测量平差第二章

1、第一节 偶然误差的统计规律 第二节 衡量精度的指标 第三节 协方差传播率 停止返回 第五节 权与定权的常用方法 第四节 协因数传播率及其应用 第六节 协因数与协因数传播率 第七节 由真误差计算中误差及其实际应用 第八节 测量平差原则 观测值：对该量观测所得的值，一般用观测值：对该量观测所得的值，一般用Li表示表示 。 L 一、几个概念一、几个概念 停止返回 真误差：观测值与真值之差，真误差：观测值与真值之差， 一般用一般用 i= -Li 表表 示。示。 L 真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正真值：观测量客观上存在的一个能代表其真正 大小的数值，一般用大小的数值，一般用 表示表示。 观测向

2、量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2Ln可表示为： n n L L L L 2 1 1 , 停止返回 n n L L L L 2 1 1 , n n n L L L L L L 2 1 2 1 1 , 例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角 形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算 各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。 误差 区间 + 个数K频率K/n(K/n)/d个数K频率K/n(K/n)/d 0.000.20 450.1260.630460.1280.640 0.200.40 400.1120.560410.1150

3、.575 0.400.60 330.0920.460330.0920.460 0.600.80 230.0640.320210.0590.295 0.801.00 170.0470.235160.0450.225 1.001.20 130.0360.180130.0360.180 1.201.40 60.0170.08550.0140.070 1.401.60 40.0110.05520.0060.030 1.60 000000 和1810.5051770.495 (K/n)/d 00.40.60.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 概率密度函数曲线 用直方图表示: 停止返回 面积= (K/n

4、)/d* d= K/n 所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 0.630 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 0.475 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 停止返回 提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。 2 2 2 2 1 )( ef 1、在一定条件下的有限观测值中，其误差的绝 对值不会超过一定的界限； 2、绝对值较小

5、的误差比绝对值较大的误差出现 的次数多； 3、绝对值相等的正负误差出现的次数大致相等； 4、当观测次数无限增多时，其算术平均值趋近 于零， 即Lim n i=1 n n i = Lim n n =0 偶然误差的特性： 停止返回 一、精度的含义一、精度的含义 所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。 一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。 不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。不相同。 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 频数/d 00.40.6 0.8

6、-0.8-0.6-0.4 闭合差 频数/d 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 00.40.6 0.8-0.8-0.6-0.4 闭合差 停止返回 可见：左图误差分布曲线较高可见：左图误差分布曲线较高 且陡峭，精度高且陡峭，精度高 右图误差分布曲线较低右图误差分布曲线较低 且平缓，精度低且平缓，精度低 1、方差、方差/中误差中误差 f() 00.40.60.8-0.8 -0.6-0.4 闭合差 1 1 2 2 面积为1 2 2 2 2 1 )( ef 二、衡量精度的指标二、衡量精度的指标 停止返回 df ED n n )( )()( lim 2 22 方差：方差： 中误差：

7、n n lim 2 提示：提示： 越小，误差曲越小，误差曲 线越陡峭，误差分布线越陡峭，误差分布 越密集，精度越高。越密集，精度越高。 相反，精度越低。相反，精度越低。 2、极限误差、极限误差 32 或 限 %7 .99)33( %5 .95)22( %3 .68)( p p p 3、相对误差、相对误差 中误差与观测值之比，一般用中误差与观测值之比，一般用1/M表示。表示。 一、协方差一、协方差 nn yx xyyx yx n xy lim )()(YEYXEXE XY 对于变量X，Y，其协方差为： 停止返回 )()(XEXYEYE YX YXXY 0 XYYX 表示X、Y间互不相关，对于正

8、态分布而言，相互独立。 0 XYYX 表示X、Y间相关 对于向量对于向量X=X1，X2，XnT，将其元素间的，将其元素间的 方差、协方差阵表示为：方差、协方差阵表示为： 2 21 2 2 221 112 2 1 nnn n n XX D 特点特点：I 对称对称 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 对角元对角元 相等时，为等精度观测。相等时，为等精度观测。 T XXZZ KKDD 1 , 0 1 ,1 , r nnrr FXFY 已知： 0 1 , 11 , 1 21 1 , ,.,KXKZDXXXX nn XX T n n T XXZZ

9、 KKDD那么： 停止返回 已知： 1 , 0 1 ,1 , t nntt KXKZ T FZ T XXZF DFKDD)( 停止返回 例3：在一个三角形中，同精度独立观测得到三 个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差平 均分配后各角的协方差阵。 例4：设有函数， 1 , , 1 1 , , 1 1 ,r rt n nt t YFXFZ 已知 XYYYXX DDD 求ZYZXZZ DDD 四 、非线性函数的情况 设有观测值设有观测值X的非线性函数的非线性函数： ),()( 21n XXXfXfZ 已知： XX T n n DXXXX,., 21 1 , ZZ D求： T n n XXXX

10、,., 000 1 , 0 21 停止返回 将Z按台劳级数在X0处展开： 二次以上项）( )()()()()()( ),( 0 0 0 220 2 0 110 1 000 21 nn n n XX X f XX X f XX X f XXXfZ n i i n n n i X X f X X f X X f X X f XXXfZ 1 0 0020 2 10 1 000 )()()()( ),( 21 ),),( 00 2 0 1 21 n n X f X f X f kkkK （）（）（ n i i n i X X f XXXfk 1 0 0 000 0 )(),( 21 00 1 , ,

