所以apcd，accd.又因为apaca,所以cd平面pac。(2)设侧棱pa的中点是e,则e,.设平面pcd的法向量是n（x，y，z)，则因为(1,1,0)，（0,2，1),所以取x1，则y1,z2，所以平面pcd的一个法向量为n（1，1,2）所以n(1，1,2

10、)0，所以n。因为be平面pcd，所以be平面pcd.综上所述,当e为pa的中点时，be平面pcd.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if there are omissions, please correct them. i hope this article ca