第二章 流体静力学

1、第二章 流体静力学 第一节 流体静压强及其特性 第二节 流体静压强的分布规律 第三节 压强的计算基准和量度单位 第四节 液柱测压计 第五节 作用于平面的液体压力 第六节 作用于曲面的液体压力 第七节 液体平衡微分方程 第八节 液体的相对平衡 第一节 流体静压强及其特性 流体在静止时不能承受切向力，因为如有切向力存在， 静止流体将会发生流动。流体不能承受拉力，沿法向方向的 力必为压力（如图2-1）。 流体静压强的特性 静止体中任意点压强的大小与作用面的方向无关。只是空 间坐标的函数，即 ( , , )pp x y z B I V D II A C D II CA B P A a 图2-1 静止流

2、体中的压力 第一节 流体静压强及其特性 第二节 流体静压强的分布规律 液体静压强的基本方程式 式中 p液体内某点的压强，Pa； p0液面气体压强， Pa； 液体的密度，kg/m3； h某点在液面下的深度，m。 该式表明在静止液体中，压强随深度按直线变化的 规律。静止液体中任一点的压强是由也面压强和该点 在液面下的深度与密度和重力加速度的乘积两部分组 成。从这两部分看出，压强的大小与容器大形状无关。 ghpp 0 以单位体积液体的重量g 除以静力学基本方程，得 式中 z 某点在基准面以上的高度，称位置高度或 测压管的液面到该点的高度，称测压管高 c g p z g p g p z 压管水头。 c

3、 g p z 静止液体中，各点的测压管水头相同。 度。 位置水头。 测压管的液面到基准面的总高度，称测 2 Z 1 Z g p 2 g p 1 2 1 OO 42图测压管水头 例2-2 密度为 和 的两种液体，装在图2-11的容器中，各 也面深度如图所示。若=1000kg/m3 ，大气压强pa=98kPa, 求 及 。 解 先求 ，由于自由面的压强均等于大气压强，所以， p1=p4=pa=98kPa 根据静止、连续、同种液体的水平面为等压面的规律， p2=p3。由基本方程式2-6得到 p2=pa+ g0.5m p3=pa+ g m 由p2=p3，故得 0.5 = =0.35 所以 ab ab

4、a a （0. 85-0. 5）b a （0. 85-0. 5） bb 33 ab =0.7=0.71000kg/m =700kg/m 再求A点的压强pA ，先求出分界面上的压强，然后，应用分 界面是多种液体压强关系的联系面，再求出分界面以下A点 的压强pA。 分界面2-2是等压面，面上各个点的压强相等，即 再根据分界面上的压强p2，求A点的压强pA为 实际上，求A点的压强，可以不先求出界面上的压强， 就直接以界面为压强关系的联系面，一次就可以求出A 点的压强。即 32 2aa p =p +0.5mg=98kPa+0.5700kg/m9.8m/s101.5kPa 32 A2b p =p +0.

5、5mg=101.5kPa+0.51000kg/m9.8m/s106.4kPa Aaab p =p +0.5mg+0.5g=106.4kPa 另外，我们也可以根据容器底面水平的特点，利用 水平面是等压的规律，从容器做端一次求出A点压强。 即 Aab p =p +0.85mg=106.4kPa 气体压强计算 以上规律，虽然是在液体的基础上提出来的，但对于不 可压缩气体仍然适用。由于气体密度很小的特点，在高 差不是很大的情况下，气柱体产生的压强很小，因而可 以忽略 的影响，则静压强的计算可以简化为 上式表明空间各点气体压强相等，例如液体容器、 测压管、锅炉等上部的气体空间，我们就认为各点的压 强也是

