1.6 连续型随机变量的概率分布 ppt课件

1、概率论概率论 1.6 c.r.v.的概率密度的概率密度 c.r.v.及其概率密度的定义及其概率密度的定义 概率密度的性质概率密度的性质 三种重要的三种重要的c.r.v. 小结小结 概率论概率论 c.r.v.X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间, 对对 这种类型的随机变量这种类型的随机变量, 不能象不能象d.r.v.那样那样, 以以 指定它取每个值概率的方式指定它取每个值概率的方式, 去给出其概去给出其概 率分布率分布, 而是通过给出而是通过给出 “概率密度函数概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式的方式. 下面我们就来

2、介绍对下面我们就来介绍对c.r.v.的描述方法的描述方法. 概率论概率论 则称则称 X为为c.r.v, 称称 f (x) 为为 X 的的p.d.f，简称为概，简称为概 率密度率密度 . 一、一、 c.r.v.c.r.v.及其及其p.d.f.p.d.f.的定义的定义 x F xf t dt 有有,使得对任意实数使得对任意实数 , x 对于随机变量对于随机变量 X , 如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f (x) , ,x P Xx c.r.v的分布函数在的分布函数在R上连续上连续 概率论概率论 概率密度的性质概率密度的性质: 1 o0)(xf 2 o 1)(dxxf f (x) x o

3、面积为面积为1 这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个 函数函数 f(x)是否为某是否为某r .v X 的的 概率密度的充要条件概率密度的充要条件 概率论概率论 利用概率密度可确利用概率密度可确 定随机点落在某个定随机点落在某个 范围内的概率范围内的概率 对于任意实数对于任意实数 x1 , x2 , (x1 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布. 2 ( ,)XN 请记住请记住 概率论概率论 1 xo ( )f x 4 . 0 5 . 0 8 . 0 25. 0 6 . 1 1 ( )( 2),p 函数函数f (x)的图形呈

4、钟形，的图形呈钟形， 越小，曲线越陡峭，越小，曲线越陡峭， 以直线以直线x=为对称轴，为对称轴， 在在x=取得最大值取得最大值 x处有拐点，处有拐点， y=0 是是f (x)的水平渐近线。的水平渐近线。 :具有下述性质具有下述性质xf ;01 xf 1 概率论概率论 不难验证，令不难验证，令 2 2 () 2 1 2 x edx , x y 2 2 1 2 y edy 1) 2 ( 1 2 ) 2 ( y de y 泊松积分：泊松积分： 2 x edx ， 概率论概率论 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中决定了图形中 峰的陡峭程度峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的

5、图形特点的图形特点),( 2 N 概率论概率论 正态分布最早是由正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。的重要地位。 概率论概率论 设设 X ,),( 2 N X 的分布函数是的分布函数是 正态分布正态分布 的分布函数的分布函数),( 2 N 2 2 2 () 2 1 , 2 t x F xedtx 概率论概率论 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当 和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正

6、态分布。 标准正态分布标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布下面我们介绍一种最重要的正态分布 概率论概率论 1, 0 的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. . 其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x 标准正态分布标准正态分布 3 2 2 1 , 2 t x xedtx 2 2 1 , 2 x xex 请记住请记住 概率论概率论 )(x )(x 概率论概率论 的性质的性质 : ; 2 1 01 dte t 0 2 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 2 dte t 2 2 1 () 2 t x xedtx 概率论概率论

7、;1,2xxRx dtex x t 2 2 2 1 事实上事实上 , 2 2 1 1 2 u x edu x 1 2 2 1 2 u x utedu 概率论概率论 X：设设例例3)1 , 0(N ),96. 1(),21(, XPXP求求 )96. 1(),96. 1( XPXP 136. 08413. 09773. 0)1()2()21( XP解解： 9750. 0)96. 1()96. 1( XP 0250. 0)96. 1(1)96. 1()96. 1( XP )96. 196. 1()96. 1( XPXP )96. 1()96. 1( 95. 01)96. 1(2 X一一般般地地，当

8、当)1 , 0(N 0 0 0 )(1 5 . 0 )( )( x x x x x xXP有有 ()2 ( )1,P Xxx )()()(abbXaP 0)(51)(5 xxxx时时，当当时时，而而当当 概率论概率论 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正 态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. . 定理：定理： .1 ,0, 2 N X ZNX 则则若若 概率论概率论 .1 ,0, 2 N X ZNX 则则若若 证：证：Z 的分布函数为的分布函数为 2 2 2 ( ) 1 2 Z t x X FzP

9、 ZxPxP Xx edt , t u令令则有则有 2 2 1 ( ) 2 u x Z FzP Zxedu x .1 ,0 N X Z 故故 定理：定理： 概率论概率论 根据此定理根据此定理, ,只要将标准正态分布的分布函数只要将标准正态分布的分布函数 制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题. . 2 , X XN FxP Xx 于是于是 标准正态标准正态 Xx P x 概率论概率论 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可 以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表. . 正态

