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1、抛物线习题课（二） 过抛物线过抛物线y2=2px(p0)的焦点的一条直线和抛物线的焦点的一条直线和抛物线 相交相交,两交点为两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2) , 则则 (1)x1x2= (2)y1y2=-p2 (3)|AB|=x1+x2+p (4)若直线若直线AB的倾斜角为的倾斜角为,则则 |AB|= (5)以以AB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切. (6) (7)A,B在准线上的射影分别是在准线上的射影分别是A1,B1,则则 (8)直线直线A1B过原点。过原点。 2 2 sin p 2 4 p 112 AFBFp 11 2 AFB 抛物线焦点弦问题：抛物线焦点弦问题： 例1

2、： 若顶点在原点，焦点在若顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线轴上的抛物线 截直线截直线y=2x+1所得的弦长为所得的弦长为 ，求，求 此抛物线的方程此抛物线的方程 15 2.2.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值中点纵坐标的最小值. . FA B M 解： ),(),(),( 002211 yxMAByxByxA中点设 bkxylAB:设 2 xy bkxy 0 2 bkxx 241| 22 bkkAB由弦长 b xx k yy y ) 2 ( 2 2121 0 b k 2 2 41 1 2 2 k k b 2 2 0

3、 1 1 4k k y 4 1 1 1 4 1 2 2 k k 4 3 4 1 1)1(时，取等号当k 4 3 min0 y 4 1 :xylAB此时 xo y 解法二： ),(),(),( 002211 yxMAByxByxA中点设 xo y F A B M CND ,2BCADMN , 4 1 2 00 yy p MN BFBCAFAD, ) 4 1 (2 0 yBFAF 2,ABBFAFABF中 ) 4 1 (2 0 yBCAD 2|)|(| min BFAF 4 3 min0 y即 2.2.已知抛物线已知抛物线y=xy=x2 2, ,动弦动弦ABAB的长为的长为2 2，求，求ABAB中点纵坐标的最小值中点纵坐标的最小值. . . F x O y P A B 解： ),(),(),( 002211 yxMAByxByxA中点设 2 22 2 11 xy xy 由 21 21 21 xx xx yy 相减得： 0 2 1 x k 2 9 00 kxy又 4 0 y 与抛物线有两交点，要使直线AB 22 0 x 4 1 4 k ), 4 1 () 4 1 ,

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