分数及其巧算

1、分数的基本变化和巧算一、认识分数1.单位“1”：一个物体、一个计量单位、许多物体组成的一个整体，都用自然数1表示，通常叫单位“1”。2.分数意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。3.分数单位：分数中表示一份的数，叫做分数单位 。分母越大,分数单位越小，最大的分数单位是。4.分数的分类： 真分数：分子分母，真分数1。 假分数：分子分母，假分数1。 带分数：带分数是假分数的一种形式。非零整数与真分数相加所成的分数叫做带分数，带分数一般读作几又几分之几。5. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。6.分数与除法的关系：被除数相当于

2、分数的分子，除数相当于分数的分母，除号相当于分数线。被除数除数如果用a表示被除数，b表示除数，可以写成ab（b0）二、分数的基本变化 分数的变化除了遵循分数的基本性质外,还有三条很有意思的规律： 1.分数被约分多少，分子与分母的和会缩小多少倍. 2.分数被约分多少，分子与分母的差也会缩小多少倍.3.若一个分数的分子不变，分母加上或减去某个数a，得到一个新分数，它相当于分母不变，分子减去或加上a与新分数的积. 例1的分子、分母同时加上一个什么数以后分数约分为？解析：原分数分子、分母同时加上某个数，分子与分母的差不会发生改变，原分数的分子、分母的差是13-1=12，约分后新分数的分子、分母的差是3

3、-1=2，差缩小了122=6倍，说明约分时分子分母同时被约去了6，约分前的分数是6/18，对比原分数，就知道原分数分子、分母同时加上了5。例2分数的分子、分母都减去同一个数，新分数约分后是，那么减去的数是多少？解析：原分数分子、分母现时减去同一个数，分子、分母的差不会变，是181-97=84，而2/5的分子、分母的差是3，差缩小了843=28倍，说明约分时被约掉了28，那么新分数就是228/528=56/140，易得出同时减去了41.例3一个真分数，分母和分子之和是83，若分母分子分别加上45和19，则得到一个新分数，原来的分数是多少？解析：原分数分子与分母的和是83+45+19=147，新分

4、数分子与分母的和是2+5=7，和缩小了1477=21倍，说明分数被21约后得2/5，约分前的分数是221/521=42/105，那么原分数就是（42-19）/（105-45）=23/60例4有一个分数，分母加上2，得；如果分母加上3，得，原来这个分数是多少？解析：题中只是分数的分母发生了变化，可知两个新分数的分子是一样的，而且是7，3的公倍数，7/9=21/27，3/4=21/28，容易得出原分数是21/25.例5有一分数，若分子加上1，则变成；若分子减去1，则变为，求该分数。解析：若分子加上1，变成1/2，相当于分子增加了1个分数单位，分子减去1，变成1/3，相当于分子减少了1个分数单位.此

5、时，有两种解题方式.方法一：运用例4的分母不变法.方法二：运用找分数单位法.例6有一个分数，若分子加3得；若分母减3得，这个分数是多少？解析：分母减3，得2/3，相当于分子加上32/3=2，也会得2/3；这样题目就变成了：有一个分数，若分子加3，得7/10；若分子加2，得2/3；此时有两种方法可以使用，方法一：分母不变法.在约分前，两分数的分母未变，应是10，3的公倍数，而分子相差1，10，3=30 7/10=21/30，2/3=20/30，所以，原分数是18/30.方法二：分数单位法.例7一个分数，如果分子不变，分母加2，得；如果分母不变，分子减1，得，原分数是多少？例8有一分数，若分母、分

6、子都加上1，则分数变成；若分母、分子都减1，则变成，求该分数。3、 分数的拓展分类1. 加成分数把两个分数的分子之和做分子，分母之和做分母，这个运用加法得到的新分数叫做加成分数。加成分数的大小介于两个分数之间。例1. 在 2. 同增分数把一个分数的分子和分母同时加上一个自然数，这个新分数叫做同增分数，同增分数比原分数大。例2. 试比较下列分数的大小，并用“”连接起来. 3. 祖冲之分数在南北朝时，我国数学家祖冲之计算出圆周率约为。 在后来用计算机算出来更接近的圆周率，最简单的都是，换句话说在分母小于16604的一切分数中不可能有比密率更接近.这不能不说是数学史上的一个奇迹。4. 阿拉伯分数 埃

7、及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子是1的分数，例如：用来表示、用来表示等等，现在有90个埃及分数：1/2，1/3，1/4，1/5，1/90，1/91.后来，人们把分子是1的分数叫做阿拉伯分数.例3. 请用阿拉伯分数表示下列个数 4、 分数的巧算1.分数的裂项从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：=10的约数有:1,10,2,5.例如：选1和2，有：常见的裂和型运算主要有以下两种形式（1） （2）2.循环小数化分数纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9，其中

8、n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧 3.整体换元解数学题时，如果某个式子反复出现，我们就把这个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简一、填空题1.计算:= .2.计算:= .3.计算:= .4.计算: = 5.计算:= .6.计算:= .7.计算:= .8.计算:= .9.计算: = 二、运用简便方法计算1.计算:2.计算：3.1000减去它的一半,再减去余下的三分之一,再减去余下的四分之一,依此下去,直到余下的五百分之一,最后剩下 . 4.计算: 5.计算：6.计算: 7.计算: 8.计算: 9.计算： 10.计算 三、解答题11.尽可能化简.12.计算:.13.计算：14已知：求：S 的整数部分。1. . 原式 .2. . 原式 .3. 21000减去它的一半,余下,再减去余下的,余下,再减去余下的,余下,直到减去余下的五百分之一,最后剩下: 4. .原式 .5. .原式 .6. .原式.7. 123.原式 .8