11.参数方程与极坐标方程互化

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(18-11):参数方程与极坐标方程互化(499) 1269 参数方程与极坐标方程互化 母题(18-11):(2009年安徽高考试题)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的单位长度.己知直线的极坐标方程为=(r),它与曲线(为参数)相交于a和b,则|ab|=.解析:曲线(x-1)2+(y-2)2=4半径r=2,直线=y=xtany=x圆心(1,2)到直线y=x的距离d=弦长|ab|=2=.点评:在以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴

2、,并在两种坐标系中取相同的单位长度的条件下,直角坐标方程、参数方程和极坐标方程之间可以相互转换;其中参数方程与极坐标方程的互换是以直角坐标方程为桥梁进行的. 子题(1):(2014年安徽高考试题)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆c的极坐标方程是=4cos,则直线l被圆c截得的弦长为( ) (a) (b)2 (c) (d)2解析:由直线l:x-y=4,圆c:x2+y2=4x半经r=2,圆心(2,0)到直线l的距离d=弦长=2.故选(d). 注:对题中既有参数方程又由极坐标方程的问题,一般解法是:把

3、参数方程与极坐标方程均化成普通方程求解. 子题(2):(2013年重庆高考试题)在直角坐标系xoy中,以原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos=4的直线与曲线(t为参数)相交于a、b两点,则|ab|= .解析:由cos=4x=4t2=4t=2y=8a(4,8),b(4,-8)|ab|=16. 注:对题中既有参数方程又由极坐标方程的问题,充分利用参数方程中的参数意义,可获得巧解. 子题(3):(2014年重庆高考试题)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x正半轴为极轴建立极坐标,曲线c的极坐标方程为sin2-4cos=0(0,02),则直线l与曲线c

4、的公共点的极径= .解析:(法一)由直线l:y=x+1,曲线c:sin2-4cos=0(sin)2-4cos=0y2=4x交点(1,2)=.(法一)由直线l:y=x+1sin=cos+1,代入(sin)2-4cos=0得:(cos+1)2-4cos=0cos=1sin=2(cos)2+(sin)2=52=5=. 注:对题中既有参数方程又由极坐标方程的问题,充分利用极坐标方程中,的意义,可获得妙解. 子题系列:1.(2013年广东高考试题)(文)已知曲线c的极坐标方程为=2cos.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线c的参数方程为 .2.(2010年陕西高考试题)已知圆c的参数

5、方程为(为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为sin=1,则直线l与圆c的交点的直角坐标为 .3.(2011年湖南高考试题)在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为(为参数)在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点o为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线c2的方程为(cos-sin)+1=0,则c1与c2的 1270 母题(18-11):参数方程与极坐标方程互化(499) 交点个数为 .4.(2014年湖北高考试题)已知曲线c1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c2的极坐标方程是=2,则c1与c2

6、交点的直角坐标为 .5.(2013年广东高考试题)(理)已知曲线c的参数方程为(t为参数),c在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为 .6.(2011年陕西高考试题)直角坐标系xoy中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点a,b分别在曲线c1:(为参数)和曲线c2:=1上,则|ab|的最小值为 .7.(2014年湖南高考试题)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线c:(为参数)交于a、b两点,且|ab|=2,以坐标原点o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .8.(2013年江西高考试题)曲线c

7、的参数方程为:(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c的极坐标方程为 .9.(2002年北京高考试题)己知某曲线的参数方程是(为参数),若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变,建立极坐标系,则该曲线的极坐标方程是( )(a)=1 (b)cos2=1 (c)2sin2=1 (d)2cos2=110.(2012年湖北高考试题)在直角坐标系xoy中,以原点o为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线=与曲线(t为参数)相交于a,b两点,则线段ab的中点的直角坐标为 .11.(2013年湖北高考试题)在直线坐标系xoy中,椭圆c的参数方程为(为

8、参数).在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点o为极点,以x轴为正半轴为极轴)中,直线l与圆o的极坐标分别为sin(+)=m(m为非零常数)与=b.若直线l经过椭圆c的焦点,且与圆o相切,则椭圆的离心率为 . 子题详解:1.解:由曲线c:(x-1)2+y2=1曲线c的参数方程:(为参数). 2.解:由圆c:x2+(y-1)2=1,直线l:y=1交点(1,1),(-1,1). 3.解:由c1:x2+(y-1)2=1,c2:y-x=1交点个数为2. 4.解:由c1:x=y(y0),c2:x2+y2=4,联合得交点(,1). 5.解:由曲线c:x2+y2=2切线l:x+y=2l的极坐标方程:cos+sin=2. 6.解:由c1:(x-3)2+(y-4)2=1,c2:x2+y2=1|ab|的最小值=5-2=3. 7.解:由曲线c是c(2,1)为圆心,半径r=1的圆;由|ab|=2直线l过圆心c直线l:y=x-1(cos-sin)=1. 8.解:由y=x2sin=2cos2cos2=sin. 9.