【数学与应用数学专业毕业论文】关于某些线性几何不等式的研究与推广

1、 19 20 毕业设计（论文）题目: 关于某些线性几何不等式的研究与推广 学生姓名 学号 专业 数学与应用数学 班级 指导教师 评阅教师 完成日期 *年 *月 *日学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 年 月 日 学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权省级优秀

2、学士学位论文评选机构将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密 ，在_年解密后适用本授权书。2、不保密 。（请在以上相应方框内打“”）作者签名： 年 月 日 导师签名： 年 月 日 目 录摘要（4）关键词（4）前言（4）一、平面上一动点到三角形各顶点的距离和的线性几何不等式（5）二、有关外接圆和内切圆半径等的线性几何不等式（11）1、欧拉不等式及其一种简捷证明 （11）2、关于与半周长的锐角三角形不等式 （12）三、关于三角形面积的线性几何不等式及其推广 (13)1、oppenheim不等式的多边形推广 （

3、13） 2、oppenheim不等式的高维推广 （14）四、三角形中线的线性不等式及其推广 （15）五、关于三角形线性几何不等式的猜想 （17）六、 一个线性几何不等式的修正 （18）七、总结 （18）致谢 （18）参考文献 （19）关于某些线性几何不等式的研究与推广学 生：徐 毅 指导教师：王卫东三峡大学理学院摘要：三角形中的几何不等式研究已取得了非常丰富的成果，本文主要围绕已知的线性几何不等式进行研究，给出三角形中一些新的线性几何不等式，并包含了作者的某些猜想。而三角形中的某些线性几何不等式直接推广到维单形并不是一件容易的事，因而在推广到四面体中乃至维单形时还有许多几何不等式值得探讨和研究

4、。因此本文在这个方面做了些工作，从而进一步发掘和证明了一些线性几何不等式。abstract：the research of the triangle geometric inequality has obtained very rich of the outcomes. this paper studies mainly some new linear triangle geometric inequalities, focusing on the linear geometric inequalities which are known, and it also includes some

5、conjectures of the author. but it is not an easy task to directly extend the linear triangle geometric inequality to the n-simplex, thus there are many geometric inequalities worthing exploring and researching when we extend the linear geometric inequality to the tetrahedron and the n-simplex. so th

6、is paper has done some work in this field and further explored and proved some linear geometric inequalities.关键词：三角形； 线性几何不等式； 四面体 ；维单形key words： triangle；linear geometric inequality；tetrahedron ； n-simplex前言 几何不等式是一个魅力无穷的数学分支,20世纪70年代以来不等式的研究成果超过了前300年的六、七倍，不等式的一些专题几何不等式，它的研究得到了蓬勃发展。几何不等式目前已有许多专著，国

7、内外出版的数学杂志，特别是美国数学月刊，大量刊登了各种几何不等式的论文。20世纪90年代以来，由中国科学院成都计算机研究所杨路研究员研究开发的不等式型机器证明软件“bottema”的问世和不断升级，为证明和发现新的几何不等式提供了强有力的工具，刘保乾先生等借助这种软件已经发现和证明了几千个三角形几何不等式。不等式的方法在迅速扩大，“国际一般不等式会议”每23年就举行一次，并出版会议文集。我国在初等几何不等式研究方面取得了在国际上居于领先水平的一系列成果，国内形成了以杨学枝、刘保乾、陈计等为代表的中国几何不等式的研究小组，在高维几何不等式研究方面，国内主要以杨路、张景中、苏花明、冷岗松、杨世国、

8、张含芳、匡继昌、单墫等为代表。其中杨路教授和张景中院士在距离几何不等式的研究方面做了许多开创性工作，研究成果居于世界领先地位。在杨张的带领下，中国出现了一批研究几何不等式的精英，形成了“中国学派”，取得了居于国际领先地位的一些成果。目前，几何不等式在三角形里面取得非常丰硕的成果，而在四面体中乃至维单形体中也取得很大成果和突破。几何不等式的研究不仅兼顾了中学数学教学和各类数学竞赛的需要，对中学数学的竞赛和教学有较好的指导性，而且其在大学数学教学与研究中仍占有十分重要的地位。从证明方法上看，许多几何不等式的证明要用到高等数学的工具，充分体现了初等数学与高等数学在思想方法上的继承性和相互渗透性。线性

9、几何不等式在几何不等式中具有十分重要的地位，它不仅形式简单优美，而且在几何不等式证明中有着较广泛的应用， 如著名的erdos-mordell不等式、联系三角形中主要度量元素（边长，高，中线，内角平分线，内切圆、外接圆半径等）的线性不等式。本文主要从平面三角形中已知的主要线性几何不等式，联系三角形高、中线、内角平分线的线性几何不等式出发，发现新的线性几何不等式，如三角形的内切圆、外接圆半径与半周长，平面上一动点至三顶点距离之和与内角平分线长之和的关系探讨等；对平面三角形中已知的某些线性几何不等式进行不同角度（边数和维度）的推广，例如：给出在维单形中的相应几何不等式，如著名的euler不等式的高维

