数字信号处理作业-答案

1、数字信号处理作业DFT习题1. 如果是一个周期为的周期序列，那么它也是周期为的周期序列。把看作周期为的周期序列，令表示的离散傅里叶级数之系数，再把看作周期为的周期序列，再令表示的离散傅里叶级数之系数。当然，是周期性的，周期为，而也是周期性的，周期为。试利用确定。（76-4）232. 研究两个周期序列和。具有周期,而具有周期。序列定义为。a. 证明是周期性的，周期为。b. 由于的周期为，其离散傅里叶级数之系数的周期也是。类似地，由于的周期为，其离散傅里叶级数之系数的周期也是。的离散傅里叶级数之系数的周期为。试利用和求。（76-5）3. 计算下列各有限长度序列DFT（假设长度为N）:a. bc（7

2、8-7）4. 欲作频谱分析的模拟数据以10千赫速率被取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。试求频谱取样之间的频率间隔，并证明你的回答。（79 -10）5. 令表示点序列的点离散傅里叶变换(a） 证明如果满足关系式：，则。(b） 证明当为偶数时，如果，则。（80-14）6. 令表示点序列的点离散傅里叶变换，本身也是一个点序列。如果计算的离散傅里叶变换得到一序列，试用求。（82-15）7. 若为一个点序列，而为其点离散傅里叶变换，证明：，这是离散傅里叶变换的帕斯维尔关系式。（82-16）8. 长度为8的一个有限时宽序列具有8点离散傅里叶变换，如图所示。长度为16的一个新的序列定义为：，试画

3、出相当于的16点离散傅里叶变换的略图。（86页-18）9. 令表示z变换为的无限时宽序列，而表示长度为N的有限时宽序列，其N点离散傅立叶变换用表示。如果和有如下关系：式中。试求和之间的关系。（93-22）10. 令表示序列的傅里叶变换，并令表示长度为10的一个有限时宽序列，即时，时，的10点离散傅里叶变换用表示，它相当于的10个等间隔取样，即，试求（94-23）11. 讨论一个长度为的有限时宽序列，和时，我们要求计算其变换在单位圆的个等间隔点上的取样。取样数小于序列的时宽；即，试求一种得到的个取样的方法，它只要计算一次点序列（这个序列是由得来的）的点离散傅里叶变换。（96-25）12. 研究两

4、个时等于零的有限时宽序列和，且，将每一个序列的20点离散傅里叶变换，然后计算离散傅里叶反变换，令表示它的离散傅里叶反变换，指出的哪些点相当于与线性卷积中的点。（96-26）FFT习题1. 假设有一计算如下离散傅里叶变换的程序：，试指出如何用此程序来计算如下反变换：（193-8）2. 在计算实序列的离散傅里叶变换时，利用序列是实序列这一特点有可能减少计算量，本题中讨论了两种减少计算量的途径：a. 研究两个分别具有离散傅里叶变换和的实序列和，令为一个复序列，为其离散傅里叶变换。令、分别表示的实部的奇数部分、实部的偶数部分、虚部的奇数部分和虚部的偶数部分，试利用、和表示和。b. 假设是一个点的实序列

5、，且可以被2整除，令和为两个点序列，其定义为：，试利用和求。（198-10）3. 研究一个有限长度序列，并且和时，。假设我们想要计算在平面内下列各点上的变换之取样：，式中。试详细说出一种计算这些点上的的有效方法。（199页-11）4. 研究一个长度为的有限时宽序列，并且和时，。我们希望计算变换在单位圆上个等间隔点上的取样，即在，上的取样，试找出对下列情况只用一个点离散傅里叶变换就能计算的个取样的方法，并证明之。（a） （b） （200-12）5. 表示长度为10的有限时宽序列的傅里叶变换，我们希望计算在频率时的10个取样。计算时不能采取先算出比要求多的取样，然后再丢掉一些的办法。讨论采用下列各

6、方法的可行性：(a) 直接利用10点快速傅里叶变换算法。(b) 利用线性调频变换算法。（201-13）6. 在下列说法中选择正确的结论并加以证明。线性调频z变换可以用来计算一个有限时宽序列在z平面实z轴上诸点的z变换，使a) ;b) c) a)和b)两者都行；d) a)和b)都不行，即线性调频z变换不能计算在z为实数时的取样。（203-15）Hilbert变换习题1 令为的一个实因果序列，已知的变换为 上式为变量的泰勒级数，所以它在以z=0为中心的某一圆外部处处收敛于一个解析函数。收敛区域包括点z=，事实上，。我们说是解析（在其收敛区域内）的，表示对X加了苛刻的约束条件，即它的实部和虚部各都满

7、足拉普拉斯方程，且实部和虚部之间满足柯西-黎曼方程。现在我们利用这些性质，根据的实部确定，条件是为有限值的实因果序列。 令为实（有限值的）因果序列，其z变换为：式中：和是z的实函数。假设时，给定为（为实数）假设除了z=0外，处处解析，试求并表示成z的显函数。（建议用时域法解此题）（214-4）2 序列的偶部定义为：，假设是一个有限时宽实序列，定义为和时，。令表示为的点的离散傅立叶变换。（a）的离散傅立叶变换是否等于Re？（b）试求出以表示的Re的离散傅立叶反变换。（228-15）3 研究一个长度N的有限时宽实序列（即n0,nN时，=0），此处N为奇数。用表示的M点的离散傅立叶变换，因此令表示的

8、实部。（a） 试利用N来求能使唯一确定的最小M值（M=1,2除外）。（b） 如果M满足（a）中所确定的条件，则可以表示为和序列的循环卷积。请确定。（228-16）4 研究一个复序列x（n），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是实序列，序列x(n)的z变换X(z)在单位圆的下半部分为零。即，2时，X(ej)=0. x(n)的实部为xr(n)=试求X(ej)的实部和虚部。5 令H表示理想希尔伯特变换运算，即 Hx(n)=式中h(n)由（7.48）式给定。试证明下列特性：（a） HHx(n)=-x(n).（b） . (提示：利用帕斯维尔定理)（c） Hx(n)*y(n)=Hx(n)*y(n)=x(n)*Hy(n),式中x(n)和y(n)为任意序列。（233-19）Walsh函数1 a) 时间序列,=0,1,2,.7为0 0 1 1 0 0 1 1 将其作离散Walsh变换 b)将上述序列Hadamard变换2 设输入序列为0 0 1 1 0 0 1 1 , 并将此输入序列作a=3的并元移位，试求Wz (N)3 给定两个时间序列，定义两个序列的并元时间域相关和并元时间域卷积为：a) 并元时间域相关为： b) 并元时间卷积为： 若试证明：1) 并元相关定理2) 并元时间卷积定理