6、相等的。 gh 0 pp 第三节 压强的计算基准和量度单位 压强的两种计算基准 压强有两种计算基准：绝对压强和相对压强。以毫无一点 气体存在的绝对真空为零点起计算的压强，称为绝对压强， 以 表示，当问题涉及流体本身的性质，例如采用气体状态 方程进行计算时，必须采用绝对压强。 以当地同高程的大气压强 为零点起计算的压强，称为相对 压强，以p表示。采用相对压强基准，则大气压强的相对压 强为零。相对压强、绝对压强和大气压强的相互关系是 负压的绝对值又称为真空度（真空表读数），以 表示， 当pP，则物体下沉至底； （2）重力等于浮力，即G=P，则物体可在任一水深维持平衡； （3）重力小于浮力，即GP，

7、则物体浮出液体表面，直至液 面下部分所排开的液体所受重力等于物体所受重力为止。这 种物体称浮体，船就是浮体的一个例子。 第七节 流体平衡微分方程 x 静止流体内取边长分别为 dx, dy, dz 的微元六面体， y O z O dx dy dz x a y z b c d d a b c pM pN 中心点 O(x,y,z) 压强 p(x,y,z)。 足力平衡方程。以 x 方向为例： M N 表面力：除 abcd 与 abcd 两面外，其余面上作用的力 在 x 轴 上投影均为0。此两面中心点压强可用泰勒 (G.Taylor) 级数展开，取前两项： 两个面上的总压力则为： x x p ppd 2

8、 1 M x x p ppd 2 1 N zyx x p pPddd 2 1 M zyx x p pPddd 2 1 N zyxXFddd bx 列 x 方向力平衡方程得： 化简后得: 上式即液体平衡微分方程，由瑞士学者欧拉（L.Euler)于 0dddddd 2 1 ddd 2 1 zyxXzyx x p pzyx x p p 0 1 x p X 同理: 0 1 y p Y 0 1 z p Z 1755导出，又称欧拉平衡微分方程。 等压面等压面 等压面压强相等的空间点构成的面。 在等压面上，p = c，dp = 0，平衡微分方程的全微分式 则可表示为： 上式称等压面方程。 根据等压面方程，单

9、位质量力与等压面上任意线段的点 0dddzZyYxX lfzZyYxXdddd 等压面方程中，X、Y、Z 为单位质量力在三个坐标轴的 分力，而 dx、dy、dz 则是等压面上任意线段在三个坐标轴 的投影，由矢量代数得： 乘积等于0，这说明这两个向量相互垂直，即质量力与等压 面相互垂直，如重力与水平面。 第八节 液体的相对平衡 a l等加速直线运动中液体的平衡 如图2-35,一敞开容器盛有液体,以等加速度a向前做直线运动 质量力有重力 惯性力 总的质量力为 12 12 12 0 XXXa YYY ZZZg 111 0,0,XYZg 222 ,0,0Xa YZ g y x z 图2-35 a a

10、由平衡微分方程可得: 积分并根据边界定积分常数得 对于自由液面, ,则上式为 可见自由液面为倾斜面,该斜面与水平面夹角为 . 容易看出该斜面和质量力的合力正交。等加速直线运动的 等压面，不再象静止液体那样水平，而是倾斜，原因是在x方 向上有质量力，x方向上也有压强的变化。 tan a g ()dpadxgdz ()paxgz a zx g 0p l容器等角速度旋转运动中液体的平衡 和等加速直线运动类似，如图2-36, 质量力有重力： 惯性力 总质量力 111 0,0,XYZg 2 12 2 12 12 XXXx YYYx ZZZg 22 222 ,0Xx Yy Z y x y x z o A g x y A r 2 r 2 x 2 y 图2-36 代入平衡微分方程，积分整理后得； 压强p为常数时得等压面方程 常数或 常数 P=0时，即自由面为 在等角速度旋转运动同一水平面上 ，旋转中心压强最低， 外边缘最高。等角速度旋转运动的这一特性在实际问题中有 许多应用的例子，如油脂分离器，空气除尘等。 2 22 1 22 u prgzgz 2 2 u z g 2 2 2 r z g 22 1 2 r z g 例例2-8一半径为R=30cm的圆柱形容器盛满水，然后用螺栓 连接的盖板封闭，盖板中心开有一小圆孔，如图2-40。