10、推广形式，联系三角形高、中线、内角平分线等的某些线性不等式的高维推广。一、 平面上一动点到三角形各顶点的距离和的线性几何不等式设为平面上一动点，用的常见几何元素来表示的和式的下界是一个值得研究的几何不等式问题。本文恒用记号;分别表示的三边长、中线、内角平分线、高、类似中线和过 gergonne的 ceva线长；分别表示的半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积；表示的内心， 表示循环求和，例如。本节应用 fermat问题的结论，证明了平面上一动点至三顶点距离之和的一个较强的线性不等式，由之导出几个推论，下面先给出几个引理。引理1.1 设是平面上一动点(fermat问题的结论) (i) 当 时，有

11、（1）(ii)当 时 ，有 （2）引理1.2 在中，若最大顶角不大于（），则对于任意实数，总有 （3）其中 （4）当且仅当为正三角形或者为最大顶角等于的等腰三角形时，(3)式取等号。引理 1.3 在中 ，若 时，有 （5）当且仅当为正三角形或者为最大顶角等于的等腰三角形时，(5)式取等号。证明：在（4）中，取，得 将， 代入（3）式得即 上式开方即得不等式(5)，引理1.3获证。在本文里，我们用到了类似中线的概念，所谓类似中线是指三角形的任意一个顶点（如）与其对边（如）上的一点的连线满足 的线段；我们将该类似中线记作，其中为相对应的中线。引理 1.4 在中，有 （6）证明 : 根据 ， ； ；

12、 ；所以不等式(6)等价于 （7）不妨设 a b c，则易证 ；又易证，所以欲证(7)式 ，只需证上式化简等价于最后一步显然成立 ，也即(7)、(6)式成立，从而引理1.4获证。引理 1.5 在abc 中，有 （8） （9） （10）以上三角形恒等式证明简单，由 与 可以计算得到，证明从略。下面证明的定理即为陈计先生在文献2中提出的猜想。定理1.1 设 p是平面上任意一点，则 （11）当且仅当为正三角形且p为其中心时，（11）取等号。证明： 证明王振提出的更强的不等式（参阅文献3） （12）根据引理1.1，下面分两步证明 (i) 当 max(a，b，c) 时，只需证 （13）由引理1.3得 （

13、14）而依据引理1.5及恒等式 可得 =再由恒等式 ,欲证(12)，只需证上式展开整理等价于：上式分解整理等价于：据 gerretsen不等式和 euler不等式 r 2r，易知上式成立 ，故(12)成立(ii)当 时，只需证 （15）因为 ，所以上式只需证而，上式只需证因为，所以只需证 最后一步显然成立，以上每步均可逆故不等式(15)成立。综上不等式(12)成立，由cauchy不等式可知： 显然不等式（12）较不等式（11）更强，也即不等式(11)成立，定理证毕。根据引理1.4，不等式(12)及 cauchy不等式可得推论 1.1 设 p为平面上一动点 ，则 （16）根据及不等式(11)可得

14、推论 1.2 设 p为平面上一动点 ，则 （17）不等式(*) 的另外一种轮换式为 （18） 由不等式(*)及不等式(18)相加化简，即得 推论 1.3 设 p 为平面上一动点 ，则 （19）注：不等式(11)与不等式(16)，不等式(17)与不等式(18)不分强弱不等式(19)与不等式 (17)，(18)不分强弱。众所周知,费马 （fermat） 点是三角形内的点到三角形各顶点的距离之和取最小值的点, 该点与三顶点相连,每两条连线所夹的角。 那么,三角形内的点到三角形各顶点的距离和有没有最大值点呢？定理1.2 中，是内的任意一点,则 证明：如图，是内的任一点,过分别作,分别交边于点.设,由于

15、, 故，于是由于，可以得到；又因为 ，所以, 即，, 于是由上可得 , , 由定理1.2可以推知：三角形内的点到三顶点的距离和无最大值,但却存在一个上界。 二、有关外接圆和内切圆半径等的线性几何不等式1、欧拉不等式及其一种简捷证明定理2.1 的外接圆半径与内切圆半径之间的不等式，即著名的euler不等式： （20）当且仅当为正三角形时，不等式（20）等号成立。欧拉不等式的证明方法有很多，但都不容易。本节给出应用三角形的边变换及均值不等式的一种简捷证法。设 ，则 ； 证毕.由此，数学中的变换和转化的巨大作用可略见一斑。 euler 不等式有很多加强形式，它的一个加强的线性几何不等式为： 当且仅当