10、分布表正态分布表 )(1)(xx dtex x t 2 2 2 1 )( 当当 x 0 时时, (x)的值的值. 4 概率论概率论 ),( 2 NX假设假设 假设假设 X N(0,1), )()()(abbXaP )()( ab X YN(0,1) 那那 么么 ()P aXb () aXb P 概率论概率论 设设 X N(10, 4), 求求 P(10X13), P(|X10|2). 解解: P(10X13) = 0.9332 0.5 P(|X10|2) = 2(1)1= 0.6826 例例6： 10 1 2 X P = (1.5)(0) 13101010 22 1010101310 222

11、X P 概率论概率论 X：设随机变量：设随机变量例例5 ),( 2 N036. 0)6 . 1(, XP已知已知 )0(,758. 0)9 . 5( XPXP 求求 1.6 (1.6)() X P XP 1.61.6 ()1()0.964 5.9 (5.9)()0.758, X P XP 解解： 38 . 3 7 . 0 9 . 5 8 . 1 6 . 1 因此有因此有 (0)1(0)P XP X 8980. 0)27. 1()27. 1(1 5.9 ()0.758 即即 1.6 ()0.036 3.803.8 1() 33 X P 03.8 1() 3 概率论概率论 ),10,70(6 2

12、NX近近似似服服从从正正态态分分布布：某某科科统统考考成成绩绩例例 在参加统考的人中，及格者在参加统考的人中，及格者100人及格分数为人及格分数为60），计算），计算 （1不及格人数；不及格人数； （2成绩前成绩前10名的人数在考生中所占的比例；名的人数在考生中所占的比例； （3估计第估计第10名考生的成绩。名考生的成绩。 n人数人数解：首先求参加统考的解：首先求参加统考的 (60)1(60)P XP X 这表明及格人数占统考人数的比例为这表明及格人数占统考人数的比例为84.13%，即，即 1198413. 0 100 n n 706070 1() 1010 X P 6070 1() 10 1

13、(1(1)0.8413 概率论概率论 名名考考生生所所占占的的比比例例为为）前前（102 %4 . 808413. 0 119 1010 n 分，则分，则名考生成绩为名考生成绩为）设第）设第（ 0 103x 0 ()0.08413P Xx 由由可可得得 847 .8337. 1 10 70 0 0 x x 得得查标准正态分布函数表查标准正态分布函数表 人人）不不及及格格的的人人数数（191 0 0 7070 ()() 1010 xX P XxP 0 70 ()0.91587 10 x 概率论概率论 解解 P(X h)0.01 或或 P(X h) 0.99P(X h) 0.99， 下面我们来求满

14、足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h .h . 再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子: 例：例： 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在顶头碰头机会在 0.01 0.01 以下来设计的以下来设计的. .假设男子假设男子 身高身高X XN(170,62),N(170,62),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定? ? 设车门高度为设车门高度为h cm,h cm,按设计要求按设计要求 概率论概率论 因为因为 X XN(170,62),N(170,62), 故故 P(X P(X0.99(2.33)=0.99010.99 6 170

15、h 因而因而 = 2.33,= 2.33, 即即 h=170+13.98 184 设计车门高度为设计车门高度为 184184厘米时，可使厘米时，可使 男子与车门碰头男子与车门碰头 机会不超过机会不超过0.01.0.01. P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的 h .h . ) 1 , 0( 6 170 N X 所以所以 . . 170170 66 Xh P 170 6 h 概率论概率论 由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，这说明，X X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3-3,3区间区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到内，

16、超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.0.3%. 当当X XN(0,1)N(0,1)时，时， P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544 P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 3 3 原则原则 5 概率论概率论 将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布, , 6826. 0)|(|YP 9544. 0)2|(|YP 9974. 0)3|(|YP 可以认为，可以认为，Y Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在 3,3区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 原则原则” ” . . X YN

17、(0,1) 时，时， 2 ( ,)XN X：设随机变量：设随机变量例例7)9 ,60(N 使使求求分分点点 4321 ,xxxx 中中的的概概率率落落在在),(),(),(),(),( 44332211 xxxxxxxxX 7:24:38:24:7之之比比为为 之之比比落落在在五五个个区区间间中中的的概概率率解解：由由题题意意 X 7:24:38:24:7为为 93. 0 100 7 1)(1)( 44 xXPxXP因因此此 69. 0 100 724 1)(1)( 33 xXPxXP 10072438247 而而 X因因为为 因此有因此有)9 ,60(N 5 .645 . 1 3 60 93. 0) 3 60 ( 4 44 x xx 5 .615 . 0 3 60 69. 0) 3 60 ( 4 33 x xx 对对称称，因因此此由由对对称称性性得得而而密密度度函函数数关关于于直直线线60 x 5 .58)605 .61(60 5 .55)605 .64(60 2 1 x x 0,0 0, )()(.: 1 x xex rxfXvrc xr r 若若定定义义 ),(rX 称称, 0 ，r 其其中中 0 1