11、21 kKXkXkkkZ n n T XXZZ KKDD 根据实际情况确定观测值与函数,写出具 体表达式 或 写出观测量的协方差阵 对函数进行线性化 应用协方差传播律求方差或协方差阵。 T XXZZ KKDD 停止返回 KXZ ), 2 , 1(),( 21 tiXXXfZ nii 经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中 第i(i=1,2N)站的观测高差为 解：A、B两水准点间的高差为： 设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误 差均为 ，。应用协方差传播律，得 设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距 离s大致相等，设A、B间的距离为S，则A、B两点的观 测高差的中误差为

12、： 可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差 的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大 致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正 比。 NAB hhhh 21 22222 站站站站 N AB h 站 N AB h 公里 S AB h 站 站 i h 设对某量以同精度独立观测了N次，得观测 值 ，它们的中误差均等于 。求N个观 测值的算术平均值的中误差。 解： 应用协方差传播律得： 即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差， 等于各观测值的中误差除以观测值个数的平方根。 N LLL、 21 N L N L N L NN L x 111 21 ， NNNN x 2 2

13、2 2 2 2 2 2 111 x N 一、权的定义一、权的定义 2 2 0 0 2 : ,),.,2 , 1( i i ii p niL ，则定义如选定任一常数 它们的方差为设 称为观测值Li的权。权与方差成反比。 22 2 2 1 2 2 0 2 2 2 0 2 1 2 0 21 1 : 1 : 1 : nn n ppp 生变化。而变化，但权比不会发权的大小随一 2 0 )( ，即对应一组权。选定了二 2 0 )( （三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。 由此可见： 二、单位权中误差 测值。的观测值称为单

14、位权观等于称为单位权中误差，权1 0 三、常用的定权方法 1、水准测量的权、水准测量的权 i i s c p i i N c p 或 2、边角定权、边角定权 2 2 1 i i s s P P 2622 )10( is sba i 一、协因数与协因数阵 2 0 2 0 2 2 0 2 22 1 1 1 : , ji i ij j j jj i i ii ijjiji p Q p Q p Q LL 令 协方差为它们的方差为设 的协因数。为 iii LQ 的协因数。为 jjj LQ 或相关权倒数。 的协因数关于为 jiij LLQ ijji jjj iii Q Q Q 2 0 2 0 2 2 0

15、2 变换形式为： nnnn n n nnn n n XX QQQ QQQ QQQ D 21 22221 11211 2 0 2 21 2 2 221 112 2 1 不难得出： 因数阵 XXXX QD 2 0 QXX为协 特点特点：I 对称，对角元素为权倒数对称，对角元素为权倒数 II 正定正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 为等精度观测，单位阵。为等精度观测，单位阵。 nnnn n n XX QQQ QQQ QQQ Q 21 22221 11211 二、权阵二、权阵 称为 的权阵。 当 是对角阵时，权阵 的主对角线元素就是 的权； 当 是非对角

16、阵时，权 阵的主对角线元素不再 是 的权了，权阵的各 个元素也不再有权的意 义了。但是，相关观测 值向量的权阵 在平差 计算中，也能同样起到 同独立观测值向量的权 阵一样的作用。 n nn XX P P P P 00 00 00 2 1 , 设有独立的观测值 ，权为Pi ， 则观测向量X的权阵为 ）（niXi, 2 , 1 XX P X XX Q XX P i X XX Q i X XX P IQP QP XXXX XXXX 1 则有 设有观测值向量 和 的线性函数 根据协方差传播律： 顾及协方差阵与协因数阵的关系 XY 0 0 FFYW KKXZ T XYZW T YXWZ T YYWW T

17、 XXZZ KDFD FKDD FDFD KKDD 化简得： 上式称为。协方差传播 律与协因数传播律联合称为广义传播 律。 T XY T XYZW T YX T YXWZ T YY T YYWW T XX T XXZZ KFQKQFQ FQKFQKQ FFQFQFQ KQKKQKQ 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 T XYZW T YXWZ T YYWW T XXZZ KFQQ FQKQ FFQQ KQKQ QD 2 0 对于独立观测值 ， 假定各 的权为 ， 则 的权阵、协因数阵均为对角阵 1 ,n L i L i P 1 ,n

18、 L n LL p p p P 00 00 00 2 1 n nn LL p p p Q Q Q Q 1 00 0 1 0 00 1 00 00 00 2 1 22 11 有函数： 线性化： ),( 21n LLLfZ nnZ ZZ pL f pL f pL f P Q 1 )( 1 )( 1 )( 1 2 2 2 21 2 1 n n n T LLZZ L f L f L f p p p L f L f L f KQQ 2 1 2 1 21 1 00 0 1 0 00 1 KdLdL L f dL L f dL L f dZ n n 2 2 1 1 一、由真误差计算中误差的应用一、由真误差计算中误差的应用 1由三角形闭合差求测角方差 设在一个三角网中，以同精度独立观 测了各三角形之内角，由各观测角值 计算而得的三角形闭合差分别为 它们是一组真误差，则三角形闭合