16、为正三角形时，该不等式取等号。euler 不等式在维单形的推广表达形式为：在维单形中，与分别为的外接球和内切球的半径，则有 （21）仅当单形为正则单形时，（21）取等号。2、关于与半周长的锐角三角形不等式引理2.2 二次不等式 （22）对锐角三角形成立的必要条件是： ， （23）充要条件是（23）式以及 （24）特别地，当（23）取等号，即 时，（22）化为 （25）则（25）成立的充要条件是（24）式成立。定理2.2 使锐角三角形不等式 （26）成立的最大常数 证明：不妨设，则（26）等价于 于是根据引理2.2知上式成立，当且仅当 且 ，即 证毕.三、关于三角形面积的线性几何不等式及其推广

17、a.oppenheim曾建立了如下的结果：设的边长，面积，外接圆半径分别为，则以为边长的的面积满足 （27）1、oppenheim不等式的多边形推广 引理3.1 设平面凸边形的面积为，各边长分别为,；再设实数，且，则 (28) 等号成立当且仅当此边形内接于圆，且 其中为圆半径。定理3.1 设,和分别是凸边形和的边长和面积，则以为边长的圆内接边形的面积满足不等式 （29）等号成立当且仅当和是相似的圆内接凸边形。证明 ：将不等式（28）分别用于凸边形和，得和现将上面两式的两边分别相加，得 （30）再令 其中为凸边形的外接圆半径，则（30）的左边，所以，等号成立当且仅当与为相似的圆内接凸边形。2、o

18、ppenheim不等式的高维推广引理3.2 若,是维单形，分别表示的体积，设的顶点是；的顶点是，且，用来表示所成的维单形的面积，表示与的夹角，则有不等式 （31）等号成立当且仅当两个单形对应相似。定理3.2 设维单形与的棱长及体积分别为与，则以 为棱长的维单形的体积满足不等式 （32）等号成立当且仅当单形与对应相似。证明：将单形代替引理3.2中的，得 （33）将（33）与（31）相加，得 两边同除，即得 ，等号成立当且仅当且，即。四、三角形中线的线性不等式及其推广引理4.1 三角形的一中线的2倍小于夹此中线两边之和。证明：设是的一条中线，延长到，使，连接，则 ，从而。 在中，有 即 定义4.1

19、 连接四面体的一个顶点和这个顶点所对的面（每个面都是三角形）的重心的线段称为这个四面体过这个顶点的一条中线。苗国证明了：四面体的四条中线共点，且这点把四面体的每一条中线都分成3：1的两段。现在把三角形这个中线的线性不等式推广到3维四面体中：定理4.1 四面体的一条中线小于夹此中线的三条棱长和的。证明： 设四面体的顶点所对的面的重心为，连接,并分别延长交于e，e为中点。取的中点f，连接、。因是的重心，故、分别为与的中线。由引理知 （34） （35）(34)2，得 （36）由（35）与（36），知 （37）又是的中线，由引理，得 （38） 再由（37）与（38），得 即 定理4.2 四面体四中线之

20、和大于六棱和的，小于六棱和的。证明： 设四面体的六棱长分别为，由定理4.1可得：，同理有，四式相加，得 设四面体的重心为,由文11知 ，故，同理有。在中，即 就是 仿此有 ， ，以上六式相加得: 所以 综上有 ，定理证毕。维单形可以看成有个顶点的广义四面体，四面体就是3维单形，采用类似的方法不难把该定理推广到维单形。五、关于三角形线性几何不等式的某些猜想及其它 1982年，席竹华在证明 时，发现了一个很细致的不等式： 由此易知 ，针对这一不等式，我们详细考察了，与之间的不等式关系，提出：猜想5.1： （a） ； (b) ；注意：不等式（a）要强于 六、一个线性几何不等式的修正 文13 给出了如

21、下的几何不等式：在中，为高，则有：.由条件易知：当时，上述不等式显然取到等号,正确的结论应为。另一方面，从证明过程来看，原文仅对为锐角的情形予以证明，对为钝角的情形未加说明，虽然二者证法相同，但图形位置却是不同的。在文13 的证法中,没有分类讨论是导致错误的根本原因,为了避免分类讨论和添加辅助线,下面给出该不等式 （修正后的） 的另一证法。证明： 记的面积为，因为 ，所以 , 从而 ;又 即 （当且仅当时等号成立） 故 即 （当且仅当时等号成立）。综上有：定理5.1 中，分别为三角形边，上的高， 则有 .七、总结 本文从多个角度考察了三角形中存在的一些线性几何不等式，并对其进行了理论证明；对于提出的某些线性几何不等式，对它们进行了不同形式的推广。当然里面也收录了某些已知的不等式（如欧拉不等式），本文主要给出了它的一种新的证明。除此之外，在文章最后作者还提出了两个线性几何不等式的猜想，修正了一个文献的结果，文中提出的线性几何不等式（如定理2.2）正是对他人提出的猜想的一种解答，这充分说明了数学是在“猜想”中发展和进步的。致谢 本论文是在王卫东老师的指导下